(Sans règles des gradins)
Post-traitement en proportions
(Impose la règle des gradins)
Re-Optimisation avec les
« proportions » issues du post-
traitement
(Règles des gradins imposés)
Figure 2-10 : Décomposition des étapes relatives à la première méthode d’optimisation
Sur la figure notée « Figure 2-1 », une visualisation possible en différentes zones est montrée. Sur cette figure, les zones correspondent aux différents fonds de maille.
Les 3 critères de dimensionnement sont évalués à chaque itération.
Cette optimisation doit permettre d’avoir une vision précise des proportions sur tout le panneau.
2.2.1 Formulation du problème (méthode 1)
Le problème d’optimisation se formule de la manière suivante : Minimiser la masse du panneau
Variables : t0°,i, t45°,i et t90°,i (avec t45°,i = t135°,i) pour chaque zone d’épaisseur
RFflambement > 1 RFtolerance aux dommages,i > 1
RFRéparabilité,i > 1
Avec i définissant le numéro de la zone
Remarque : les proportions minimales de 11% dans chaque orientation sont imposées par deux points :
- Le premier est la limite de validité des différents critères qui sont basés sur des essais. En dessous de 10%, « l’application composite » renvoie un message d’erreur. - Le second point est dû à l’optimisation. En effet, les sensibilités sont calculées par
différences finies. Si l’on ne prend pas de marge entre la limite du critère sur les proportions et la limitation en proportion dans l’optimisation, la perturbation peut violer les contraintes sur les proportions et ainsi bloquer l’outil (par exemple les proportions après perturbations sont de 9,5%).
Remarque : une amélioration possible est de « déplomber » « l’application composite » (ou tout autre programme extérieur à l’optimiseur) pour que celle –ci renvoie toujours un résultat numérique même si on dépasse les limitations des critères. Ainsi, on ne bloque pas le processus d’optimisation. On pourra alors contraindre à 10% les proportions.
2.2.2 Application
Résultats de l’optimisation
Le résultat de l’optimisation est présenté dans le tableau suivant :
Analyse des résultats :
Premièrement, on peut dire que l’utilisation d’un algorithme d’optimisation a été bénéfique : le résultat est admissible du point de vue des contraintes et sa masse (indice 0.84) est plus faible que le point initial qui n’était pas admissible.
Le panneau est dimensionné par deux critères : la réparabilité et la stabilité. La réparabilité étant active sur 6 zones sur 8 du panneau.
Sur cette optimisation, il est aussi important de noter que pour plusieurs zones, l’épaisseur minimale de 3.1 mm est atteinte. Cette limitation est une limitation imposée par la limite des critères de réparabilité et tolérance aux dommages de l’application composite.
En proportion, on observe que l’épaisseur à 90° (grande dimension du panneau) est minimale pour toutes les zones du panneau sauf pour deux. Ces faibles épaisseurs à 90° sont dues directement au flux qui est faible dans cette direction mais aussi au fait que les plis à 90° sont inefficaces en flambement. En effet, et de manière générale, il faut renforcer le petit coté pour améliorer la tenue en flambement.
Ce résultat donne des informations intéressantes sur le panneau « optimal ». Mais, il faut constater que ce résultat n’est pas acceptable car il viole une contrainte importante qui est la règle des gradins.
En effet, on peut observer sur le graphique suivant (Figure 2-12) que, par exemple, pour une épaisseur totale de 4.2mm, on trouve pour une zone une épaisseur à 0° de 1.1 mm alors que pour l’autre on trouve une épaisseur optimale à 0° de 2.4 mm. Ces épaisseurs différentes pour la même orientation ne sont pas envisagées sur un panneau composite car cela imposerait d’avoir des séquences de drapage différentes alors que l’on est parti sur l’hypothèse d’avoir toujours le même drapage pour différentes zones de même épaisseur.
Pour pallier ce problème, un premier niveau de solution est proposé : un post-traitement de cette première optimisation est réalisé.
Post-traitement de l’optimisation directe
Ce post-traitement revient à faire un choix des proportions sur la base de l’optimisation réalisée. Dans cette étude, on choisit de mettre en place des fonctions affines décrivant les épaisseurs par orientation en fonction de l’épaisseur totale. Ces fonctions sont réalisées par une régression aux moindres carrés. On trouve les fonctions mises en place sur le graphique suivant (Figure 2-12) ainsi que les résultats de l’optimisation (les points sur Figure 2-12).
Le résultat de ce post-traitement doit obligatoirement être la satisfaction de la règle des gradins. Si l’on met en place, comme dans cette étude, des fonctions décrivant les épaisseurs par orientation, on doit vérifier que les fonctions sont croissantes sur la gamme d’épaisseur totale envisagée (cf. 2.1.2 Règles des gradins).
t
0°= 0,6013 x t
total- 0,8127
t
45°= 0,1907 x t
total+ 0,1949
t
90°= 0,0174 x t
total+ 0,4229
0
1
2
3
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
Epaisseur totale (mm)
Epai
ss
eu
r p
ar
or
ei
nt
a
tion
0° +/-45° 90° Linéaire (0°) Linéaire (+/-45°) Linéaire (90°)Figure 2-12 : Résultat de l’optimisation directe multicritères (points) et post-traitement par des fonctions linéaires (courbes)
Avec ce post-traitement, on a fixé les proportions par orientation en fonction de l’épaisseur totale. On peut alors refaire une optimisation avec ces courbes de proportions pour rechercher une loi d’épaisseur respectant la règle des gradins.
Sur le figure précédente (Figure 2-13), on observe le résultat de la seconde optimisation prenant en compte les fonctions linéaires des épaisseurs par orientation en fonction des épaisseurs totales déterminées à l’étape précédente.
Du point de vue de la masse, on peut noter que la masse a augmenté vis à vis de l’optimisation directe (optimisation précédente). Ce résultat est logique puisque en imposant la règle des gradins, on réduit le domaine des solutions.
Néanmoins, ce résultat donne une solution valide en terme de règle des gradins pour une augmentation de masse de moins de 1% de la masse vis-à-vis de l’optimisation « libre » (sans règles des gradins).
Problème de gradient en épaisseur :
Il faut cependant relativiser l’intérêt de ce résultat car il n’y a pas de contrainte d’épaisseur entre zones adjacentes. Le résultat en terme d’épaisseur totale n’est pas « lisse » spatialement : il y a en fait des gradients d’épaisseurs totales variables qui de plus présentent des signes différents. Ainsi, on peut relever les variations de l’épaisseur totale suivantes :
Numéro d’élément 5 6 7 8
Epaisseur 3.89 4.09 3.48 3.78
Tableau 2-1 : Epaisseurs totales selon la direction y
Cette configuration est à éviter car elle complique la fabrication du panneau.