Rappels sur les mouvements keplériens

θ O d c a ρ M P c = a e a = d / (1 - e) C O x ^P z y θ’ β O C i

Figure 11.1: Définition des éléments orbitaux dans le cas d’une orbite elliptique. Le panneau de gauche montre les paramètres d et e, celui de droite des trois angle i, β, et θ′ (voir texte). C est le centre de l’orbite, O le foyer. Une ellipse est représentée ici, mais les définitions sont les mêmes pour les autres coniques. À droite, les deux plans représentés sont C, le plan du ciel, et O, le plan de l’orbite. Leur intersection est la ligne des nœuds.

desquels je définirai les éléments orbitaux auxquels nous nous intéressons, je présen-terai une méthode d’ajustement d’une orbite keplérienne sur une carte de vitesse radi-ale, que je généraliserai à N orbites, avant d’appliquer cette méthode à la carte de vitesse radiale du Bras Nord.

11.2 Rappels sur les mouvements keplériens

11.2.1 Éléments orbitaux

Une orbite keplérienne dans l’espace, considérée dans son ensemble comme lieu géométrique, est définie entièrement par un quintuplet de paramètres (Fig. 11.1) appelés éléments or-bitaux, E = (dmin, e, i, β, θ′

) ∈ R5, avec:

d_min le périapse (ou péribothron dans le cas d’un trou noir, du grec « bothros » signifiant fosse, Frank & Rees 1976), distance minimale de l’orbite au centre du mouvement; e l’excentricité;

164 CHAPTER 11. ANALYSE CINÉMATIQUE DU BRAS NORD

β l’angle de position de la ligne des nœuds, angle entre la « verticale », c’est-à-dire l’axe sud-nord, et le vecteur unitaire de la ligne des nœuds, intersection entre le plan du ciel et le plan de l’orbite; c’est ce vecteur unitaire qui oriente i;

θ′ l’angle sur le plan de l’orbite entre le grand axe et la projection de la ligne de visée. Le sixième élément orbital classique, θ0, est l’angle de position du mobile à l’instant initial. Ici l’orbite étant considérée dans son ensemble, il n’y a ni mobile ni instant initial, par conséquent ce sixième élément orbital n’est pas pertinent pour notre étude.

Les deux premiers éléments, e et dmin, sont intrinsèques à l’orbite, alors que les trois autres dépendent de la position de l’observateur. Par ailleurs, i et β suffisent à définir le plan de l’orbite et son orientation.

À noter que par convention, i est un angle positif, c’est-à-dire compris entre 0 et π. Dans ce cas, β est l’angle entre la verticale sud-nord et la direction du nœud ascendant, c’est-à-dire du point où l’orbite franchit le plan du ciel en s’éloignant de l’observateur. Comme nous le verrons Sect. 11.2.5, il pourra être nécessaire dans certains cas d’autoriser des valeurs de i négatives; β sera alors l’angle de position du nœud descendant. Enfin dmin et e sont par définition positifs, toutefois je discuterai également de la signification que l’on peut donner à des valeurs négatives pour ces deux paramètres.

11.2.2 Équation de la trajectoire

La position d’un point M de l’orbite sur le plan de celle-ci, orienté positivement dans le sens du mouvement, est donnée en polaire par sa distance ρ au foyer (O) et l’angle θ = \P OM entre le grand axe et le vecteur −−→OM. On a la relation:

ρ = ^p

1 + e cos(θ) (11.1)

où p = dmin(1+e)est le paramètre de la conique. Bien entendu cette relation n’est valable que pour 1 + e cos(θ) 6= 0, et même 1 + e cos(θ) > 0. En effet dans le cas hyperbolique (e > 1), les valeurs de θ telles que 1 + e cos(θ) < 0 correspondent à la seconde branche de l’hyperbole, pour laquelle F est certes un foyer mais qui ne peut correspondre à une trajectoire de foyer F que pour une force répulsive (F n’est pas dans l’enveloppe convexe de cette branche).

