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Le signal résultant (1) est mis sous la forme :
Re10 = 1 + v e i9 = 1 + � + i /3 (49)
décomposition qui se présente comme un modèle à deux rayons, mais est utilisable en toute généralité:
Il y a évanouissement total (affaiblissement infini) si v = 1 et 9 = n
ou, de manière équivalente, si a = - 1 et /3 = 0.
Toutes les grandeurs statistiques instantanées se calculent si on connait la densité de probabilité conjointe f( 9 , () ) ou q(v, 9). La méthode utilisée par LIN consiste à développer cette densité de probabilité en série de Taylor. L'auteur admet qu'une singularité dans la densité de probabilité ne sera perceptible que si le point singulier est assez proche du point d'évanouissement total. Par souci de simplicité il se limite au cas où la singularité (pôle au zéro) s'y trouve exactement et considère donc une densité double de proba- bilité qui s'écrit :
f(9,{) = ((1 +9)2 + ()2)Il-l H(9,{)) (50)
où H( 9 , () est une fonction développable à tout ordre en série de Taylor. Pour que la densité de probabilité soit intégrable, on doit avoir N � 0. Nous verrons en 4.4.3 que le nombre d'événements n'a un sens que si on impose la condition plus restrictive Il � 1/2.
Dès lors, les divers cas sont : '
1 1 fonction régulière en � _ - 1, � = 0
1/2 � p � 1 pôle d'ordre 2(1-u) au point d'évanouissement total N � 1 zéro d'ordre 2(u-l) au point d'évanouissement total
H( a, /3) = J2 1 � Cn H�_�(-l,0) O+a )n-k (3 k (51) où H (-1,0) = ÔnH(a, f3) �.- 1 {3 = 0
4.4.2. Loi de distribution des niveaux
+L 1+ Lz- R 2
On a Pr (R" L) = Pr ((1+a)z
+�3z � LZ) = � f(a,�)
da d�3 (52)
_L -1 -vi 2- (32 2
Reportant dans (52) les relations (50) et (51), il vient 00 Pr(R�L)=E ----. 2: C Hn-k,k (_1,0) In_k;k (53) L a^-l+Jh2- H2 où In_k;k- J [(1+g)2 +/32]M-1 1 (1+a)n-k Rk da d� (54)
La forme de l'intégrale (54) montre qu'elle n'est différente de 0 que si k et n - k sont tous deux pairs (n = 2s, k = 2 v ). Elle se calcule alors facilement en passant en coordonnées polaires. Le résultat s'exprime, tous calculs faits, en terme de fonctions gammas :
1 1 = L2(u+s) . r(s-II+1/2) TU + 1/2) (55)
2s-2v ;2 v ~ p+s '
89 Reportant dans (53) ou . Pr(R � L) = L d L2(s+ll) (56) s=0 2s+2 2s+2 - 2s : Il =0 2s (p+s) r (s+1) H 2s-2v ,2v = 7r 2s t �-2�2. v (57) si(s+�)2 2 s v =0 Il � (s- Il)�
Pour des affaiblissements profonds, on peut limiter (56) à son premier terme (s=0) et
Pr(R � L) � d2 L2M
= S H (- 1,0) L 2p
�
(58)
On retrouve la loi expérimentale en Lz dans le cas général où f( 9, (3) n'est ni - singulière, ni nulle, au point de fading infini. On a en effet alors Il = 1, f(9, f3} = H(9,f3} et Pr(R � L) = tr t(-l,O)V.
L'expérience montre (chapitre 3) que sur les liaisons à rayon réfléchi permanent, toutes les situations entre une variation en Lz et une variation en L peuvent se présenter. Dans le modèle de Lin, on est amené à admettre que dans ce cas, le point d'évanouissement total est un pôle de la fonction densité de probabilité avec selon les cas Il variant entre 1/2 et 1.
