Chapitre 1 Cadre et objectifs de la recherche
4. Recherche de situation fondamentale de l’énumération de Briand
Briand (1993) suit la méthode fondatrice de la théorie des situations didactiques, qui est de « faire correspondre […], à chaque connaissance, sa situation fondamentale. » (Guy Brousseau, 1984, p. 4).
4.1 La situation des chênes
Dans la recherche de la situation fondamentale, Briand (1993) étudie les relations qu’entretiennent dénombrement par comptage et pratiques d’énumération. Il conduit des expérimentations qui l’amènent notamment à proposer plusieurs situations de dénombrement à des sujets qui sont des élèves de CP. Il s’agit pour lui de valider des hypothèses sur la nature des stratégies mises en œuvre par les sujets et sur la concurrence qui s’exerce entre ces stratégies d’énumération.
Commençons par rappeler la définition de la notion de partition, dont nous ferons un usage massif dans cette recherche. Pour cela, nous nous appuyons sur la définition produite par Bouvier et al. (2013)dans son dictionnaire des mathématiques.
« Partition d’un ensemble E – Ensemble non vide de parties de E qui sont non vides, disjointes deux à deux et dont la réunion est égale à E » (Bouvier et al., 2013, p. 630)
Le schéma ci-dessous montre la réalisation d’une partition d’un ensemble en deux-sous parties.
Figure 5 : Schéma de la partition d’un ensemble en deux sous-parties
Dans ces situations, les sujets doivent dénombrer une collection d’objets dessinés sur une feuille, des arbres en l’occurrence. Pour ce faire, les sujets ont la possibilité d’écrire sur le
support qui leur est proposé. Briand étudie les procédures mises en œuvre par les sujets en focalisant son analyse sur les dimensions d’organisation pour produire une énumération de cette collection d’objets.
Trois situations sont proposées. Nous nous intéressons ici à la situation des chênes. Ce qui caractérise cette situation par rapport aux deux autres proposées est l’absence de structure évidente de la collection proposée. Dans les autres situations, des structures apparaissent plus spontanément, et permettent la mise en œuvre d’une énumération par appui sur les structures lignes et/ou colonnes des collections ou sur des partitions suggérées.
Nous choisissons de ne revenir que sur les collections sans structure évidente dans la mesure où ce sont celles-là qui font apparaitre chez le sujet la nécessité de produire une organisation pour pouvoir énumérer correctement, « le choix de la structuration incombe à l’élève » (Briand, 1993, p. 133)
Ainsi cette absence de structure évidente permet à Briand d’observer les stratégies mises en œuvre par les sujets pour essayer de répondre à la question posée.
Commençons par insister sur les conditions matérielles qui sont proposées au sujet pour investir cette situation. Les sujets disposent de la collection des chênes représentée sur un support écrit de la taille d’une feuille A4. Les sujets disposent d’un crayon. Ils ont le droit d’écrire sur cette feuille. A priori l’absence de référence à un dispositif de type gomme dans la description de l’organisation matérielle nous laisse penser que les sujets ne peuvent pas effacer les signes graphiques produits.
Briand repère les procédures mises en œuvre par les sujets lors d’observations et structure une analyse de ces procédures en décrivant deux stratégies :
• Une stratégie R qui repose sur « un rangement de la collection » • Une stratégie P fondée sur un partitionnement de la collection
Examinons, en appui sur des travaux d’élèves, ce que Briand entend par là. Nous complèterons les analyses de Briand en appui sur la matérialité.
4.1.1 La stratégie (R)
Cette première stratégie que Briand décrit est directement fondée sur la seconde définition qu’il a produit de l’énumération, à savoir la réalisation d’un chemin qui va passer par l’ensemble des éléments de la collection.
Pour Briand, cette stratégie est la stratégie de base, celle qui se déduit directement de la définition. Le caractère premier de la stratégie est renforcé par l’adjonction du qualificatif « directe » à l’énumération.
Illustrons nos propos en appui sur une présentation de quelques-unes des données produites par Briand, suivies de l’analyse que nous en faisons. Nous allons détailler le travail réalisé par quatre élèves de CP.
