modèles à l’évapotranspiration
potentielle
Les études portant sur la sensibilité des modèles hydrologiques à l’ETP sont assez peu nombreuses et s’arrêtent généralement au constat sur quelques bassins, sans définir avec certitude les causes de cette insensibilité. Les deux principaux arguments avancés pour expliquer cette insensibilité sont que :
1. l’ETP est par nature une variable conservative avec des valeurs enregistrées assez prévisibles (Parmele, 1972; Calder, 1983; Fowler, 2002). Il se pourrait par conséquent que les écarts entre ETP datée et interannuelle ne soient pas assez conséquents pour engendrer des simulations de débits différentes ;
2. le bassin versant se comporte comme un filtre pour les données atmosphériques, atténuant ainsi la variabilité temporelle des entrées climatiques (Bras et Rodriguez-Iturbe, 1976; Bras, 1979; Storm et al., 1989; Wu et al., 2002).
Si ces deux points peuvent expliquer une partie de l’insensibilité des modèles pluie-débit, pour certaines conditions climatiques, les données décadaires et même mensuelles s’écartent assez largement de la valeur interannuelle correspondante. Ainsi, même si les deux points précédents sont sans doute prépondérants, il s’agit de vérifier dans quelle mesure ils expliquent l’insensibilité que nous avons observée.
L’objectif de cette troisième partie est de mettre en évidence les raisons de l’insensibilité des modèles pluie-débit à l’ETP, constatée à la partie précédente. Le fait que les modèles pluie-débit ne semblent pas utiliser de façon pertinente l’ETP est assez problématique. Il est en effet difficile de concevoir que l’ETP datée ne permette pas d’obtenir des résultats plus satisfaisants qu’une simple ETP moyenne. Plusieurs hypothèses peuvent être avancées pour expliquer cette apparente insensibilité.
• S’agit-il d’un phénomène naturel que le modèle retranscrit assez fidèlement ?
• Les modèles pluie-débit ont-ils une capacité d’adaptation, par le biais de leurs paramètres, à des modifications en entrée de l’ETP ?
• Les formules d’ETP traditionnelles sont-elles inadaptées à la modélisation pluie-débit ? • Faut-il remettre en cause la structure du modèle, notamment la partie traitant l’évaporation ?
Alors que la première interrogation nous semble difficile à investiguer, les trois autres sont plus à notre portée. Dans le Chapitre 7, nous cherchons à évaluer le rôle qu’a le calage des paramètres du modèle GR4J lors d’une
modification de l’entrée d’ETP. Dans le Chapitre 8, nous nous interrogeons sur la validité des formules d’ETP utilisées pour représenter la demande évaporatoire à l’échelle du bassin versant. Pour cela, nous utilisons des données synthétiques de débits, et testons la sensibilité des modèles à la variabilité temporelle de l’ETP. L’utilisation de données synthétiques nous permet en effet d’ôter toute interrogation sur la validité des données d’ETP. Dans le Chapitre 9, nous nous interrogeons sur le rôle de la structure du modèle sur sa sensibilité à l’ETP. Pour cela, nous utilisons également des données synthétiques pour suivre la sensibilité des modèles au sein de leur structure, afin de déterminer à quel niveau les modèles sont susceptibles d’absorber les différences entre plusieurs types de données d’ETP. En effet, les modèles semblent se comporter comme des filtres passe-bas pour les données atmosphériques, atténuant ainsi la variabilité temporelle des entrées climatiques. Dans le Chapitre 10, nous tentons de déterminer les caractéristiques de ces filtres par une analyse fréquentielle.
