Reconstruction de d´eformations ou contraintes r´esiduelles

Certains processus de fabrication (moulage, forgeage, coupe, soudure) impliquent des transformations thermo-m´ecaniques et m´etallurgiques complexes. Celles-ci induisent des contraintes r´esiduelles dans les pi`eces en service. La d´etermination des contraintes r´esi-duelles est un probl`eme pratique important et difficile, qui se pr´esente parfois comme un probl`eme inverse.

Un exemple d’approche non destructive. Gao et Mura [7] se sont int´eress´es `a la situation suivante : un corps Ω, libre de sollicitations ext´erieures

σ.n=0 sur∂Ω

comprend un sous-domaine D⊂Ω si`ege de d´eformations plastiques ε^p r´esiduelles, r´esul-tant par exemple du processus de fabrication. Il est alors possible d’´etablir une ´equation

Fig. 4.10:Reconstruction d’un conductivit´e (d’apr`es Kohn et McKenney) : (a) conduc-tivit´e r´eelle, (b) reconstruction sans bruit, (c) reconstruction3% bruit (11 it´erations), (d) reconstruction3%bruit (50 it´erations).

4.5. Reconstruction de d´eformations ou contraintes r´esiduelles 93 int´egrale reliant le d´eplacement u(x) (x ∈ ∂Ω) sur la fronti`ere externe `a la distribution de d´eformation plastique :

1

2uk(x) + (VP) Z

∂Ω

Σ^k_ij(x,y)nj(y)ui(x) dSy = Z

D

Σ^k_ij(x,y)ε^P_ij(y) dVy (4.49) la notation Σ^k_ij(x,y) d´esignant la composante (i, j) du tenseur de contrainte au point y cr´e´e par l’application d’une force ponctuelle unitaire de direction k au point x (solution fondamentale de l’´elasticit´e). Ce tenseur est singulier comme|y−x|au voisinage dex, et l’int´egrale du premier membre ne converge qu’au sens des valeurs principales de Cauchy.

Pour une r´epartition donn´ee deε^p, l’´equation (4.49) permet par des m´ethodes d’´el´ements de fronti`ere [3] le calcul de u sur ∂Ω. Ce probl`eme direct est bien pos´e, car l’´equation int´egrale est (pour l’inconnue u) du type Fredholm de seconde esp`ece, qui a une solution u unique et stable [11].

R´eciproquement, supposant mesur´es les d´eplacements en surface induits par l’appari-tion de la d´eformal’appari-tion inconnueε^p, on peut envisager d’utiliser l’´equation int´egrale (4.49) pour le calcul de ε^p; cela d´efinit un probl`eme inverse. Cette fois, l’´equation int´egrale (d’inconnue ε^p), de la forme

Z

D

Σ^k_ij(x,y)ε^P_ij(y) dVy =Fk(x) (x∈∂Ω) (4.50) est du type Fredholm de premi`ere esp`ece, et le probl`eme inverse est donc mal pos´e (grande sensibilit´e aux erreurs sur u). De plus, toute d´eformationδε (a) compatible (b) nulle en-dehors de D(c) induisant un d´eplacement nul sur∂D cr´ee un d´eplacement nul en-dehors de D, de sorte que ε<sup>p</sup> +δε v´erifie aussi (4.49). On est donc en pr´esence d’un probl`eme inverse

• dont la solution exacte (pour des donn´ees exactes) n’est pas unique

• sensible aux erreurs exp´erimentales

De plus, le sous-domaine Dsi`ege de la d´eformation plastique esta priori inconnu. Il faut donc introduire a priori une r´egion V, D ⊆V ⊂Ω fix´ee englobant D. Ceci constitue en soi une informationa priori. D’autre part, il importe de r´egulariser la r´esolution de (4.50).

Ω

∂Ω

D V

a b

r

Fig. 4.11:Exemple num´erique en d´eformation plane : principe (d’apr`es [7]).