4.1.1.1
Le travail de Mylène
Figure 6: « Travail de Mylène, exemple de chemin organisé en escargot » (Briand, 1993, p. 311)
Pour Briand, Mylène a mis en œuvre une procédure d’énumération directe, par chainage, par fabrication d’un rangement qu’il nomme stratégie R.
Introduisons des dimensions matérielles à l’analyse de la procédure de Mylène.
Mylène a tracé avec son crayon un chemin qui passe une fois et une seule par chaque élément de la collection. Elle a dessiné un trait continu en commençant par les éléments les plus extérieurs de la collection. Le point de départ de son tracé est l’élément qui figure dans le coin bas et gauche de sa feuille. Ce tracé s’organise autour d’un sens de rotation, celui des aiguilles d’une montre et passe par les éléments qui apparaissent comme les plus extérieurs à ce principe de rotation. Le tracé se termine par un élément que l’on peut à ce moment qualifier de central.
La stratégie (R) décrite par Briand est une stratégie qui repose sur le traitement un par un des éléments de la collection.
Bien que nous n’ayons pas observé Mylène en situation, nous avons formulé une hypothèse sur le sens du chemin qu’elle a produit. En effet, orienter le chemin dans le sens inverse signifierait choisir comme premier élément celui que nous avons qualifié de central dans notre description. Cela nous semble peu plausible dans la mesure où le repérage de cet élément central comme premier élément nous semble peu évident perceptivement.
4.1.1.2
Le travail de Mélissa
Figure 7 : « Travail de Mélissa, réalise une piste à partir d'un tracé continu » (Briand, 1993, p. 310)
Pour cette élève, nous disposons d’une indication sur les mots qu’elle a prononcé lors de la collecte des données : « je fais la promenade et après je compte ».
Comme Mylène, Mélissa a tracé avec son crayon un chemin qui passe une fois et une seule par chaque élément de la collection. Elle a dessiné un trait continu qui s’appuie sur le repérage d’une série de lignes, au moins pour le démarrage de l’exploration.
Pour Briand, Mélissa met en œuvre une stratégie d’énumération directe par rangement. Ce qui diffère ici par rapport à la stratégie de Mylène est l’appui sur une structure, ici une structure ligne.
Au sein des stratégies d’énumération directes, apparaissent deux variantes liées à la nature de l’appui sur une structure (escargot pour Mylène et lignes pour Mélissa).
Poursuivons notre introduction des dimensions matérielles à l’analyse de la procédure de Mélissa.
Là encore, nous formulons une hypothèse sur le sens du chemin qui a été produit. Le point de départ du tracé nous semble être l’élément qui figure premièrement le plus haut dans sa feuille et deuxièmement le plus à gauche. Pour s’en convaincre il suffit de raisonner par l’absurde. Imaginons que Mélissa ait commencé par ce que nous considérons comme étant le dernier élément du chemin. Cela semble peu plausible qu’elle puisse produire un chemin de la forme attendue, avec un parcours des éléments de la collection qui semble très désorganisé à son démarrage pour terminer par une dernière ligne parfaitement organisée.
4.1.1.3
Le travail de Mathilde
Figure 8 : « Travail de Mathilde, exploration de la collection en ligne » (Briand, 1993, p. 312)
Pour Briand, « les nombres sont inscrits, mais ne viennent pas au secours de Mathilde lorsque se pose le problème du choix du 36e élément »
La stratégie mise en œuvre par Mathilde apparait comme une variation de la stratégie mise en œuvre par Mélissa, le marquage remplaçant le chemin. C’est encore une stratégie d’énumération directe au sens de Briand, « d’énumération chainage », puisque les éléments sont traités un à un.
Complétons l’analyse en référence à la matérialité.