Chapitre 7 Adaptation des paramètres du modèle GR4J à des
modifications d’ETP
∗Equation Section 7
7.1. Introduction
Dans ce chapitre, nous cherchons à identifier les causes du faible impact du mode de calcul de l’ETP sur les performances des modèles pluie-débit. Une des hypothèses pouvant être avancées pour expliquer cette insensibilité est le fait que les modèles pluie-débit ont une capacité d’adaptabilité : ils peuvent compenser, au travers de leurs paramètres des modifications de l’ETP (Andréassian et al., 2004). Les études récentes menées au Cemagref semblent en effet indiquer que le paramètre représentant les échanges souterrains du modèle GR4J s’ajuste suivant l’entrée d’ETP (Andréassian, 2002; Mouelhi, 2003). Afin d’étudier le rôle du calage du modèle après modification de l’entrée d’ETP, nous proposons d’introduire des erreurs aléatoires et systématiques dans les chroniques d’ETP et de déterminer les impacts de ces erreurs sur les performances, les valeurs des paramètres du modèle et les incertitudes liées à l’estimation de ces paramètres. Nous avons limité notre investigation au modèle GR4J et à douze bassins versants, afin d’analyser en détail les impacts de chaque type d’erreur.
7.2. Revue bibliographique
En modélisation hydrologique, la connaissance de l’impact des erreurs sur les données est crucial mais fréquemment négligé (Paturel et al., 1995). Pour la modélisation pluie-débit en particulier, les erreurs sur les entrées du modèle peuvent affecter (1) les performances du modèle, (2) les valeurs des paramètres calés et (3) les incertitudes existant sur les paramètres du modèle. Le premier type d’impact a été traité par plusieurs auteurs (Ibbitt, 1972; Paturel et al., 1995) mais la disparité des résultats obtenus est assez surprenante. Les deux autres types d’impact ont été beaucoup moins traités, mais ne sont pas moins importants car, comme le notaient Mein et Brown (1978), « ce n’est pas parce qu’un modèle donne de bons résultats que les paramètres ont été déterminés précisément pour un bassin versant donné ». On peut alors se demander quelle utilisation d’ETP permet les estimations des paramètres du modèle les plus fiables. A efficacité égale, l’entrée d’ETP pourrait en effet être choisie sur des critères de fiabilité de l’estimation des paramètres.
Une des premières études sur la sensibilité des modèles pluie-débit aux erreurs d’entrées d’ETP a été effectuée par Parmele (1972). L’auteur utilise trois modèles et un échantillon de neuf bassins versants pour évaluer l’impact des erreurs d’ETP sur les performances des modèles. Il compare les débits simulés avec des ETP erronées aux débits simulés avec des ETP « parfaites ». Les travaux de Parmele sont originaux puisqu’il utilise un nombre important de bassins versants. Parmele reconnaît la non-unicité des paramètres, que l’utilisateur du modèle peut modifier afin d’atténuer l’impact des erreurs sur les séries d’ETP.
Paturel et al. (1995) ont évalué la sensibilité du modèle GR2M (Makhlouf et Michel, 1994) à des erreurs systématiques d’ETP. Ils trouvent des résultats assez similaires à ceux obtenus par Parmele mais vont plus loin dans l’analyse des paramètres calés par le modèle : les résultats les conduisent à penser que le modèle a une capacité d’absorption des erreurs d’estimation de l’ETP.
∗ Un article a été rédigé sur ce chapitre. Une partie seulement est retranscrite ici puisque l’article étudie comparativement les
Nandakumar et Mein (1997) se sont également penchés sur ce type de problème en étudiant les effets d’erreurs systématiques appliquées aux entrées d’ETP. Cette étude a été réalisée à partir de cinq bassins versants situés dans la province de Victoria en Australie et à l’aide du modèle conceptuel à pas de temps journalier HYDROLOG. Les données d’ETP ont été calculées suivant la méthode de Penman. Ces auteurs ont montré que l’introduction d’un biais de 10% sur les ETP journalières provoque des erreurs comprises entre 6 et 10% sur les débits moyens annuels simulés.
Andréassian et al. (2004) ont étudié l’impact d’une meilleure connaissance de l’ETP sur les paramètres et les performances des modèles GR4J et TOPMO. Pour cela, ils ont proposé une formule d’ETP régionalisée afin d’améliorer les estimations spatiales de l’ETP sur 62 bassins versants du Massif central. Ils ont montré que l’efficacité des modèles était très peu influencée par le choix de la formulation de l’ETP. Cette insensibilité est expliquée par le recalage des paramètres du modèle qui permet de compenser les biais d’ETP.