94 Chapitre 4. Identification de grandeurs distribu´ees

Fig. 4.12:Exemple num´erique en d´eformation plane : solution exacte (trait plein) et reconstruite (pointill´e) des contraintes r´esiduelles sur le cercle de rayon r= 1,1b (gauche) etr= 1,5b(droite). (d’apr`es [7]).

Gao et Mura ont propos´e de r´esoudre le probl`eme inverse sous la forme minε^p |ε^p|²

Z

V

Σ^k_ij(x,y)ε^P_ij(y) dVy −Fk(x)

2

≤δ (4.51)

Ils pr´esentent un exemple num´erique (figures 4.11, 4.12), avec des donn´ees en d´eplacement simul´ees, qui montre que le champ de contraintes r´esiduelles est raisonnablement recons-truit en-dehors deV. Par contre, cette m´ethode ne garantit pas une reconstruction pr´ecise dans V en raison de la non-unicit´e du probl`eme par rapport `a ε^p etD.

Une mod´elisation de l’approche par enl`evement de mati`ere. Ballard et Cons-tantinescu [2] proposent une mod´elisation de la mesure de contraintes r´esiduelles par enl`evement de mati`ere. Dans leur approche, le corps Ω est si`ege d’un champ de contraintes r´esiduelles σ^R auto-´equilibr´e :

σ^R.n=0 sur ∂Ω

Ils consid`erent la m´ethode destructive consistant `a enlever de la mati`ere, couche apr`es couche. Cela d´efinit une famille de corps Ωt, index´ee par un temps fictif t (Ω0 = Ω).

Notons St le front d’enl`evement.

Ω Ω

σ σ

t

St

= =^m

Pour chaque Ωt, la contrainte se redistribue de fa¸con `a rester auto´equilibr´ee.

σ^m.n=0 sur ∂Ωt (4.52)

4.5. Reconstruction de d´eformations ou contraintes r´esiduelles 95 Letenseur des contraintesσ^m pour le domaine Ωt est suppos´e mesur´e sur le front d’enl`e-vement. Ballard et Constantinescu font l’hypoth`ese que la variation de contrainte ∆σ = σ^m−σ^R induite par l’enl`evement de mati`ere est ´elastique. Ils peuvent alors appliquer la th´eorie des ´equations int´egrales au probl`eme ´elastique d’inconnue (∆u,∆σ) pos´e sur Ωt. Compte tenu de (4.52), les valeurs de ∆u et σ<sup>R</sup>.n sur la fronti`ere sont reli´ees par l’´equation int´egrale

1

2∆uk(x)+(VP) Z

∂Ωt

Σ^k_ij(x,y)nj(y)∆ui(x) dSy− Z

∂Ωt

U_i^k(x,y)(σ^R_ijnj)(y) dSy = 0 (4.53) et on a ´egalement la relation

[σ^m_ij −σ_ij^R](x) =C_ijkℓ(PF) Z

∂Ωt

U_k,ℓ^a (x,y)(σ_ab^Rn_a)(y)−Σ^k_ab,ℓ(x,y)n_b(y)∆u_a(x) dS_y (4.54) Ballard et Constantinescu remarquent alors que, en tout point deSt, l’´equation d’´equilibre divσ^R =0 prend la forme

∂N

∂n =−∂R

∂r −∂S

∂s +n.σ^R.∇n+r.σ^R.∇r+s.σ^R.∇s (4.55) avec (n´etant la normale unitaire au point deSt consid´er´e et r,s,n´etant une base locale orthonorm´ee)

N =σ^R.n R=σ^R.r S =σ^R.s

Supposant σ^R connu sur St, le second membre de (4.55) est enti`erement connu (il ne contient pas de d´eriv´ee normale), de sorte que (4.55) donne la valeur de la d´eriv´ee normale de σ<sup>R</sup>.n. Une fois celle-ci calcul´ee, on peut pr´edire la valeur de σ<sup>R</sup>.n sur le front S<sub>t+∆t</sub>. L’´equation int´egrale (4.53) pour Ωt+∆t permet alors de calculer ∆u sur ∂Ωt+∆t. Apr`es quoi l’´equation int´egrale (4.53) donne explicitement le tenseur σ^R complet en tout point de S_t+∆t.

