Le rayon optimal d’ajustement

Un aspect important pour la résolution angulaire est la détermination du rayon optimal lors de l’ajustement de la direction initiale. Le programme de reconnaissance de trace a été appliqué sur un lot d’événements simulés pour différentes valeurs du rayon d’ajustement allant de 0 à 10 cm. Sur la figure 4.20, on peut voir les valeurs de la résolution angulaire 3D en fonction du rayon d’ajustement pour 4 énergies différentes (500, 700, 900 et 1100 keV). Elles suivent toutes une courbe formée par deux composantes distinctes, l’une décroissante pouvant être associée à la granularité du détecteur, σG, et l’autre croissante pouvant être associée à la diffusion multiple des électrons, σDM. Nous allons tenter dans les paragraphes suivants de quantifier ces deux composantes.

Figure 4.19 : Distribution des erreurs sur les angles à 2 puis à 3 dimensions.

cste×sin α ×exp ¹ 2 α σ_3D 2 cste×exp ¹ 2 ∆ϑ σ2D 2 θX vrai − θX reconstitué

4.4.2.1 La granularité du détecteur

La première des deux composantes, notée σG, est décroissante. On peut l’interpréter facilement en considérant une trajectoire rectiligne comme celles d’un muon ou d’un électron de grande énergie. Si on note α, l’angle entre la direction réelle et la direction retrouvée par le programme de reconnaissance de trace alors d’après les notations de la figure 4.21, on obtient :

α R =arctan ^∆

R ^(4.3)

où ∆ est l’erreur dans le plan perpendiculaire à la direction réelle de la trace.

σG est alors l’écart type de la distribution de α et peut s’écrire : σG R =arctan ^G

R

où G est appelé granularité du détecteur.

Comme la trajectoire est rectiligne, G provient uniquement de la sensibilité de l’imagerie du détecteur, c’est−à−dire de la largeur des traces et à fortiori de la méthode de reconstruction des traces à partir des images. Elle est donc indépendante de la nature et de l’énergie de la particule.

Ainsi, plus le rayon d’ajustement est grand, plus l’angle α sera petit et σG aussi.

Figure 4.20 : Résolutions angulaires 3D en fonction du rayon d’ajustement pour 4 énergies différentes.

σDM

σ

Figure 4.21 : Schéma explicatif de l’expression de σG

α ^∆

R

Direction retrouvée

4.4.2.2 La diffusion multiple des électrons

La deuxième composante est elle croissante. Elle provient de l’effet de la diffusion multiple. En effet, plus on s’éloigne du vertex, plus l’électron a déjà subi des diffusions et plus l’information sur la direction initiale est perdue.

La diffusion multiple est décrite par la théorie de Molière. Elle dépend de l’énergie de la particule, plus l’énergie est grande et moins la particule est sensible à la diffusion multiple. Mais parce que sa formulation mathématique est complexe, G. Lynch et O. Dahl [LYN90] proposent de modéliser l’écart par rapport à la direction initiale à une distance R du vertex par une approximation gaussienne de sigma donné par la formule 4.4 :

σ R =^13.6 pβ ^×

R

R0 ¹0.088 log ^R

R0 ^(4.4)

où p est la quantité de mouvement,βla vélocité et R0 est la longueur de radiation de l’électron.

Elle est obtenue par ajustement d’une distribution de Molière générée par le code Geant. Même si elle utilise la longueur de radiation qui n’est définie que dans le cas d’électrons de plus haute énergie subissant le rayonnement de freinage, elle reste valable pour tout β à mieux de 11%.

Cependant, σ(R) est la demi−largeur de la distribution gaussienne des déviations au bout d’une distance R et ne correspond pas à notre définition de la résolution angulaire. Dans notre cas, tout le début de trace jusqu’à la distance R est pris en compte lors de l’ajustement des projections de la direction initiale. Il est donc préférable de considérer la moyenne de σ entre 0 et R :

σ ’ R =¹ R

∫

De plus, cette formule n’est applicable que pour les directions projetées. Étant donné que l’on étudie l’erreur sur l’angle 3D, il faut opérer la transformation suivante qui permet de passer dans l’espace 3D :

σ_DM R =atan 2 tan σ ’ R (4.6)

On obtient ainsi la contribution de la diffusion multiple σDM à la résolution angulaire 3D.

4.4.2.3 La somme des deux composantes

La résolution angulaire 3D correspond à la somme quadratique des deux composantes précédentes à laquelle il faut ajouter un troisième terme concernant la position du vertex. En effet, si les petites erreurs sur le positionnement du vertex dues à la largeur de la trace sont prises en compte par la composante σG, ce n’est plus le cas lorsque le programme a confondu du bruit avec le début de la trace. Cette erreur va plutôt avoir tendance à élargir la gaussienne de la résolution 3D et ce indépendamment du rayon d’ajustement et de l’énergie de la particule, on en tient alors compte en ajoutant un terme constant noté ε.

σ_3D R = σ_G R ²σ_DM R ²ε (4.7)

Pour comparer la formule attendue avec le résultat de la simulation, trois paramètres sont laissés libres, G, R0 et ε. On accepte également une marge de variation pour R0 en fonction de l’énergie des électrons. On obtient G=0,45± 0.01 cm, soit un peu plus d’une largeur de bandelette,ε=2°et R0= 53 ±4 m. A noter que R0 n’a plus réellement une signification physique. Les courbes attendues avec les valeurs des paramètres ci−dessus sont tracées sur la figure 4.20, elles révèlent un très bon accord avec les valeurs obtenues par simulation. On a validé l’expression (4.4) pour la diffusion d’électrons de quelques centaines de keV dans du gaz CF4 à 3 bars.

La résolution angulaire présente donc un minimum pour chaque énergie qui définit le rayon optimal d’ajustement. Afin de simplifier le traitement, une même valeur est en fait utilisée pour toutes les énergies, nous avons choisi 2.8 cm, ce qui permet d’être très proche dans tous les cas de la valeur optimale. Par la suite, c’est cette valeur qui sera utilisée.