Reconstruction de l’image

En 1973, la première image IRM a été enregistrée par Paul Lauterbur avec un encodage radial (Lauterbur, 1973). Néanmoins, cet encodage nécessite des étapes supplémentaires, comparé à l’encodage cartésien pour reconstruire une image. En effet, comme les points échantillonnés ne sont pas alignés selon une grille cartésienne, l’image ne peut pas être directement obtenue par l’algorithme de double (ou triple) transformée de Fourier inverse.

1.3.3.1 Rétroprojection

D’après le théorème de Radon, la transformée de Fourier d’une ligne de direction arbitraire, passant par le centre de l’espace de Fourier, correspond – dans l’espace image – à une projection orthogonale de l’objet selon la même direction. On nomme donc projection (plutôt que ligne dans le cas cartésien), chacune des trajectoires acquises avec une orientation différente.

La méthode de rétroprojection consiste alors à reconstruire chaque projection dans l’espace image (par une transformée de Fourier 1D), puis à les superposer selon leurs angles respectifs pour obtenir une image. Cette méthode a été utilisée pour reconstruire la première image IRM, qui utilisait un encodage radial (Lauterbur, 1973). Une amélioration de cette méthode (la méthode de rétroprojection filtrée) est actuellement utilisée pour reconstruire les images de scanner X. Elle pourrait aussi être utilisée pour reconstruire les images IRM. Toutefois, la reconstruction par transformée de Fourier multidimensionnelle est en général privilégiée : elle s’adapte en effet à une grande variété de schémas d’encodage de l’espace de Fourier.

x z

! 0

1.3.3.2 Transformée de Fourier multidimensionnelle et remaillage

La transformée de Fourier multidimensionnelle (2D ou 3D) est la méthode utilisée pour reconstruire les images à encodage cartésien. Pour utiliser cette méthode avec un encodage radial, une étape de remaillage est nécessaire. Les performances de cette méthode sont comparables à celles de la méthode de rétroprojection ; elle a cependant l’avantage de pouvoir être adaptée à tous les encodages non-cartésiens (radial, spiral, rosette, etc.).

L’étape de remaillage consiste à interpoler les points échantillonnés sur une grille cartésienne. Pour cela, une grille cartésienne avec des pas de fréquence ∆k suffisamment fins (correspondant en général au sur-échantillonnage d’un facteur 2 par rapport au critère de Nyquist) est superposée au domaine non-cartésien échantillonné. Le signal d’un point non-cartésien échantillonné est alors réparti sur les points voisins de la grille cartésienne, dans un rayon R autour du point échantillonné (Figure 1.7). La proportion du signal affectée à un point cartésien dépend de sa distance au point non cartésien. On utilise pour cela un noyau (ou kernel) de type Kaiser-Bessel (Beatty, Nishimura and Pauly, 2005).

Figure 1.7 : Schéma de la méthode de remaillage. Le signal de chaque point

d’une projection (bleu) est réparti sur les points d’une grille cartésienne se trouvant dans un rayon R. Un poids différent est affecté aux points cartésiens en fonction de leur distance (schématisé par une épaisseur de flèches différente).

1.3.4 Critère de Nyquist

A la différence de l’encodage cartésien, l’encodage radial ne présente pas un échantillonnage constant selon les différentes dimensions de l’espace (!"_! et !"_!,

Figure 1.1). En effet, bien que l’échantillonnage soit constant le long d’un diamètre

(!"_!"#$"%), l’orientation des diamètres varie d’une projection à une autre. Il en résulte une densité de points plus importante au centre qu’en périphérie de l’espace de Fourier, d’où un espacement (!"_!"#$%&'() plus important en périphérie. Ainsi, la distance entre deux points échantillonnés aux extrémités de deux diamètres adjacents vaut !"_!"#$!!"# = !_!"#!", où !" est l’écart angulaire entre les deux diamètres (en radians) (Figure 1.4) ; cette distance est d’autant plus importante que de hautes fréquences sont enregistrées. Pour respecter le critère de Nyquist, pour un objet de dimension D, l’angle maximal entre deux projections dépend alors de la fréquence maximale échantillonnée :

!"_!"#$%&'( = !_!"#. !" ≤ ¹

! (Eq 1.12)

En considérant que l’intervalle !!!"#$%&'( respecte le critère de Nyquist !" ≤ 1/!, le nombre minimal de projections pour remplir un disque 2D avec des diamètres est déterminé par l’équation :

!_!"# =¹ 2 ! !" ⁼ 1 2^! !_!"# !" ⁼ 1 2!" ^{(Eq 1.13)}

De la même manière, pour remplir un espace de Fourier 3D, ce nombre est déterminé par l’équation : !_!"# =¹ 2^4! ! 2 ! (Eq 1.14)

Ici, ! correspond à la fois au nombre de points échantillonnés par projection et au nombre de pixels sur une ligne de l’image reconstruite. Ainsi, si l’on compare les encodages cartésien et radial, pour un champ de vue et une matrice carrée (ou cubique) identiques, et si l’on respecte le critère de Nyquist, l’encodage radial nécessite l’acquisition d’un nombre de projections multiplié par π/2 comparé à un encodage cartésien classique (Bernstein, King and Zhou, 2004).

Cependant, une image de bonne qualité peut être obtenue pour un sous-échantillonnage de π/2, comme le montre la Figure 1.8, colonne 1. Pour un même nombre de projections, une réduction de kmax pour satisfaire le critère de Nyquist entraînerait une baisse de résolution spatiale (colonne 2). Pour réduire le temps d’acquisition, il serait possible d’utiliser un sous-échantillonnage de π (colonne 3) tout en conservant une bonne qualité d’image (Peters et al., 2000). Cet encodage est donc robuste à un sous-échantillonnage azimutal. Il est toutefois important de veiller à ne pas utiliser un pas d’échantillonnage radial trop faible ( !"!"#$"%, le long d’une projection) au risque de générer de forts artéfacts de repliement sur l’image finale (colonne 4).

Figure 1.8: Effet du sous-échantillonnage pour un encodage radial à l’angle d’or. Première ligne : schéma de principe de l’encodage dans le plan de Fourier.

Deuxième ligne : fonctions d’étalement du point (PSF) correspondantes. Troisième ligne : images correspondantes de cinq tubes de gadolinium à des concentrations différentes. De gauche à droite : sous-échantillonnage de π/2 par rapport au critère de Nyquist (l’angle d’or est représenté en bleu) – les images ont été acquises avec 128 projections de 128 points (seules 8 projections de 12 points ont été représentées sur le schéma) ; réduction par deux de la taille du domaine de Fourier (kmax) pour 128 projections ; division de moitié du nombre de projections (4 projections de 12 points); division par deux de la fréquence d’échantillonnage d’une projection sur 128 projections (8 projections de 6 points)