Rappel : amincissement par attributs

nombre ou le périmètre des zones plates [195].

On reprendra ainsi le travail de Breen and Jones et de Wilkinson et Urbach an de créer de nouveaux ltres à partir de critères basés sur le diamètre barycentrique et sur l'axe médian de l'objet. Ce chapitre est organisé de la manière suivante : la section 5.2 rappelle les notions de base sur les ouvertures par attributs. Les sections5.3,5.4et5.5 présentent les nouveaux attributs, puis la section

5.6 associe ces attributs à des amincissements. Enn, nous donnerons quelques aspects pratiques en étudiant l'algorithme, les diérentes optimisations possibles, la complexité ainsi que les temps de calcul en les comparant avec diérents opérateurs destinés aux mêmes applications (sections5.7 et5.8).

5.2 Rappel : amincissement par attributs

Soit I : D → {0,1} une image binaire avec D un sous-ensemble ni, généralement rectangulaire, de Z2_{. Un opérateur binaire est une fonction qui transforme une image binaire en une autre image}

binaire. Soit X = {x ∈ D|I(x) = 1} et Xc _{l'ensemble complémentaire dans D. On associe à D un}

voisinage permettant de décrire les liaisons entre les pixels adjacents : on utilise ici une 8-connectivité. Avec cette connectivité, on obtient un ensemble de composantes connexes, écrit {Xi}. Dans le reste de

ce chapitre, par objet nous comprenons une composante connexe Xi de l'ensemble {Xi}.

5.2.1 Composantes connexes et attributs

Nous souhaitons conserver ou supprimer les objets d'une image avec des attributs intuitifs comme la longueur, la tortuosité, l'élongation ou la circularité. Pour une composante connexe Xi, ces attributs

seront respectivement notés Lg(Xi), T (Xi), E(Xi) ou C(Xi) et leurs dénitions seront données plus

tard. Ces attributs permettent de dénir des critères comme plus grand ou égal à (Lg(.) ≥ L), ou moins tortueux que (T (.) < L), avec un paramètre L ∈ R+_{. Formellement, un critère χ est une}

fonction qui lie l'ensemble des composantes connexes à vrai ou faux.

Un opérateur binaire, basé sur un critère χ est déni par l'équation suivante : Ψχ(Xi) =

(

Xi si χ(Xi) est vrai

∅ sinon, (5.1)

pour toutes les composantes connexes Xi inclues dans {Xi}.

5.2.2 Amincissements binaires par attributs

À partir de l'opérateur binaire Ψχ, l'amincissement binaire par attribut est donnée, pour tout

ensemble X, par :

Φχ(X) =

[

i

Ψχ(Xi). (5.2)

Ce ltre est donc équivalent à scanner toutes les CCs de l'image puis à les conserver ou à les supprimer entièrement en fonction du critère χ.

La transformation duale des amincissements est appelée épaississement et elle est simplement dénie en calculant un amincissement sur le complémentaire de l'image :

Dans le reste de ce chapitre, on ne proposera que des amincissements pour la détection de structures claires, puisque les épaississements peuvent être déduits de ce premier opérateur avec l'équation5.3.

5.2.3 Amincissements en niveaux de gris par attributs

Une image en niveaux de gris f est une application de D dans V = {0, . . . ,M − 1}, avec M ∈ N le nombre de niveaux de gris. L'image f peut être décomposée en M images binaires, obtenues par seuillages successifs de f. On note Xh_{(f ), l'image binaire obtenue en seuillant f avec un seuil h ∈ V :}

Xh_{(f ) = {x | x ∈ D, f (x) ≥ h} et X}h

i (f ), la iième composante connexe de Xh(f ).

Tout opérateur binaire et croissant,φ, comme les ouvertures, peut être généralisé à des images en niveaux gris en appliquant ce même opérateur à toutes les images binaires extraites de f, Xh_{(f ), et}

en recomposant les résultats obtenus pour former à nouveau une image en niveaux de gris :

φdirectef (x) = ∨{h ∈ V | x ∈ Φ(Xh(f ))}. (5.4) Néanmoins, les attributs que l'on utilise ne sont pas croissants et l'extension à des images en niveaux de gris n'est pas unique. On décrit dans ce document, quatre règles de ltrage tirées de la littérature pour construire cette extension [29,199,237] :

1. Règle Min : une composante connexe notée Xi est supprimée si χ(Xi) = 0 ou s'il existe une

composante connexe Xj telle que Xi ⊂ Xj, qui est supprimée.

2. Règle Max : une composante connexe, Xiest supprimée si χ(Xi) = 0et si toutes les composantes

connexes Xj telles que Xj ⊂ Xi, sont supprimées.

3. Règle directe : une composante connexe Xiest supprimée si χ(Xi) = 0. Les autres composantes

connexes ne sont pas modiées. Cette règle est la plus simple de toutes puisqu'elle respecte l'équation5.4 des ouvertures.

4. Règle soustractive : une composante connexe Xiest supprimée si χ(Xi) = 0, cependant, toutes

les autres composantes connexes Xj telles que Xj ⊂ Xi sont abaissées par la valeur du contraste

de Xi.

D'autres règles ont été introduites pour réaliser des traitements plus spéciques qui ne seront pas étudiées dans ce document : la règle médiane [198] réalise un pré-ltrage an d'améliorer la robustesse de la décision, la règle Viterbi [199] résout un problème d'optimisation pour les mêmes raisons, enn les règles k-subtractive et k-absorption [175] fonctionnent avec des ltres hyperconnectés. On remarque que toutes ces extensions fournissent le même résultat si on les appliques à des opérateurs croissants comme les ouvertures.

La gure5.1présente des amincissements avec un attribut non croissant sur un signal 1-D en niveaux de gris avec diérentes règles de ltrage. Les résultats obtenus sont très diérents et le choix de cette règle dépend de l'application. Néanmoins, il a été montré dans [237] que seule la règle soustractive (avec les règles k-subtractive et k-absorption lorsque k = 0) satisfait deux propriétés très intuitives : (i) après ltrage, l'image doit être uniquement composée de structures qui respectent le critère χ. Et (ii), l'image des diérences, (f − φχ(f )) ne doit contenir que des structures qui ne respectent pas χ.

Ces deux propriétés sont très intéressantes puisque l'on obtient, avec un unique ltrage, toutes les structures qui respectent le critère ainsi que celles que ne le respectent pas. De plus, cette règle soustractive permet d'extraire les objets du fond de l'image et facilite donc les tâches de segmentation. Pour ces deux raisons, on utilisera la règle soustractive pour nos applications.

Les deux sections suivantes introduisent les attributs géodésiques et géométriques qui seront utilisés dans la suite de ce chapitre pour construire de nouveaux ltres par attributs.