Pour clarifier les résultats trouvés dans la littérature, Andréassian (2002) propose de classer les études de sensibilité en deux catégories : « statiques » et « dynamiques ».
les études de sensibilité statiques sont celles qui explorent la sensibilité des modèles à leurs entrées en optimisant dans un premier temps les paramètres, ceux-ci restant inchangés par la suite. La sensibilité du modèle est analysée en comparant les débits simulés avec des entrées « erronées » aux débits simulés avec des entrées « parfaites ».
les études de sensibilité dynamiques s’effectuent pour leur part avec des paramètres optimisés (et des débits simulés) de référence, qui correspondent à des entrées (pluie ou ETP) de référence. Mais lorsque le modèle est utilisé avec des entrées « erronées », le modèle pluie-débit est ré-optimisé avant de simuler les débits qui devront être comparés aux débits de référence.
La plupart des études décrites précédemment suivent une analyse statique : Nandakumar et Mein, 1997 ; Parmele, 1972. L’étude menée par Paturel et al. (1995) utilise une approche mixte. Cette classification révèle des différences d’approche fondamentales en modélisation : les analyses statiques considèrent les paramètres des modèles comme absolus, ayant une justification physique, et donc une justification indépendamment de possibles erreurs sur les données d’entrées. Les analyses dynamiques, telle celle menée par Andréassian et al. (2004), traduisent quant à elles une reconnaissance des limites des modèles pluie-débit, et de la dépendance qui existe entre paramètres estimés et données climatiques disponibles. Nous avons donc choisi pour notre étude une approche dynamique, car celle-ci permet de tenir compte de l’adaptabilité des modèles pluie-débit aux données d’entrée utilisées pour le calage.
7.3. Données et méthodes
7.3.1. Bassins versants utilisés
Pour ce chapitre, nous avons privilégié un échantillon restreint afin de pouvoir suivre l’évolution de tous les paramètres suivant les erreurs introduites. L’échantillon des douze bassins versants américains de la base de données MOPEX (Schaake et al., 2001) a été choisi compte tenu des fortes interactions existant entre ce projet et notre recherche. Ces données ont été assemblées à partir de plusieurs sources : le Laboratoire d'Hydrologie du National Weather Service a traité les données de précipitation, les données d’ETP sont issues de l'Atlas d'Évaporation NOAA (Farnsworth et al., 1982) et les données de débits sont issues de la base de données de l’USGS. Les bassins versants sont répartis sur neuf Etats dans la partie du sud-est des Etats-Unis, comprenant des conditions hydrologiques et climatiques diverses, avec des bassins de climat semi-aride à très humide (cf. Tableau 7-1).
Tableau 7-1 : Caractéristiques principales des douze bassins versants utilisés
Code Nom du bassin Etat Superficie
(km²) Min / Moy / Max Pluie annuelle
(mm)
Min / Moy / Max
Débit annuel (mm) ETP annuelle (mm)Moyenne rendement annuel Coefficient de
1 1608500 South Branch Potomac River near Springfield West Virginia 3810 805 / 1040 / 1530 147 / 341 / 795 762 0.33 2 1643000 Monogacy River at Jugde Bridge near Frederick Maryland 2116 758 / 1038 / 1538 197 / 421 / 945 898 0.41
3 1668000 Rappahannock River near Fredericksburg Virginia 4134 763 / 1028 / 1453 135 / 378 / 759 921 0.37
4 3054500 Tygart Valley River at Phillipi West Virginia 2372 908 / 1163 / 1639 481 / 736 / 1353 711 0.63
5 3179000 Bluestone River near Pipestem West Virginia 1021 801 / 1015 / 1323 169 / 417 / 742 741 0.41
6 3364000 East Fork White River at Colombus Indiana 4421 746 / 1011 / 1337 204 / 378 / 663 856 0.37
7 3451500 French Broad River at Asheville North Carolina 2448 967 / 1380 / 1779 350 / 800 / 1264 820 0.58
8 5455500 English River at Kalona Iowa 1484 483 / 891 / 1391 52 / 270 / 939 995 0.30
9 7186000 Spring River near Waco Missouri 3015 596 / 1073 / 1490 62 / 299 / 726 1095 0.28
10 7378500 Amite River near Denham Springs Louisiana 3315 1052 / 1562 / 2042 175 / 610 / 1081 1074 0.39
11 8167500 Guadalupe River near Spring Branch Texas 3406 470 / 762 / 1070 13 / 116 / 381 1529 0.15
12 8172000 San Marcos River at Luling Texas 2170 494 / 824 / 1180 45 / 179 / 507 1449 0.22
Figure 7-1 : Localisation des douze bassins versants MOPEX (source : http://www.nws.noaa.gov/oh/mopex/index.html)
La taille des bassins varie de 1021 à 4421 km² et le coefficient de rendement est compris entre 15 et 63%. Les moyennes annuelles de l’ETP et de pluie sont extrêmement variées sur l’échantillon, avec des valeurs allant du simple au double et l’indice d’aridité varie du simple au triple (de 0.6 à 2.0).
