Rappels sur O n

O_n={M ∈ M_n(R), ^tM M =I₂}= Stab_φI_n o`uφ est l’action `a droite de GL_n(R) sur M_n(R) par (P, M)7→ ^tP M P.

Rappelons que

O_n={M ∈ M_n(R),∀X ∈ M_n,1(R),kM Xk=kXk}

={M ∈ M_n(R),∀X, Y ∈ M_n,1(R), ^tXY = ^t(M X)(M Y)}

Rappelons que det : O_n → {−1,1} est un morphisme de groupe surjectif, que son noyau est SO_n, et que ce morphisme admet une section, et que donc O_n est un produit semi-direct deSO_n par Z/2Z.

Par th´eor`eme spectral (sur les endomorphismes normaux (commutant avec leur adjoint),

∀M ∈SO_n,∃P ∈ O_n, P⁻¹M P =D_B o`uD_B est une diagonale par bloc de rotation (2×2) ou d’identit´e.

En particulier (mais c’est visible `a l’oeil nu), SO₂ 'U'S¹.

Dans le cas complexe, on a la mˆeme discussion, pour SUn, dont tous les el´ements sont diagonalisables, `a valeurs propres de module 1. Aussi SU₁ 'S¹.

Peut-on aussi bien param´etrer SO_n, pour n ≥3 ? 2.3.2 Le “corps” des quaternions

D´efinition 2.3.1. On d´efinil’alg`ebre des quaternions de HamiltoncommeH= (R⁴,+, .,∗) dont on choisi une base (e, i, j, k) pour laquelle on d´efinit la loi ∗ comme extension bilin´eaire des formules suivantes :

e= 1 i² =j² =k² =−1 ij =k jk =i ki=j ji=−k kj =−i ik =−j.

Autrement dit,Hest l’alg`ebre obtenue en quotientant l’alg`ebrre des polynˆomes `a 4 ind´etermin´ees non-commutatives, par l’id´eal bilat`ere engendr´e par ces relations.

Observation 2.3.1. 1est dans le centre deH. Le centre deHest pr´ecis´ement l’espace engendr´e par 1 (ou e).

∀a, b, c, d, (a+bi+cj+dk)(a−bi−cj−dk) = a²+b²+c²+d². Tout ´el´ement non nul de H poss`ede un inverse dans H.

H₈ ={±1,±i,±j,±k}est un sous groupe fini de H^∗, d’ordre 8, non ab´elien (en particulier, non cyclique).

i² =j² =k² =ijk =−1 d´efinit completement la multiplication.

Observation 2.3.2. On pourrait remplacer R par un anneau commutatif, et conserver des propri´et´es interessantes (mais pas forc´ement l’existence d’inverses).

D´efinissons V = vect{i, j, k} le sous-espace imaginaire pur de H. Chaque ´el´ement s’ecrit donc avec une partie r´eelle et une partie imaginaire.

Si q=<(q) +=(q), notons q^∗ =<(q)− =(q).

On a d´ej`a vu que qq<sup>∗</sup> =q<sup>∗</sup>q ∈R et est positif, non-nul d`es que q6= 0.

D´efinition 2.3.2. On d´efini hx, yi=<(xy^∗) = ¹₂(xy^∗+yx^∗).

Proposition 2.3.1. C’est un produit scalaire. La norme au carr´e de x vaut xx^∗ =x^∗x.

On a imm´ediatement la bilin´earit´e, et la sym´etrie. La forme quadratique associ´ee est d´efinie positive par la remarque pr´ec´edente.

2.3.3 R´ealisation matricielle

H est naturellement muni d’une structure de R- alg`ebre, car il est stable par multiplication (des matrices).

Proposition 2.3.2. Une R-base de H est donn´ee par 1 0

Proposition 2.3.3. Il existe un isomorphisme d’alg`ebreH→ H envoyant(e, i, j, k)sur la base pr´ec´edente.

L’involution ∗ a pour image la trans-conjugaison : P 7→.^tP¯.

On verifie sans peine que les relations sont pr´eserv´ees, cela garantie que le morphisme d’espace vectoriel induit un morphisme d’alg`ebre.

En consid´erant les dimensions, c’est un isomorphisme.

Proposition 2.3.4. P P^∗ = det(P)I2. En particulier, pour tout P, Q, la norme de P Q est le produit des normes de P et de Q.