4.4.3. Nombre et durée moyenne des événements
Le nombre d'événements de profondeur L par unité de temps a été établie au § 4.3.1. (formule 42)
N(L) = 1/2 p(L) � (L) = 1/2 ��'� � V (L) (42)
Compte tenu de (56), on a : co
Pour calculer le nombre d'événements, il suffit donc de connaître
v+(L).
Dans le cas du modèle de Rayleigh (formule 44), ou de Rice-Nakagami (RICE, 1948), on trouve que R et R sont statistiquement indépendants et
donc V+ (L) ne dépend pas du niveau L. LIN considère la situation plus géné- rale où V (L) dépend du niveau mais peut être développé en série pour L petit sous la forme :
V (L) = ao + a, L + a 2 L + ...
On a alors la formule générale :
00 00
N(11) = E E ai(s+M�d2s+2 L2s+2N+j-1 (59)
S=U j=0 3 2s+2
Si
ao � 0, le premier terme du développement (S = j = 0) est : ao N d2 L2p 1 7T ao H(-1,0) L2^1
Quand L��-0, ce terme reste fini si u ^ 1/2, condition que nous avions annoncée par avance en 4.4.1. On retouve ainsi N(L) - L pour les trajets normaux pour lesquels p = 1.
Le deuxième terme du développement (60) (S = 0, j = 1) est :
a, p d2 L 2p = 7t al 1 H(-1,0) L 2p
La durée moyenne des événements, donnée par (47) est :
t (L) - PKR«U - E d 2s+2
L2(s+N)
t (L)
N(L) ao p d2 L2N +
a, p d2 L 2p + ...
Pour les fadings profonds, on peut se contenter de :
t (L) aop d2L 2
2 p -1 t
= L (60)
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4.4.4. remarques sur le modèle à deux rayons
Dans son étude, LIN considère le cas du modèle à deux rayons. Il le caractérise par V constant dans la formule (49). De ce fait, la densité de probabilité conjointe devient singulière, et s'écrit en coordonnées polaires :
, q(V,CI» = S(V 0) W(�D) (61)
A partir de là, un calcul analogue au précédent, en supposant W( CI� )
développable en série de Taylor autour de n , conduit aux résultats :
Pr (R � L) - L
N (L) - L°
t (L) - L
Ces résultats, contraires à l'expérience, conduisent l'auteur à rejeter le modèle à deux rayons.
En fait, le raisonnement présenté est très discutable. En effet, les statistiques expérimentales sont toujours le résultat de mesures sur une longue période. A supposer qu'il n'y ait que deux rayons, il y a tout lieu de penser que l'amplitude relative V du second varie au cours de cette période (même si elle doit rester voisine de 1 pour produire des fadings profonds) et que par conséquent la formule (61), d'où découlent les contradictions avec l'expé- rience, n'est pas justifiée. Cela dit, les résultats de mesures en bande large présentés au chapitre 2, comme ceux, plus récents, que nous décrirons au chapitre 6, conduisent de façon plus fondée au même rejet du modèle à deux rayons.
4.5. Discussion et conclusions
Les développements précédents montrent que l'on peut calculer les statistiques relatives aux trajets multiples sous diverses hypothèses. Toutefois, dès que l'on s'éloigne des hypothèses les plus simples, on aboutit à des for- mules qui sont d'un emploi peu commode.
Pour les affaiblissements profonds, tous les modèles redonnent les relations fonctionnelles vis à vis du niveau, observées expérimentalement. Sur des domaines de variation plus étendus du niveau du signal, ils donnent des lois qui, après estimation des paramètres, permettent certains calculs de prévision. Toutefois, la qualité de l'ajustement obtenu à partir de lois théoriques n'est pas nécessairement meilleure que celle donnée par des ajus- tements purement empiriques. L'avantage principal de ces modèles réside en fait dans la connaissance des hypothèses nécessaires à leur validité, d'où on peut induire, selon que les données s'y adaptent ou non, quelque infor- mation sur les phénomènes étudiés.