Mathilde met en œuvre une stratégie qui par certains aspects apparait en rupture avec les stratégies observées précédemment. Il n’y a pas ici de fabrication d’un tracé continu comme nous l’observons dans les deux cas précédents. Les éléments de la collection sont marqués par un signe graphique au fur et à mesure que l’exploration se poursuit. Ce signe graphique est
l’écriture chiffrée de la suite des nombres. C’est une collection de symboles qui permet de reconstituer, visuellement par exemple, le chemin qui est suivi par Mathilde pour explorer sa collection. La fabrication de ce marquage apparait comme la mise en œuvre d’un processus discret qui colle au plus près du caractère discret de la collection d’éléments qu’il fallait énumérer. De ce point de vue, la forme du geste mis en œuvre ne présente plus le caractère continu qui apparaissait dans le geste graphique qui était réalisé précédemment.
Le marquage des éléments de la collection n’est pas réalisé jusqu’à son terme. Nous ne pouvons donc pas savoir quel aurait été le dernier élément. Le marquage des éléments s’interrompt après l’écriture de l’étiquette 35 sur le dernier élément de la collection qui a été traité. On peut imaginer que le travail n’est pas conduit à son terme.
Remarquons que, pour les éléments qui ont été marqués, le marquage est plutôt toujours positionné au même endroit, sous le feuillage du chêne et plutôt à droite du tronc.
Une structuration en lignes a été élaborée par Mathilde, avec un choix de premier élément qui est identique à celui qui avait été réalisé par Mélissa.
Le marquage qui est réalisé ici est fait avec une collection d’objets ordonnés (la collection des écritures chiffrées des nombres). Le choix du premier élément est donc ici tout à fait explicite.
4.1.1.4
Le travail de Juliette
Figure 9 : Travail de Juliette (Briand, 1993, p. 318)
Pour Briand, Juliette «exécute un marquage sans se préoccuper du comptage. A la fin du marquage, elle s’aperçoit que le marquage ne convient pas. Elle recommence alors un autre marquage en comptant ».
Complétons l’analyse en référence à la matérialité.
Comme chez Mathilde, il n’y a pas de chemin continu qui lie les chênes les uns aux autres. Un symbole graphique a été inscrit sur chaque élément de la collection de chênes, au fur et à mesure qu’ils étaient traités.
Nous ne pouvons pas reconstituer l’ordre dans lequel la collection de chênes a été énumérée, puisque contrairement à la collection des écritures chiffrées, c’est une collection de symboles tous identiques qui est utilisée ici. La collection des signes utilisés a certaines caractéristiques que l’on trouve dans les stratégies de fabrication d’un chemin continu. Le premier élément traité n’apparait pas explicitement. Nous n’avons ici aucune indication qui nous permette de conjecturer sur l’ordre dans lequel les éléments ont été traités. La stratégie mise en œuvre pourrait tout autant relever du chemin en escargot que de la stratégie ligne.
4.1.2 La stratégie (P)
Dans son analyse a priori, Briand anticipe sur une seconde stratégie d’énumération qui repose sur la réalisation d’un partitionnement de la collection de chênes. Il nomme cette stratégie (P).
Quand le sujet met en œuvre cette stratégie pour dénombrer sa collection, il se retrouve avec un algorithme que Briand décrit :
« La stratégie P se décompose en actions qui doivent être coordonnées :
- Explorer la collection en effectuant des paquets (selon une règle implicite ou explicite qui peut varier). Cette classification peut contribuer à une énumération finale ou non.
- Faire un bilan numérique de chaque classe à l'aide d'une stratégie R.
- Effectuer une énumération sur l'ensemble des cardinaux de chaque classe afin de produire soit une concaténation de nombres, soit une suite additive, soit éventuellement une écriture canonique du cardinal de l'ensemble. Cette énumération suppose que l'enfant conçoive le remplacement d'une classe par le cardinal. » (Briand, 1993, p. 131)
Briand observe plusieurs modalités graphiques de réalisation de cette stratégie. Nous allons en présenter deux ici.
4.1.2.1
Le travail de Christian
Figure 10 : « Travail de Christian, réalisation de classes à l'aide de frontières » (Briand, 1993, p. 315)
Briand nous indique que « l’enfant de moitié, de partage ».