2.3.4 Applications

Proposition 2.3.5. Soit A un anneau commutatif, et a, b, c, d, α, β, γ, δ des ´el´ements de A.

Alors il existe x, y, z, t∈A tels que

(a²+b²+c²+d²)(α²+β²+γ²+δ²) =x²+y²+z²+t²

D´emonstration. On construit les quaternions sur A. Les sommes de carr´es sont les qq^∗ pourq bien choisis... Prenonsq₁ =a+bi+cj+dketq₂ =α+βi+γj+δk. Alors (q₁q₂)(q₁q₂)^∗ =q₁q₂q^∗₂q₁^∗. Commeq2q^∗₂ est dansAil est central, donc (q1q2)(q1q2)^∗ =q1q₁^∗q2q₂^∗. C’est ce qu’on voulait...

Th´eor`eme 2.3.1. La sph`ere unit´e d’un espace euclidien de dimension4 porte une structure de groupe topologique, isomorphe `a SU₂.

Il s’agit de remarquer que dans le mod`ele matriciel, la sph`ere unit´e de H est pr´ecis´ement SU₂ ={M, M.^tM¯ =I₂,detM = 1}.

2.3.5 G´eom´etrie Euclidi`enne de dimension 4

Soit q ∈H, de norme 1. Notons Hq le suppl´ementaire orthogonal de q dansH. Notonssq la sym´etrie orthogonale par rapport `aH_q. On as_q(x) = x−2hx, qiq, pour tout x.

Proposition 2.3.6. ∀x, y ∈Hyx^∗y=−hy, yix+ 2hx, yiy.

En particulier s_q(x) =−qx^∗q.

Il suffit d’´ecrire 2hx, yiy= (xy^∗ +yx^∗)y, et d’utiliser la formule pr´ec´edente pour s_q.

Th´eor`eme 2.3.2. Si p, q sont de norme 1, et ρ_p,q :H→H est d´efini par ρ_p,q(x) =pxq^∗, alors ρ_p,q est une isom´etrie.

L’application ρ : S³ ×S³ → O(H) est un morphisme de groupes continu, `a valeur dans SO(H) et surjectif sur lui. Son noyau est {(1,1),(−1,−1)}.

En r´esum´e, on a une suite exacte de groupes

1→Z/2Z→S³×S³ →SO₄ →1

D´emonstration. ρp,q pr´eserve la norme des ´elements de H, c’est donc une isom´etrie. On v´erifie imm´ediatement que ρ est un morphisme, continu. Comme S³×S³ est connexe, ρ est `a valeur dans la composante connexe de l’unit´e de O(H), et c’est SO(H).

Si (p, q) est dans le noyau, alors pour tout x, px = xq (en effet comme q est de norme 1, q⁻¹ =q^∗). En particulier pour x= 1, il vient p=q. De plus, p est alors central, donc dans R. Comme il est de norme 1, c’est ±1.

Pour la surjectivit´e, exprimons un ´el´ement arbitraire R ∈ SO(H) comme un produit d’un nombre pair de sym´etries orthogonales hyperplanes. En utilisant la formule de la proposition pour chacune de ces sym´etries hyperplanes, on obtient (par exemple par recurrence sur leur nombre) la forme d´esir´ee.

2.3.6 G´eom´etrie Euclidi`enne de dimension 3 Rappel : V = Vect(i, j, k).

Th´eor`eme 2.3.3. Si q ∈ H a norme 1, alors pour tout u ∈ V, posons r_q(u) = quq^∗ et σ_q(u) =qu^∗q^∗ =−quq^∗.

Alors r_q est une isom´etrie de V, r :S³ → O(V) est un morphisme `a valeurs dans SO(V) et surjectif dedans, et de noyau {±1}.

De plus, σ_u est une isom´etrie indirecte, et toute isom´etrie indirecte s’obtient ainsi.

D´emonstration. Comme r est la restriction de ρ sur la diagonale de S³ ×S³, il s’agit de voir sur chaquer_q preserve bienV, ou de mani`ere ´equivalente, qu’elle preserve bien son orthogonal, c’est `a dire R.

