Reconstruction de l’invariant ¯ `

L’information sur la distribution de ¯` nous est donnée par la dépendance de la transmission du champ proche en fonction de la position de la lame. En effet, les rayons hélicoïdaux se propageant plus souvent près de l’interface coeur/gaine, ils se retrouveront davantage obstrués par une lame près de l’interface.

Puisque les deux invariants sont indépendants, on peut appliquer indépendamment la re- construction de l’invariant ¯` sur chacun des éléments discrets de ¯β expliqués à la sous-section 3.5.1, ce qui permet de les découpler.

La première étape de la reconstruction consiste à mesurer une courbe de transmission par la lame avec un puissance-mètre. Cette courbe nous permet de déterminer le centre du champ proche. Un exemple de cette courbe est présenté à la figure 3.8 où on a mesuré 17 m de fibre 105/125 à 0.12 d’ouverture numérique, à 633 nm de longueur d’onde.

Dans ce traitement, on définit le facteur de normalisation comme étant la puissance totale d’une image. Donc, calculer le facteur de normalisation d’une image consiste à additionner les intensités de tous ses pixels.

Les étapes qui suivent sont réalisées pour chacune des images de la série d’acquisitions, donc pour chaque position de la lame au champ proche. On les normalise d’abord par rapport à l’image qui n’est pas obstruée par la lame. On les découpe ensuite en différents anneaux minces de ¯β discrets, et on intègre la puissance dans chacun de ceux-ci. La série de données obtenue est donc une courbe de puissance en fonction de ¯β pour chaque position de la lame. On transforme ensuite la représentation de cette série de données afin d’obtenir des courbes de puissance en fonction de la position de la lame pour chaque ¯β considéré. On montre un exemple d’une de ces courbes à la figure 3.9. Celle-ci montre une mesure d’une fibre 105/125 à 0.12 d’ouverture numérique, à 633 nm de longueur d’onde, de longueur de 17 m. Le ¯β pour lequel cette courbe a été calculée est d’une valeur de 1.4599. On peut remarquer qu’il y a peu de variations brusques que l’on pourrait associer au bruit de tavelure (speckle).

Pour déterminer la distribution en ¯`, on compare les courbes de transmissions expérimentales à un ¯β donné, comme celle présentée à la figure 3.9, avec des données théoriques calculées préalablement dont un exemple apparaît à la figure 3.10, pour laquelle on a calculé la trans- mission par une lame du champ proche d’une fibre de 105 µm à 0.12 de NA, pour des

familles de rayons à différents rin. Ces données sont calculées à partir de distributions d’in-

tensités géométriques correspondantes aux différents ¯` testés. Les ¯` testés sont choisis à partir des inéquations 3.5, soit les inéquations du triangle d’existence des rayons.

n2_g ≤ ¯β2 ≤ n2_c 0 ≤ ¯`2 ≤ 1 − ¯β2

(3.5)

En observant les courbes, on remarque que celles-ci sont très semblables et on pourrait s’attendre à ce qu’une régression de ces courbes sur des données expérimentales, comme celle apparaissant à la figure 3.9, ne permettrait pas de bien différencier les ¯` possibles et ne fournirait pas un résultat robuste.

C’est toutefois en comparant les pentes au centre des différentes courbes de l’on obtient une bonne discrimination entre les valeurs de ¯`. Cette information ne permet pas de déterminer la distribution complète de cet invariant, mais plutôt un ¯` effectif que l’on définit à partir des valeurs de pentes. Ce serait en quelque sorte une valeur autour de laquelle serait centrée la distribution de cet invariant. La figure 3.11 nous montre un exemple typique de distribution théorique de pentes au centre en fonction de ¯`, à ¯β = 1, 4599. Selon celle-ci, on remarque un contraste d’environ un facteur 3 dans les valeurs de la pente.

La reconstruction de ¯` consiste donc à calculer la pente au centre du profil de transmission expérimental à un certain ¯β en faisant une régression linéaire à une vingtaine de points entre -10 et 10 µm, et associer cette valeur à la courbe de la figure 3.11 pour trouver une valeur de

¯

` effectif. Notons qu’associer à chaque ¯β une valeur de ¯` effectif est une description partielle du profil en invariants et est une information moins riche que la distribution complète. Un des principaux problèmes de cette méthode est que la courbe théorique des pentes n’est pas linéaire, donc pour les plus faibles valeurs de ¯` où la courbe est plus abrupte, la précision sera moindre. On associe les valeurs de pentes expérimentales plus faibles que celles retrouvées dans la courbe à ¯` = 0. Il est aussi possible qu’une pente mesurée soit plus élevée que celle correspondant au ¯` maximal permis dans la fibre. Dans ce cas, cette valeur est aussi extrapolée et est placée à l’extérieur du triangle d’existence des rayons, mais sera considérée comme une donnée aberrante.

(a) (b)

(e) (f)

(i) (j)

Figure 3.7 Images brutes de champ lointain et visualisation du champ proche pour différentes positions de la lame au champ proche. En (a) et (b), on a le champ lointain et champ proche pour x = −53 µm. En (c) et (d), on a le champ lointain et champ proche pour x = −25 µm. En (e) et (f), on a le champ lointain et champ proche pour x = 0. En (g) et (h), on a le champ lointain et champ proche pour x = 25 µm. En (i) et (j), on a le champ lointain et champ proche pour x = 53 µm.

Figure 3.8 Transmission mesurée au puissance-mètre de 17 m de fibre 105/125 à 0.12 d’ouver- ture numérique, à 633 nm, obstruée par une lame. Cette mesure ne sert pas directement à la reconstruction des invariants, mais sert plutôt à situer la lame par rapport au profil mesuré.

Figure 3.9 Transmission expérimentale par une lame intégrée à un anneau ¯β = 1.4599, pour une fibre 105/125 à 0.12 d’ouverture numérique, à 633 nm de longueur d’onde, de longueur de 17 m.

Figure 3.10 Transmission théorique de la puissance par une lame au champ proche de diffé- rentes familles de rayons dans une fibre de N A = 0, 12 et dont le cœur fait 105 µm de diamètre. Ces courbes ont été calculées en utilisant les distributions d’intensités géométriques, et cha- cune d’elle correspond à une valeur de caustique intérieure distincte. On remarque que les courbes sont très similaires l’une de l’autre, mais que la valeur de la pente au centre permet de bien les distinguer.

Figure 3.11 Pentes théoriques au centre du profil de transmission par une lame au champ proche des rayons d’une fibre de 105 µm de diamètre de cœur, pour ¯β = 1, 4599.