Nous complétons l‘analyse en référence à la matérialité en indiquant que Christian se contente d’un simple trait pour représenter la fabrication des sous-ensembles.
4.1.2.2
Le travail d’Arnaud
Figure 11 : travail d'Arnaud (Briand, 1993, p. 314)
Briand nous indique qu’ « une classe est réalisée par exploration spatiale et comptage. L’enfant s‘arrête à, 9. Les trois autres classes sont obtenues de la même façon ».
En appui sur la matérialité, nous pouvons dire qu’Arnaud met en œuvre un geste graphique différent dans la mesure où il fabrique un trait continu fermé pour représenter chacun des sous-ensembles fabriqués.
Nous n’entrons pas ici dans les détails de l’analyse de la question de la production du résultat numérique. Notons cependant que, au sens de Briand :
• Christian n’a pas fait le bilan numérique de chaque classe
• Arnaud a bien fait le bilan numérique de chaque sous-ensemble à l’aide de la stratégie R (en mettant en œuvre une stratégie de fabrication de signes graphiques identiques sur certains sous-ensembles, comme Juliette l’avait fait sur l’ensemble entier)
4.1.3 Des observations qui posent question
Lors de ses expérimentations, Briand va rencontrer des stratégies non prévues. Nous allons revenir sur deux de ces observations et qui vont lui permettre de revenir sur son analyse a priori des stratégies.
Commençons par analyser le travail réalisé par Claire.
4.1.3.1
Le travail de Claire
Figure 12 : Travail de Claire (Briand, 1993, p. 317)
Briand nous indique que Claire mis en œuvre un « chainage comme moyen de constituer une partition. Claire effectue en même temps, la désignation des classes».
Claire met en œuvre une stratégie en œuvre une stratégie (P). Elle partitionne bien son ensemble de départ en cinq sous-ensembles.
En appui sur la matérialité, revenons sur la forme graphique que Claire met en œuvre pour symboliser la fabrication des sous-ensembles. Claire a dessiné un trait continu qui passe par chacun des éléments du sous-ensemble. Donc de ce point de vue, elle met en œuvre une stratégie (R) sur chaque sous-ensemble. Le trait qui est réalisé pour symboliser les sous- ensembles est un trait continu fermé, qui boucle sur lui-même. Pour autant, ce n’est pas une stratégie (R) qui est mise en œuvre sur l’ensemble lui-même.
La mise en œuvre d’une procédure de ce type pour fabriquer des sous-ensembles ne permet pas tout type de fabrication dans la mesure où « l’épaisseur » du sous-ensemble est limitée, contrairement à la représentation d’Arnaud. Nous nous trouvons face à une représentation qui apparait comme entre le trait continu représentant le chemin et la ligne fermée représentant le sous-ensemble.
De plus, notons que Claire a construit les traits, des chemins, dont certains passent plusieurs fois sur le même élément. Pour autant, ce double passage sur un élément ne perturbe pas la production du cardinal du sous-ensemble (ensembles I pour 8I et A pour 11A).
Intéressons-nous maintenant aux écritures à côté de la collection de chênes.
Briand a décrit le processus mis en œuvre dans cette situation et a repéré deux variantes.
« Ceux qui prévoient l'énumération des nombres (ils disposent les nombres à part) et ceux qui ne prévoient pas : ceux-ci écrivent le nombre à côté de la classe concernée.
Des enfants entourent d'abord et ne se préoccupent pas de tenir la comptabilité pour chaque classe constituée. Ainsi, des enfants travaillant de façon très organisée sous contrôle numérique "faire des paquets de 5", mais qui ne marquent pas les 5 au fur et à mesure, n'ont plus la possibilité de produire une énumération des paquets ou bien commettent des erreurs. D'où des oublis du 5 dans la suite additive. Dans le domaine étudié dans le cadre de notre observation, les enfants peuvent énumérer les classes parce qu'elles sont dans un domaine de contrôle que nous qualifions de proche de la perception globale. Certains enfants sont toutefois très hésitants sur la façon d'explorer ce nouvel ensemble. » (Briand, 1993, p. 148)
Claire n’a pas fabriqué des sous-ensembles de taille fixe. Par contre, elle se préoccupe bien de tenir la comptabilité de chaque classe, vraisemblablement au fur et à mesure que chaque classe est fabriquée. En tout cas, elle n’en n’a oublié aucune.