Comme R est central, et comme q⁻¹ = q^∗ (il a norme 1), on a bien que r_q fixe (point par point) R. Elle induit donc une isom´etrie directe de V. (en fait, r´eciproquement, si ρ_p,q fixe R point par point, on voit que p=q).

Toute rotation deV s’´etend `aHen une isom´etrie, en choisissant de fixerRpoint par point.

Donc, toute rotation est atteinte par r.

On trouve le noyau de r facilement.

Comme σ_q =−r_q, c’est une isom´etrie indirecte de V, et on les obtient toutes ainsi.

D´efinition 2.3.3. Si u, v ∈V, posons u∧v = ¹₂(uv−vu) ==(uv).

Observation 2.3.3. ∧ est antisym´etrique.

Dans V, on a :

uv =−hu, vi+u∧w.

u∧(v∧w) = hu, viw− hu, wiv.

Proposition 2.3.7. Pour tout q ∈ H de norme 1, il existe θ ∈ [0,2π[, et v ∈ V de norme 1, tels que

q = cosθ+vsinθ et r_q est alors la rotation d’axe v d’angle θ.

D´emonstration. Le premier point est ´evident par Pythagore. Pour le second, il est facile d’iden-tifier l’axe de la rotation : on a clairement r_q(v) = v, c’est donc l’axe.

Pour verifier l’angle, prenons u dans v^⊥∩V, de norme 1. Il est dans le plan orhtogonal `a l’axe de rq.

Il s’agit de voir que hu, r_q(u)i= cos 2θ, et que u∧r_q(u) = (sinθ)v.

Calculons donc ur_q(u) =uquq^∗.

Comme uv =−hu, vi+u∧v =u∧v =−v∧u=−vu, on a uq =q^∗u. Utilisons cela dans l’expression de ur_q(u).

ur_q(u) =q^∗u²q^∗ =−(q^∗)², car u est de norme 1 dans V (donc de carr´e−1).

On ecrit alors −(q^∗)² =−(cos²θ−sin²θ−2 cosθsinθv) =−cos 2θ+vsin 2θ.

On a bien obtenu ur_q(u) =−cos 2θ+vsin 2θ. Comme par ailleurs, ur_q(u) =−hu, r_q(u)i+ u∧r_q(u), on a ce qu’on voulait.

2.3.7 Hopf 2.3.8 Frob´enius

Th´eor`eme 2.3.4. Si A est une R-alg`ebre (associative) de dimension finie sur R, dont tous les

´

el´ements non-nuls sont inversibles, alors A 'R,C, ou H.

D´emonstration. Si A est commutative, c’est un corps, extension finie deR. Comme C est la clˆoture alg´ebrique de R, on a necessairementA 'R ou C. Supposons A non commutative. Montrons que A contient une copie de H.

Soit R ⊂ A l’image de R par le morphisme structural. Comme A n’est pas commutative, A n’est pas r´eduite `a R. Soit a∈ A \ R. On a R[a] sous-alg`ebre commutative, c’est donc une extension alg´ebrique du corps R, et donc R[a] ' C. Quite `a changer a dans R[a], on peut supposer que a² =−1, et on notera i=a.

Comme A n’est pas commutative, A n’est pas r´eduite `a R[a]. Soit b ∈ A \R[a]. Notons c=bi−ib. Sic= 0, alorsbcommute `ai, et `aR(par d´efinition), et doncR[i, b] est commutative, donc extension stricte de R[i]'C. Mais Cest alg´ebriquement clos. Contradiction.

Ainsi c6= 0.

On a ci=−ic(il suffit de l’ecrire) donc c /∈ R. Encore une fois, on peut considerer R[c], il est commutatif, non r´eduit `aR, donc isomorphe `a C. En particulier, de dimension 2 surR.

On a aussi c²i = −cic =ic². Ainsi c² commute avec i et R, donc, comme on l’a vu, il est dans R[i].

Par ailleurs,c² ∈R[c]. CommeR[i]∩R[c] est de dimension 1 surR, c’estR, et doncc² ∈ R, etc est donc imaginaire pur dansR[c]'C.

Notons c² =−t, pourt ∈ R, t > 0. Posons j = ^√1

tc. On a d´esormaisj² =−1, et ij =−ji, et donc (ij)² =−1.