7.3.2. Méthodologie
7.3.2.1. Introduction d’erreurs dans les chroniques de pluie
Le but de ce chapitre est d’évaluer l’impact d’erreurs introduites dans les séries d’ETP sur les performances et l’estimation des paramètres du modèle GR4J. Les données d’ETP en entrée sont perturbées par introduction d’erreurs systématiques et aléatoires. Afin de retranscrire l’inertie du comportement de l’ETP, les erreurs aléatoires s’appliquent sur les volumes mensuels, c’est-à-dire que toutes les ETP du mois seront affectées par la même erreur, selon l’équation :
2 *exp 2 j j m ETP =ETP σ η⋅ −σ (7.1)
où ETPj et ETP*j sont respectivement les valeurs d’ETP du jour j perturbée et originale, ηmest l’erreur aléatoire gaussienne appliquée à tous les jours du mois m et σ est un coefficient permettant de tester plusieurs intensités de l’erreur aléatoire. Lorsque ce coefficient est égal à zéro, il n’y a pas de bruit introduit dans la chronique et plus ce coefficient augmente, plus l’intensité de l’erreur augmente. La Figure 7-2 fournit une représentation graphique de chroniques d’ETP perturbées par un bruit aléatoire, pour σ = 0.1 et σ = 0.5.
0 50 100 150 200 250 300 1965 1970 1975 ETP (mm/mois)
ETP de référence (sans perturbation) ETP perturbée a) 0 50 100 150 200 250 300 1965 1970 1975 ETP (mm/mois)
ETP de référence (sans perturbation) ETP perturbée
b)
Figure 7-2 : Chroniques d’ETP sans perturbation et avec introduction d’un bruit aléatoire avec σ = 0.1 (a) et σ = 0.5 (b).
Afin de tester séparément les impacts d’erreurs systématiques et aléatoires, les chroniques d’ETP perturbées par un bruit aléatoire ont la même valeur moyenne d’ETP sur la période testée. Pour évaluer l'impact d'erreurs systématiques de l’ETP sur la performance et l’estimation des paramètres de GR4J, nous avons utilisé un simple coefficient multiplicatif affecté à toutes les valeurs d’ETP journalières de la chronique :
*
j j
ETP = ⋅k ETP (7.2)
où k est un coefficient permettant de tester plusieurs niveaux de sous- ou sur-estimation de l’ETP. Nous ferons par la suite varier ce coefficient entre 0.5 et 2.