Cette approche n’a pas encore vu de d´eveloppement num´erique. D’autre part, le probl`eme d’´evolution (4.55) est probablement instable.

Bibliographie

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Chapitre 5

Minimisation de la fonction-coˆ ut et m´ ethode de l’´ etat adjoint

Sommaire

5.1 Aper¸cu de quelques m´ethodes de minimisation . . . 98 5.2 Minimisation d’une fonctionnelle quadratique . . . 100 5.2.1 Utilisation de la factorisation QR . . . 100 5.2.2 Utilisation de la d´ecomposition en valeurs singuli`eres . . . 101 5.2.3 Cas de l’inversion gaussienne lin´eaire . . . 101 5.3 M´ethodes d’´evaluation du gradient : discussion . . . 102 5.4 M´ethode de l’´etat adjoint en dimension infinie . . . 104 5.5 Etat adjoint et analyse modale . . . 109 5.6 Lin´earisation, ´equations d’observation . . . 111 5.7 Etat adjoint et probl`emes d’´evolution non-lin´eaires . . . 113 5.8 Identification de domaines inconnus par ´equations int´egrales

de fronti`ere . . . 116 5.9 Algorithmes ´evolutionnaires : principe et exemples . . . 120 Bibliographie . . . 123

97

98 Chapitre 5. Minimisation de fonction-coˆut et m´ethode d’´etat adjoint Les chapitres pr´ec´edents ont mis en ´evidence le fait que la r´esolution pratique de probl`emes inverses passe le plus souvent par la minimisation d’une fonction-coˆut. Le probl`eme de minimisation incorpore d’une part l’information physique sur le probl`eme consid´er´e (distance entre donn´ees mesur´ees d^obs et calcul´eesd(p), d’autre part des infor-mations a priori (terme r´egularisant R(p)) :

p∈minRⁿJ(p) J(p) =D(d^obs,d(p)) +R(p) (5.1) Dans certains cas, des informations a priori sont ajout´ees (ou substitu´ees `a R(p)) au moyen de contraintes d’in´egalit´e, et la minimisation (5.1) est faite sous contraintes.

Rappelons que le probl`eme direct, c’est-`a-dire le calcul de la mesure d pr´edite par le mod`ele physique pour une valeur donn´ee de l’inconnue p, n´ecessite habituellement la r´esolution d’un probl`eme aux limites et/ou d’´evolution, qui en lui-mˆeme peut se r´ev´eler coˆuteux :dest fonction deppar l’interm´ediaire des ´equations de la physique du probl`eme¹: on parle parfois d’´equation d’´etat. Lors de la minimisation de J, chaque ´evaluation de J n´ecessite un tel calcul direct.

5.1 Aper¸ cu de quelques m´ ethodes de minimisation

Le choix de la m´ethode de minimisation d´epend bien sˆur des caract´eristiques de la fonction-coˆutJ choisie et de la nature des contraintes ´eventuellement pr´esentes.

Fonctionnelle J diff´erentiable, sans contraintes. Ce cas de figure corres-pond notamment au choix, fr´equent en pratique, de distances mesure-calcul en norme quadratique :

J(p) = 1

2(d^obs−d(p))^TW⁻¹(d^obs−d(p)) +R(p)

o`u W est une matrice (d´efinie positive) de pond´eration. Cette situation englobe aussi l’inversion«gaussienne»non-lin´eaire (chapitre 3), W ´etant la matrice de covarianceC_D et R(p) = ¹₂(p−p^prior)^TC⁻¹_M(p−p^prior).