Entrons dans l’analyse de la matérialité de la forme écrite qu’elle a produite. Cette série d’écritures chiffrées, soigneusement positionnées les unes sous les autres, est une forme graphique qui, dans le registre de l’écrit est un chemin. En appui sur des considérations anthropologique de l’écrit, nous pouvons affirmer que Claire met en œuvre une stratégie d’énumération directe de sa collection écrite des cardinaux des sous-ensembles qu’elle a fabriqués.
4.1.3.2
Le travail d’Alexandre
Figure 13 : Travail d'Alexandre (Briand, 1993, p. 313)
Briand nous indique que « la constitution des classes se fait à partir du choix d’un nombre : (paquets de 4) ». Alexandre a partitionné la collection d’éléments en sous- ensembles. Il met donc bien en œuvre une stratégie de type (P).
Par ailleurs, Alexandre réalise une partition de sous-ensembles qui ont tous même cardinal, ce qui correspond à une des formes attendues par Briand.
Du point de vue de la matérialité, nous remarquons que le signe graphique réalisé pour symboliser l’ensemble est du type ligne fermée, comme ceux réalisés par Arnaud.
Par contre, Briand remarque que le travail d’Alexandre va au-delà du simple partitionnement, puisqu’en plus de la fabrication de signes graphiques matérialisant les sous- ensembles de 4 éléments figurent aussi des signes graphiques qui matérialisent un lien entre ces différents sous-ensembles. Il qualifie la stratégie mise en œuvre par Alexandre de « mixte » (Briand, 1993, p. 148).
La fabrication d’une partition a certes réduit le nombre d’éléments à traiter. Cette fabrication ne règle pas pour autant la question de l’énumération de la collection des nouveaux objets que constituent ces sous-ensembles.
On peut légitimement formuler l’hypothèse que cette suite de liens entre les différentes sous-ensembles peut s’interpréter comme un chemin, et que c’est l’appui sur ce chemin qui va permettre d’organiser l’exploration des différents sous-ensembles de la collection.
Alexandre met donc en œuvre une stratégie qui combine les deux stratégies élaborées par Briand.
Claire et Alexandre fournissent donc deux exemples de combinaisons différentes des stratégies (R) et (P).
4.1.4 Les
limites
du
comptage
dans
le
développement des stratégie d’énumération
Briand identifie les limites de la situation de comptage dans le développement des connaissances d’énumération :
« Le comptage constitue un obstacle à la mise en concurrence des pratiques énumératives, par surdétermination de la stratégie de chainage d’une part, par la confusion qu’il entretient entre les activités d’exploration de collection et lui-même » (Briand, 1993, p. 132)
Il a identifié au sein de son échantillon deux groupes distincts qui ont chacun une conception distincte de l’énumération. Certains conçoivent « plutôt l’énumération chainage comme une technique de base » (Briand, 1993, p. 145) alors que d’autres conçoivent des techniques mettant en œuvre des partitionnements
Il poursuit l’analyse des résultats de son expérimentation en référence à la construction du nombre.
Cette conclusion pose un réel problème pour l’enseignement du nombre. Une énumération féconde pour la construction de la numération […] ne constitue pas la stratégie la plus performante pour effectuer le comptage. Or, c’est le comptage qui est demandé. Il y a ainsi des risques à voir les enfants ne pas s’investir dans l’exploration de type partition parce que cette exploration ne constitue pas une solution efficace dans l’immédiat du cours préparatoire » (Briand, 1993, p. 145)
Il perçoit l’importance des stratégies de partitionnement et dans le même temps, ses données sur la situation des chênes lui indiquent que les élèves de son échantillon qui réussissent le moins bien sont ceux qui utilisent cette stratégie.