7.3.2.2. Méthodologie d’évaluation de l’incertitude liée à l’estimation des paramètres
Il existe un grand nombre de méthodes pour évaluer l’incertitude liée à l’estimation des paramètres d’un modèle lors de la phase de calage (pour une revue de ces méthodes, voir les ouvrages de Duan et al., 2002 et de Zin, 2002). La méthodologie utilisée ici a été développée par Zhao et al. (1997) pour évaluer l’incertitude d’un modèle événementiel, et adaptée aux modèles continus par Perrin et al. (2004)*. Cette méthodologie suit une procédure
de rééchantillonage pour caler les paramètres du modèle. Elle se déroule en quatre phases :
1- Tirage aléatoire de 100 échantillons de 365 jours (pas forcément consécutifs) sur la période totale d’enregistrement ;
2- Calage du modèle sur chaque groupe de 365 jours, fournissant au total un échantillon de n vecteurs de paramètres ;
3- Calcul de la moyenne et de l’écart type de chaque paramètre, l’incertitude sur les paramètres est ainsi quantifiée par la variabilité des paramètres obtenus à l’issue des 100 calages ;
4- Evaluation de la performance du modèle en validation sur l’ensemble de la période, hormis les jours utilisés pour le calage.
La Figure 7-3 schématise la méthodologie utilisée pour évaluer l’impact d’erreurs sur l’estimation des paramètres de GR4J.
Données initiales
100 fois
…….
Tirage de 365 valeurs et calage sur ces jours
100 jeux de paramètres
Calcul de l’écart type
0 5 10 15 20 01/01/1961 01/07/1962 01/01/1964 01/07/1965 S tream flow (m m ) 0 50 100 150 200 250 Rainfall (mm)
Observed streamflow Rainfall
0 5 10 15 20 01/01/1961 01/07/1962 01/01/1964 01/07/1965 St reamf low ( mm) 0 50 100 150 200 250 Ra in fa ll (mm)
Simulated streamflow Calibration sample Rainfall
0 5 10 15 20 01/01/1961 01/07/1962 01/01/1964 01/07/1965 S tream flow (m m ) 0 50 100 150 200 250 Rainfall (mm)
Simulated streamflow Calibration sample Rainfall
Jeu de paramètres #1
Tirage de 365 valeurs et calage sur ces jours
Jeu de paramètres #100
Figure 7-3 : Méthodologie de rééchantillonage adoptée (Perrin et al., 2004).
7.4. Présentation des résultats
7.4.1. Impact des erreurs d’ETP sur les performances du modèle GR4J
Afin de fournir une approche comparative des deux types d’erreur, la Figure 7-4 indique les performances obtenues par le modèle GR4J sur les douze bassins versants avec une intensité d’erreur croissante.
25 50 75 100
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Intensité du bruit aléatoire
Effi caci té du modèl e en val idati on (crit ère d e N ash , %) a) 25 50 75 100 0.5 1 1.5 2 Coefficient multiplicatif (k) Effi caci té du modèl e en val idati on (crit ère d e N ash , %) b)
Concernant les erreurs aléatoires, les résultats présentés en Figure 7-4 confirment ceux obtenus précédemment. En effet, nous avons vu que les modèles pluie-débit (dont le modèle GR4J) paraissent particulièrement insensibles à la variabilité temporelle de l’ETP. L’introduction d’erreurs aléatoires a sensiblement le même effet qu’une modification dans la formule, puisque seule la répartition du volume d’ETP est modifiée. Cependant, le degré d’insensibilité est remarquable puisque même pour σ=0.5, les performances ne sont que peu altérées (une dégradation du critère de Nash-Sutcliffe de l’ordre de 5 points). De plus, rappelons ici que les erreurs aléatoires sont répétées tout le long d’un mois et ont ainsi un impact sur les variations journalières mais aussi sur les variations mensuelles de l’ETP.
Jusqu’ici, nous n’avions pas traité le problème de la sensibilité des modèles à une sur- ou sous-estimation de l’ETP. L’introduction d’erreurs systématiques dans la chronique d’ETP permet d’explorer cet aspect. La Figure 7-4-b montre qu’une fois de plus, le modèle peut se contenter d’une valeur d’ETP très éloignée de celle observée. Cependant, pour les erreurs importantes, les performances diminuent sensiblement. Ces résultats apportent une nouvelle dimension au constat d’insensibilité des modèles à l’ETP puisque le modèle GR4J reste insensible à des sur- ou sous-estimation de l’ETP. Andréassian et al. (2004) ont montré que le modèle GR4J (ainsi que le modèle TOPMO) avait des capacités à « corriger » des sur- ou sous-estimations de l’ETP en entrée. Afin de vérifier ceci sur notre échantillon de bassins, nous avons examiné les valeurs prises par les paramètres du modèle GR4J.