Si le terme r´egularisant R(p) est ´egalement diff´erentiable, les m´ethodes classiques de minimisation faisant appel `a l’´evaluation du gradient peuvent ˆetre utilis´ees :

• Gradient conjugu´e,

• Quasi-Newton (actualisation BFGS ou DFP du pseudo-hessien),

• Marquardt-Levenberg

L’erreur en relation de comportement (chapitre 4) entre ´egalement dans cette cat´egorie.

Les algorithmes de minimisation mentionn´es d´eterminent une suite de directions de descente s_n construite `a partir du gradient ∇pJ(p<sub>n</sub>) au point courant et proc`edent `a une minimisation unidimensionnelle, ou line search, suivant chacune de ces directions successives :

mint≥0 J(p_n+snt)

Chaque type d’algorithme se distingue notamment par le principe mis en œuvre pour construire cette suite [7], [9], [13] :

1Par exemple, la valeur de la temp´erature `a la fronti`ere d’un corps thermiquement conducteur d´epend de la conductivit´e, `a travers l’´equation de la chaleur.

5.1. Aper¸cu de quelques m´ethodes de minimisation 99 1. Gradient conjugu´e : direction sn «conjugu´ee» (c’est-`a-dire orthogonale au sens du produit scalaire associ´e `a la matrice hessienne H de J) avec les directions ant´erieures :

s1 =∇_pJ(p₁) et sn.si = 0 (i < n) 2. Quasi-Newton (Newton avec pseudo-hessien d´efini positif actualis´e)

s₁ =H⁻¹₁ ∇_pJ(p₁) et H⁻¹_n+1 =H⁻¹_n + ∆H_n⁻¹ , s_n+1 =H⁻¹_n+1∇_pJ(p_n) o`u l’actualisation ∆H⁻¹_n est d´efinie par une formule en fonction de p_n+1−p_n et

∇_pJ(p_n+1)−∇_pJ(p_n), dont il existe plusieurs variantes (les plus utilis´ees ´etant BFGS et DFP) ;

3. Marquardt-Levenberg (Newton avec hessien H approch´e), pour moindres carr´es : H = 1

2

p

X

k=1

r_k²(p)∇∇J ≈(∇r)^T∇r

L’´evaluation du gradient joue clairement un rˆole primordial dans ces types d’algorithmes.

La suite de ce chapitre (sauf la section 5.9) se place dans l’hypoth`ese d’une fonction-coˆut J(p) diff´erentiable, pour la minimisation de laquelle on souhaite faire appel `a une m´ethode utilisant son gradient (gradient conjugu´e, quasi-Newton, Marquardt-Leven-berg...). Compte tenu du coˆut num´erique (essentiellement ´egal `a celui d’une r´esolution directe) d’une ´evaluation de J, ingr´edient minimal pour toute m´ethode de minimisation, il est essentiel d’optimiser le coˆut additionnel entraˆın´e par l’´evaluation du gradient deJ. Fonctionnelle non diff´erentiable. Ce cas de figure correspond par exemple au choix de distances en norme L¹

D(d^obs,d(p)) =

m

X

j=1

d^obs_i −di(p)

ou L^∞ :

D(d^obs,d(p)) = max

1≤j≤m

d^obs_i −d_i(p)

L’inversion «probabiliste», ou «bay´esienne» (Tarantola [17], voir chapitre 3) conduit, dans le cas de densit´es de probabilit´e uniformes, `a la minimisation d’une norme L^∞. Il est montr´e dans la mˆeme r´ef´erence que ces formulations d´ebouchent sur l’utilisation d’algorithmes de programmation lin´eaire (minimisation de fonctionnelles lin´eaires avec contraintes lin´eaires).

M´ethodes ´evolutionnaires, algorithmes g´en´etiques. La minimisation de J peut ´egalement reposer sur l’utilisation de tirages al´eatoires. Des d´eveloppements r´ecents ont en particulier conduit aux m´ethodes ´evolutionnaires, dont un aper¸cu est pr´esent´e en section 5.9.

100Chapitre 5. Minimisation de fonction-coˆut et m´ethode d’´etat adjoint