En conclusion:    si e ∈]0, 1[, alors θ ∈ ]−π, π] ; si e = 1, alors θ ∈ ]−π, π[ ;

11.2. RAPPELS SUR LES MOUVEMENTS KEPLÉRIENS 165

11.2.3 Équations de la vitesse

On a également des formules analytiques simples concernant la vitesse d’un mobile sur l’orbite. On pose par soucis de lisibilité:

h = ρ² ˙θ = pGM0p

où G est la constante de gravitation et M0 la masse centrale. On remarque que h = 2A, où A est la vitesse aréolaire du mobile. Par conséquent, cette relation est une expres-sion de la seconde loi de Kepler, selon laquelle la vitesse aréolaire est une constante du mouvement.

On connaît ces deux relations concernant la vitesse:        vρ = ^h p^{e sin θ} vθ = ^h ρ

où vρ = ˙ρ est la vitesse radiale1, et vθ = r ˙θ la vitesse orthoradiale2. On en déduit l’expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires:

     ρv = v =pvρ²+ vθ² = h s  e sin θ p 2 +^{ 1} ρ 2 (11.2) θv = θ + arctan(vr, vθ) (11.3) où

• v est le module de la vitesse;

• θv est l’angle entre la direction du péribothron et celle du vecteur vitesse;

• arctan(a, b) est l’angle, unique à 2π près, dont le cosinus est a et dont le sinus est b.

11.2.4 Projection de l’orbite dans le système de coordonnées

observ-able

Le système de coordonnées auquel on s’intéresse est le système (α, δ, d) où α est l’ascension droite, δ la déclinaison et d la distance à l’observateur. Notons tout de suite que seuls α et δ sont immédiatement accessibles: la mesure de d en tout point de l’objet observé (la Minispirale en l’occurrence) constitue justement l’un des buts de la méthode présentée

1

Attention: ici il s’agit de la vitesse radiale par rapport au foyer O, pas de la vitesse radiale par rapport à l’observateur, que nous calculerons plus loin.

2

Là encore, il s’agit d’une composante de la vitesse dans le plan de l’orbite, et non de la projection de la vitesse sur le plan du ciel.

166 CHAPTER 11. ANALYSE CINÉMATIQUE DU BRAS NORD p

θ

ρ _Oz

O

x

y

M

Figure 11.2: Définition des coordonnées sur le plan du ciel

ici. En revanche, la direction de d est la seule utilisée ici pour les mesures de vitesses: on n’utilise que les vitesses radiales, accessibles par spectroscopie. En effet, des mesures de mouvements propres sur le ciel commencent tout juste à être accessibles (Yusef-Zadeh et al. 1998), et elle ne concernent pas le mouvement d’ensemble, mais seulement les mouvements de quelques détails brillants.

Plus précisément, on s’intéresse au système de coordonnées cartésien (x, y, z) où x = cos(δ) ·δα, y = δδ, et z = δdpar rapport au centre du mouvement, que l’on estime être coïncident avec la source radio ponctuelle Sgr A*. On prend donc le repère cen-tré sur O = Sgr A*, l’axe Ox pointant à l’est, l’axe Oy, au nord, et l’axe Oz, à l’opposé de l’observateur. Selon les cas, les unités pourront être la seconde d’arc, l’unité as-tronomique, ou le pixel par exemple.

  

x = ρ (sin(θ − θ′

)sin(β) + cos(i) cos(θ − θ′

) cos(β)) y = ρ (sin(θ − θ′

) cos(β) − cos(i) cos(θ − θ′

)sin(β)) z = −ρ sin(i) cos(θ − θ′

)

Ces formules sont également applicables aux vitesses, pour peu qu’on les exprime en coordonnées polaires (cf. Eqn. 11.2 et Eqn. 11.3).