7.4.2. Impact des erreurs d’ETP sur les valeurs des paramètres du modèle GR4J
Afin de déterminer les possibles causes de l’insensibilité du modèle GR4J à l’ETP, nous proposons de suivre l’évolution des valeurs calées des paramètres du modèle pour différents types et intensités d’erreur introduite. La Figure 7-5 indique les variations des quatre paramètres suivant l’intensité du bruit introduit.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Intensité du bruit aléatoire
X1 - Capaci té du r éser voi r de pr oducti on ( mm) -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Intensité du bruit aléatoire
X2 - Coeffi ci ent d' échanges souter ra in s ( mm) 0 20 40 60 80 100 120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Intensité du bruit aléatoire
X3 - Capaci té du r éser voi r de tr ansfer t (mm) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Intensité du bruit aléatoire
X4 - Temps de base de l'hydrogramme
unit
aire (jour)
Figure 7-5 : Impact d’erreurs aléatoires sur les valeurs des paramètres du modèle GR4J.
Les résultats présentés sur la Figure 7-5 indiquent une relative stabilité des paramètres du modèle GR4J, quelle que soit l’intensité du bruit introduit. Ainsi, le recalage effectué par le modèle GR4J ne permet pas d’expliquer les faibles écarts de performance observés précédemment. La Figure 7-6 indique les variations des quatre paramètres suivant le biais introduit dans les chroniques d’ETP.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.5 1 1.5 2 Coefficient multiplicatif (k) X1 - Capaci té du r éser voi r de pr oducti on ( mm) -12.0 -10.0 -8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 0.5 1 1.5 Coefficient multiplicatif (k) X2 - Coeffi ci ent d' échanges souter ra in s ( mm) 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0.5 1 1.5 2 Coefficient multiplicatif (k) X3 - Capaci té du r éser voi r de tr ansfer t (mm) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0.5 1 1.5 Coefficient multiplicatif (k) X4 - T emps de base de l'hydr ogr amme uni tai re ( jour ) 2
Figure 7-6 : Impact d’erreurs systématiques sur les valeurs des paramètres du modèle GR4J.
Les résultats présentés sur la Figure 7-5 sont très différents de ceux obtenus avec les erreurs aléatoires d’ETP. En effet, les paramètres du modèle GR4J réagissent fortement lorsque l’ETP est sur- ou sous-estimée :
GR4J utilise son paramètre d’échange (X2) pour s’adapter à l’entrée d’ETP qui lui est présentée. X2 prend des valeurs nettement moindres pour les cas de sous-estimation de l’ETP, ce qui correspond à un apport d’eau au bassin.
De façon assez surprenante, l’un des deux paramètres de transfert (X3, la capacité du réservoir de transfert) est affecté par une sur- ou une sous-estimation de l’ETP. Il est possible d’expliquer ce phénomène, par un « report » de la fonction d’échange sur le réservoir de transfert, dans la mesure où les échanges sont une fonction de X3 et du niveau d’eau dans le réservoir de transfert, c’est-à-dire de X3 indirectement. En cas de surestimation de l’ETP, GR4J réduit la capacité du réservoir de transfert, afin de faciliter l’accession à un niveau de remplissage élevé, qui se traduit par des échanges (des apports) plus importants.
Enfin, le temps de réaction du bassin X4 et la capacité du réservoir de production X1 restent très stables et ne sont pas affectés par les perturbations sur l’ETP.
Le modèle GR4J utilise donc les paramètres X2 et X3 pour « corriger » une sur- ou sous-estimation de la demande évaporatoire. Ces résultats tendent à confirmer l’idée d’Andréassian et al. (2004) selon laquelle les modèles pluie-débit ont des capacités d’adaptabilité face à des modifications des entrées.
Notons que les bassins 11 et 12 ont des comportements particuliers puisque les variations de ces paramètres