Finalement, R[i, j] contient 1, i, j, ij et c’est une partie g´en´eratrice en tant qu’espace vecto-riel (en effet les produits (pour la loi d’alg`ebre) des 16 paires de ces ´el´ements sont encore dans R[i, j]).

C’est aussi une famille libre : sia+bi+cj+dij = 0, alors en multipliant para−bi−cj−dij = 0, on obtient a²+b²+c²+d² = 0.

Ainsi, R[i, j] est de dimension 4. Comme 1, i, j, k =ij verifie toutes les formules d´efinissant H, il y a un morphisme surjectif de H dans R[i, j]. Par un argument de dimension, c’est un isomorphisme.

Ainsi A contient une copie de H.

Finalement, si u ∈ A \ H, on peut supposer comme avant que (ui−iu)² = −1. Posons

`=ui−iu.

On a `i =−i`. Puis,j`i=−ji`=ij`.

Ainsi i commute avec j`, donc j`∈ R[i] et donc ` ∈ R[i, j], cela veut dire que ui−iu est dans notre copie de H. Mais ui+iu aussi, car il commute avec i.

Finalement, nous avons 2ui∈H, et donc u∈H. Contradiction.

2.3.9 Cayley

3 Compl´ ements sur les alg` ebres de polynˆ omes

3.0.10 Polynˆomes sym´etriques

Soit Aun anneau int`egre, commutatif (unif`ere), etA[X1, . . . , Xn] l’alg`ebre (associative) des polynˆomes `a n indetermin´ees commutatives.

Soit S_n le groupe sym´etrique des permutations de {X₁, . . . , X_n} (agissant `a gauche).

Ce groupe admet une action surA[X1, . . . , Xn] par pr´ecomposition (donc `a droite). Ce sont des automorphismes d’alg`ebre.

Notons P^σ(X₁, . . . , X_n) = P(σ(X₁), . . . , σ(X_n)).

D´efinition 3.0.4. Un polynˆome P est dit sym´etrique s’il est un point fixe de Sn. C’est `a dire si P^σ =P pour tout σ.

Exemple 3.0.1. Pn

i=1X_i = Σ⁽ⁿ⁾₁ . Qn

i=1X_i = Σ⁽ⁿ⁾n . X

1≤j1≤···≤ji≤n i

Y

k=1

Xj_k = Σ⁽ⁿ⁾_i . Σ⁽ⁿ⁾₀ = 1_A.

P

iX_i^k (pas de nom ?)

Observation 3.0.4. σ_i⁽ⁿ⁾(X1, . . . , Xn−1,0) = Σ⁽ⁿ⁻¹⁾_i .

L’ensemble des polynˆomes sym´etriques forme une sous-alg`ebre.

Th´eor`eme 3.0.5. D´efinissonsΨ :A[Y₁, . . . , Y_n]→A[X₁, . . . , X_n] par Ψ(Y_i) = Σ⁽ⁿ⁾_i .

Alors Ψest un morphisme d’alg`ebre injectif, et d’image A[X1, . . . , Xn]<sup>S</sup>, la sous-alg`ebre des polynˆomes sym´etriques.

D´emonstration. D’abord, notons que Ψ est un morphisme bien d´efini et `a valeur dans la sous-alg`ebre A[X₁, . . . , X_n]^S.

Ensuite, montrons que Ψ est injective. Par reccurence sur n. Si n= 1 il n’y a rien `a dire.

Si n > 1, supposons par l’absurde, que Ψ(P) = 0 avec P 6= 0 et de degr´e (total) minimal pour cette propri´et´e.

Ecrivons P =P0+YnS avecP0 ne d´ependant que des indetermin´eesY1, . . . Yn−1. On a 0 = Ψ⁽ⁿ⁾(P) = Ψ⁽ⁿ⁾(P₀) + Σ⁽ⁿ⁾_n Ψ⁽ⁿ⁾(S)

Pris en X_n= 0, on a

0 = Ψ⁽ⁿ⁻¹⁾(P₀) + 0

Par hypoth`ese de r´ecurrence, P₀ = 0. Maintenant, 0 = Σ⁽ⁿ⁾n Ψ⁽ⁿ⁾(S), et donc Ψ⁽ⁿ⁾(S) = 0.

Mais le degr´e total de S est strictement inferieur `a celui de P, contradiction.