Enfin on peut souhaiter utiliser les coordonnées polaires apparentes, ou projetée, à savoir

(

ρp = px2+ y2

θp = arctan(x, y)

où ρpest la distance apparente au centre du mouvement et θpl’angle apparent entre l’axe Ox(ouest–est) et le vecteur (x, y), orienté par l’axe Oz, c’est-à-dire compté positivement de l’est vers le nord. (Fig. 11.2).

11.2. RAPPELS SUR LES MOUVEMENTS KEPLÉRIENS 167

11.2.5 Unicité des éléments orbitaux

D’une manière générale, il est mathématiquement possible de définir une conique dans l’espace pour tout E ∈ R5. En revanche, il n’y a pas unicité de ces paramètres. La fonction de R5 dans l’ensemble des orbites orientées qui à E associe une orbite comme on l’a défini plus haut est invariante par ces transformations:

• ajout de 2π à l’un des angles: (d_min, e, i, β, θ′

) 7→ (dmin, e, i + 2k₀π, β + 2k₁π, θ′

+ 2k₂π) ; • changement du signe de i, en ajoutant π à β et θ′:

(d_min, e, i, β, θ′

) 7→ (dmin, e, −i, β + π, θ′

+ π) ; • changement du signe de e, en ajoutant π à θ′ et en changeant dmin:

(dmin, e, i, β, θ′

) 7→ (dmin(1 + e)/(1 − e), −e, i, β, θ′

+ π) ; • changement du signe de dmin, en ajoutant π à θ′:

(dmin, e, i, β, θ′

) 7→ (−dmin, e, i, β, θ′

+ π).

On remarquera que dans les circonstances où E n’est pas canonique, c’est-à-dire par exemple e < 0, il est possible que dmin ne soit pas le périapse, mais l’apoapse, et que β ne soit pas l’angle de position du nœud ascendant, mais du nœud descendant.

Pour garantir l’unicité des éléments orbitaux d’une conique orientée, et pour garan-tir que dmin est le périapse, et β l’angle de position du nœud ascendant, il faut donc se limiter à choisir

E ∈ [0, +∞[×[0, +∞[×[0, π]×] − π, π]×] − π, π]×] − π, π].

Il peut sembler vain de citer ici ces transformations pour lesquelles on considère des excentricités négatives ou des périapses qui n’en sont pas, et on aurait pu poser ces limitations sur les paramètres dans leur définition. Cependant, si pour une orbite isolée on a tout loisir de choisir les paramètres dans cet espace qui a notre préférence, le faire sans discernement lorsque l’on considère un ensemble d’orbites comme nous le ferons plus tard n’est pas sans conséquences. En effet, on pourra être amené pour s’assurer de la continuité des lois à choisir que θ′ par exemple varie non pas dans ] − π, π] mais dans ]a, a + 2π](a quelconque), ou même à renoncer à son unicité. De même, dans certaines circonstances, obtenir des variations continues de e pourrait nécessiter de l’autoriser à prendre des valeurs négatives (Fig. 11.3), il ne s’agirait que d’un artifice formel. Tout algorithme d’ajustement nécessite des fonctions continues, par conséquent, il n’est pas toujours possible d’implémenter les limitations décrites plus haut dans un programme devant ajuster un ensemble d’orbites, comme nous le verrons plus loin.

168 CHAPTER 11. ANALYSE CINÉMATIQUE DU BRAS NORD

Figure 11.3: Faisceau d’orbite tracé à l’aide de la formule habituelle (Eqn. 11.1), avec dmin = 1, et e variant de −0, 9 à 0, 9. Les orbites en gris ont donc ici des excentric-ités « négatives », et pour celles-ci dmin est en fait l’apoapse. Pour chacune d’entre elles, il est possible de trouver un ensem-ble d’éléments orbitaux tel que e soit posi-tif, mais alors θ′ subirait une discontinu-ité de π entre les orbites en gris et les or-bites en noir, or on voit que rien ne justifie physiquement une telle discontinuité.