Rappels sur les réseaux de Petri

Nous présentons ici quelques définitions de base susceptibles d’unifier les notations dans la suite de ce chapitre.

IV.2.1. Réseau de Petri et concepts de base

Définition 1 : Un réseau de Petri (Peterson 1977), est un quadruplet R=< P, T, Pre, Post > où :

• P est ensemble fini de places, • T est ensemble fini de transitions,

• Pre : P×T → Ν est l’application incidence avant, reliant des transitions à des places les précédant,

• Post : P×T → Ν est l’application incidence arrière, reliant des transitions à des places les suivant.

Définition 2 : Soir R un Réseau de Petri (RdP). Un marquage du réseau de Petri R est une fonction

M de l’ensemble des places P dans Ν. L’ensemble des marquages d’un réseau de Petri R est donné

par M(R). Un réseau marqué est le couple <R, M> avec M0 le marquage initial.

Définition 3 : Soit R un réseau de Petri, M est un marquage, et t une transition. La transition t est

sensibilisée (franchissable) pour le marquage M, noté M ≥ Pre(., t) ou M(t> ou M →, si et seulement si :

∀ p∈P, M(p) ≥ Pre(p, t).

Définition 4 : Soit R un réseau de Petri, M est un marquage, et t une transition sensibilisée pour M.

Le tir (franchissement) de t donne la marquage M’ tel que :

∀ p∈P, M’(p) = M(p) - Pre(p, t) + Post(p, t).

Définition 5 : Soit R un réseau de Petri, M est un marquage, et t1, t2 deux transitions. Les transitions

t1 et t2 sont en conflit structurel, si et seulement si, il existe une place p∈P d’entrée telle que : Pre(p, t1) . Pre(p, t2) ≠ 0, où . dénote la multiplication d’entier naturels.

Les transitions t1 et t2 sont en conflit effectif pour un marquage M, si elles sont en conflit structurel

et sont sensibilisées par M.

IV.2.2. Réseau de Petri temporel

Les réseaux de Petri temporels ou t-temporels ont été introduits par (Merlin 1974). Ils se

basent sur le principe de l’association d’une durée de sensibilisation bornée θs(t) à chaque transition

t. Ceci permet de laisser disponibles les jetons dans la place d’entrée de la transition t jusqu’à son

tir. D’autres transitions en conflit avec t peuvent ainsi consommer ces jetons lors de leur franchissement. Dans ces réseaux, un intervalle de temps [a, b] est associé à chaque transition. Si une transition est restée sensibilisée pendant a unités de temps, alors elle peut être tirée. Aussi, si une transition est restée sensibilisée pendant b unités de temps, elle doit être tirée. L’intervalle [a, b] associe donc une incertitude à la date de tir de la transition qui va être tirée entre a et b unités de temps relativement à sa date de sensibilisation (Boyer 2001)(Valette 1994).

Toutes les valeurs de θs(t) telles que :

a ≤ θs(t) ≤ b

sont des durées de sensibilisation possibles pour t. Un événement (franchissement de la transition t par exemple) est contraint d’arriver à au moins a unités de temps et au plus à b unités de temps après la sensibilisation de t.

Définition 6 : Un réseau de Petri temporel est une paire < R, I > où :

• R est un réseau de Petri < P, T, Pre, Post > auquel est associé un marquage initial M0,

t

• I est la fonction d’intervalle initial qui associe à chaque transition un intervalle fermé rationnel, I(t) = [a, b] décrit une durée de sensibilisation de la transition t.

Grâce à leur structure, les réseaux de Petri temporels ont l’avantage de représenter naturellement les chiens de garde.

Dans la figure 1, le marquage de la place « Condition » signifie l’occurrence d’un événement. La

transition t2 est, de ce fait, tirée. Si au bout de θ unités de temps l’événement ne s’est pas produit,

alors la transition t1 est tirée et une alarme est déclenchée.

IV.2.3. Réseau de Petri p-temporel

Les réseaux de Petri p-temporels ont été introduits par (Khansa 1997). Dans ce type de réseaux un intervalle temporel est associé aux places. Un jeton dans une place p à laquelle est associé un intervalle [a, b] doit être consommé au plus tôt a unités de temps et au plus tard b unités temps après le marquage de la place p. Si un jeton n’est pas consommé avant b unités de temps, alors il devient un jeton « mort ».

Définition 7 : Un réseau de Petri p-temporel est une paire < R, I > où :

• R est un réseau de Petri < P, T, Pre, Post > auquel est associé un marquage initial M0,

• I est la fonction d’intervalle initial qui associe à chaque place un intervalle fermé rationnel, I(p) = [a, b] décrit une durée de marquage de la place p.

En général, ce type de réseau représente des durées séparant des occurrences d’événements. Ces durées peuvent, par exemple, être des durées opératoires séparant un événement début et un événement fin d’une même opération Op sur une pièce. L’exécution de Op est modélisée par un jeton dans une place. Dans ce cas, si le jeton correspondant à l’opération Op en cours devient un jeton « mort », alors ceci permet de déduire que la pièce devant subir cette opération est restée trop longtemps dans cet état. D’un point de vue de la surveillance, ceci permet la détection d’un symptôme de défaillance lié à l’opération.

IV.2.4. Comparaison des deux modèles

L’avantage des réseaux de Petri temporels par rapport aux réseaux de Petri p-temporels est la modélisation des chiens de garde. Il est en effet impossible de modéliser un chien de garde avec le modèle p-temporel (Boyer 2001). Il est possible de représenter un réseau de Petri p-temporel par un réseau de Petri temporel, (figure 2).

Figure 1. Représentation d’un chien de garde.

[θ, θ] [0, 0]

Séquence normale Alarme

Condition

t1 t2

Dans la figure 2, le franchissement de la transition t1 induit le marquage de place p’ dont le jeton ne

peut être consommé qu’après a unités de temps. Lorsque la place p’’ est marquée, la transition t2

doit être tirée avant b-a unités de temps.

L’utilisation des deux types de réseaux dans la modélisation de chronique relève de la simplification du modèle global de celle-ci par rapport au cas où un seul type de réseau de Petri (temporel ou p- temporel) est utilisé pour la modélisation.