Il faut montrer que Ψ est surective. A nouveau par recurrence, mais cette fois sur n et le degr´e total d deP ∈A[X₁, . . . , X_n]^S.

Si n= 1 : rien `a dire (Ψ =Id).

Sin >1 etd= 1,P =P

aiXi mais s’il est sym´etrique, chaqueaivauta1. DoncP =a1Σ⁽ⁿ⁾₁ . C’est bien dans l’image de Ψ.

On suppose le resultat vrai pour n−1 indetermin´es (tout degr´e) et pour n indetermin´ees jusqu’au degr´ed−1.

Soit P de degr´ed sym´etrique.

Posons P₀(X₁, . . . , Xn−1) = P(X₁, . . . , Xn−1,0). Il est aussi sym´etrique car (l’image de) Sn−1 (dans le groupe de permutation de X1, . . . , Xn−1) est un sous-groupe de (l’image de) Sn

(dans le groupe de permutation de X₁, . . . , X_n).

Par recurrence, P₀ = Ψ⁽ⁿ⁻¹⁾(Q₀) pour Q₀ ∈A[Y₁, . . . , Yn−1].

Plus precisement : P₀(X₁, . . . Xn−1) = Q₀(Σ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ , . . . ,Σ⁽ⁿ⁻¹⁾_n−1 ).

Soit R₀(X₁, . . . , X_n) =Q₀(Σ⁽ⁿ⁾₁ , . . . ,Σ⁽ⁿ⁾_n−1).

R₀ est sym´etrique (`an indetermin´ees) etR₀(X₁, . . . Xn−1,0) =P₀. Posons P1 =P −R0.

On a P₁(X₁, . . . Xn−1,0) = 0.

Affirmation : Σ⁽ⁿ⁾n diviseP₁. Si n= 1, c’est clair.

Sinon, voyons P₁ comme polynˆome en X_n. Il poss`ede 0 comme racine, donc X_n le divise.

P₁ =X_nS₁

Mais par sym´etrie, chaqueX_i le divise aussi et donc divise S₁. Il vient que X₁. . . X_n diviseP₁. Cela montre l’affirmation.

Posons alors P₁ = Σ⁽ⁿ⁾n ×P₂.

Alors le degr´e de P₂ est< d, donc par recurrence P₂ = Ψ(Q₂).

Finalement Ψ(Y_n×Q₂+Q₀) =P.

Proposition 3.0.8. SiA est integre, commutatif, etP ∈A[X], ecritP(X) =

d

X

i=0

a_iXⁱ. Les ra-cines de P sont, avec multiplicit´e, α1, . . . , αd si et seulement siΣ^(d)_i = (−1)ⁱad−i/ad∈Frac(A).

En effet par recurrence sur d,

Y(X−x_i) = X

0≤k≤d

Σ_k(x₁, . . . x_d)X^d−k Exemple d’application.

Proposition 3.0.9. Si P ∈ Z[X] unitaire de degr´e d, de racines α₁, . . . , α_d dans Q¯ (avec multiplicit´e) alors pour tout polynome sym´etrique Q, on a Q(α₁, dots, α_d)∈Z

En effet Q(α₁, dots, α_d) = Ψ(S)(Σ₁(α₁, . . . , α_d), . . .Σ_d(α₁, . . . , α_d) . Chaque Σ_i(α₁, . . . , α_d) est entier, car c’est (−1)ⁱad−i/1. Et Ψ(S) est `a coefficients entiers.

3.0.11 R´esultant

A est toujours int`egre commutatif.

Soient P, Q∈A[X] ecrivons les P(X) = Pp

0a_iXⁱ etQ(X) = Pq 0b_iXⁱ. D´efinition 3.0.5. Le resultant de P et Q est

Res(P, Q) = det

Notons M_P,Q cette matrice et observons que c’est la matrice de l’application lin´eaire Φ_P,Q deA_q−1[X]×A_p−1[X] dans A_p+q−1[X] donn´ee par (R, S)7→(P R+QS) dans les bases

Proposition 3.0.10. Pour tout P, Q polynomes surA de degr´e respectifs p et q, il existe R, S de degr´e respectifs ≤q−1 et ≤p−1 tels que Res(P, Q) =P R+QS.

D´emonstration. Prenons Ψ l’application lin´eaire donn´ee par la transpos´ee de la comatrice de M_P,Qdnas les bases sus-cit´ees. Consid´erons Ψ(1) = (R, S). On a bien Φ_P,Q(R, S) = det(M_P,Q)×

1 =Res(P, Q).

Dans l’application suivante, nous sommes sur un corps (´evidemment commutatif).

Proposition 3.0.11. Soit K un corps, et P, Q deux polynˆomes de degr´e ≥ 1. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

1. pgcd(P, Q) = 1 2. (P) + (Q) = K[X]

3. Res(P, Q)∈K^∗.

D´emonstration. Le fait que 1 ´equivaut `a 2 est simplement Bezout.

(3 =⇒ 1) d’apres la proposition pr´ec´edente.

(1 =⇒ 3) : montrons que Φ_P,Q est injective. Si (R, S) est dans son noyau, RP = −SQ mais comme P ∧Q= 1, il vient que P diviseS. Comme par ailleurs, (par d´efinition de ΦP,Q le degr´e de S est strictement inf´erieur `a celui deP, cela entraine S = 0. On en d´eduit R= 0, et Φ_P,Q est bien injective.

Comme c’est une application lin´eaire entre deux K-espaces vectoriels de dimension p+q, elle est bijective, et son d´eterminent est non nul. Il r´esulte que Res(P, Q)∈K^∗.

Un dernier r´esultat d’´elimination.

Proposition 3.0.12. Soit A un anneau integre commutatif. Soit B =A[X₁, . . . , Xn−1]. Soient fi, i≤p et gj, j ≤q des ´el´ements deB et supposons que fpgq 6= 0.

Soient finalement f(X) =

p

X

i=0

f_iXⁱ et g(X) =

q

X

j=0

g_jX^j deux ´el´ements deB[X].

1. Si Res_X(f, g) = 0, alors f et g ont un facteur commun non constant.

2. Si (α₁, . . . , α_n)∈Aⁿ est un zero commun de f et g (vus dans A[X₁, . . . , Xn−1, X]) alors (α₁, . . . , αn−1) est un zero de Res_X(f, g) (vu dans A[X₁, . . . , Xn−1] =B.

3. R´eciproquement, si (α1, . . . , αn−1) est un zero de ResX(f, g), et si fp(α1, . . . , αn−1)× g_q(α₁, . . . , αn−1) 6= 0, alors il existe α˜_n ∈ Frac(A) (la cloture alg´ebrique du corps des fractions) tel que (α₁, . . . , αn−1,α˜_n) est un zero commun de f et g dans Frac(A)ⁿ. D´emonstration. 1– On sait qu’il existe R, S tels queP R+QS = 0. Donc P diviseQS. Comme de plus le degr´e de S est strictement inferieur `a celui deP, un facteur irreductible de P divise Q.

2 – Sp´ecialisons en X_i =α_i, pour tout i < n. On a spe :A[X₁, . . . , Xn−1] →A. Notons A₀ l’image, et Frac(A₀) son corps des fractions. les imagesf₀ etg₀ def etg s’annulent enX =α_n. Ainsi, dans Frac(A₀)[X],f₀ etg₀ ne sont pas premiers entre eux, et Res(f₀, g₀) = 0.

Mais dans la formule du determinant, il s’agit juste de la specialisation en X_i = α_i, pour tout i < n deRes_X(f, g).

3 – On reprend les notations pr´ec´edentes. Par hypoth`ese, on a biendeg(f₀) = petdeg(g₀) = q. Comme on supposeRes(f₀, g₀) = 0, d’apres la proposition pr´ec´edente,f₀ etg₀ ont un facteur commun (non constant) dans Frac(A₀)[X]. Ils ont donc une racine commune dans le corps de d´ecomposition de ce facteur commun.

Exemple 3.0.2. Si f(X, Y) =X⁴+Y⁴−1 et si g(X, Y) =X⁵Y²−4X³Y³+X²Y⁵−1, alors on peut calculer Res_X(f, g) = 2Y²⁸−16Y²⁷. On a ´elimin´e l’une des ind´etermin´ees au prix d’un accroissement du degr´e.

3.0.12 Fractions rationelles ...

...

...

Dans le document Alg`ebre II Licence, ´Ecole Normale Sup´erieure de Lyon, 2013–2015. (Page 33-40)