Rang d’une matrice

On va développer dans cette section des méthodes pratiques pour :

1. calculer le rang d’une application linéaire à partir de sa matrice dans des bases données.

2. tester si une matrice (et donc si l’endomophisme associé) est inversible.

15.5.1 Définition et propriétés

DÉFINITION15.23 ⋆⋆⋆ Rang d’une matrice

On appellerangdeA∈M_q,p(K), et on noterg A, le rang de la famille constituée des vecteurs colonnesC1,...,Cp deA dans^Kq.

Exemple 15.18

rg





1 0 0

0 1 0

0 0 1



=3, rg





1 1 1

0 1 1

0 0 1



=3, rg





1 0 1

−1 1 1

2 −1 0



=2.

PROPOSITION15.34 ⋆⋆⋆ Le rang d’une matriceAest égal au rang de l’application linéaireX7→AX SoitA∈M_q,p(K). On noteΘ:

½ M_q(K)≃K^q −→ M_q(K)≃K^q

X 7−→ AX . Alorsrg(A)=rg(Θ).

Démonstration On arg (Θ)=dim Vect¡

Θ(e1) , . . . , . . .Θ¡ eq¢¢

=dim Vect¡

C1, . . . , Cq¢

=rg (A).

PROPOSITION15.35 ⋆⋆⋆ Le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire qu’elle représente Soient :

1 Eun^K-espace vectoriel de dimensionpmuni d’une basee.

2 Fun^K-espace vectoriel de dimensionqmuni d’une basef.

3 A∈M_q,p(K).

On sait qu’il existe une unique application linéaireu∈L_{(E, F)}telle queA=Matf←e(u)alors on a : rgu=rg A .

Démonstration D’après la proposition??page??, l’applicationθ: F→M_q,1(K)qui à un vecteur deFassocie sa matrice dans la basef est un isomorphisme de^K-espaces vectoriels. On identifie dans la suiteM_q,1(K)et^Kq. Notons

F_=Vect^¡_u(e1) , . . . ,u¡ ep¢¢

⊂F et G_=Vect^¡_C1, . . . , Cp¢

⊂K^q. Rappelons quergu=dimF et querg A=dimG. Maisθ(F₎₌G doncdimF_=dimG etrgu=rg A. C^OROLLAIRE15.36 Le rang d’une matriceAest égal au rang du systèmeAX=0

SoitA∈M_p,q(K). Alors le rang deAest égal au rang du systèmeAX=0.

Démonstration Pour un système linéaire, on a

#inconnues =#inconnues principales+#inconnues secondaires.

Le rang du sytème, c’est-à-dire le nombre de pivots, est donné par le nombre d’inconnues principales, c’est à dire#inconnues −

#inconnues secondaires. Le nombre d’inconnues secondaire correspond à la dimension du noyauAX=0. Mais d’après la formule du rang, la dimension de ce noyau est#inconnues−rg (A).

T^HÉORÈME15.37 ⋆⋆⋆ Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à sa taille A∈M_n(K)est inversible si et seulement sirg(A)=n.

Démonstration Soienteune base d’un^K-espace vectorielEde dimensionnet soitul’unique endomorphisme deEtel que : Mate(u)=A. On a :Ainversible⇐⇒uest un automorphisme deE⇐⇒rg A=rgu=n.

PROPOSITION15.38 ⋆⋆⋆

SoitE un^K-espace vectoriel de dimension n,e une base de Eet (x1, . . . ,xn)une famille den vecteurs deE. Alors Mate(x1, . . . ,xn)est inversible si et seulement si(x1, . . . ,xn)est une base deE.

Démonstration Soitul’endomorphisme deEdéfini par :∀i∈ ‚1,nƒ, u¡ e_i¢

=x_i. NotonsA=Mat_e(x₁, . . . ,x_n)=Mat_e(u). On a :Aest inversible⇐⇒uest un automorphisme deE⇐⇒l’image d’une base deEparuest une base deE.

PROPOSITION15.39 Le rang d’une matrice est inchangé par multiplication à gauche ou à droite de cette matrice par une matrice inversible

SoitA∈M_q,p(K). Alors

1. rg(QA)=rg(A)pour toutQ∈GLq(K) 2. rg(AP)=rg(A)pour toutP∈GLp(K)

Démonstration C’est une conséquence directe de l’invariance du rang d’une application linéaire par multiplication à droite ou à gauche par un isomorphisme. dans la démonstration du théorème 13.27, on peut décomposerEen la somme :E=Keru⊕GoùGest un sous-espace de Etel queu_|G: G→Imuest un isomorphisme. Par conséquent,dim G=dim Imu=rgu=r. Soit^¡e^′₁, . . . ,e_r^′¢

une base deG et^³e^′_r+1, . . . ,e^′_p´

une base deKerf.e^′=¡

e^′₁, . . . ,e^′_r,e^′_r+1, . . . ,e^′_n¢

est donc une base deEet l’image d’une base d’un espace vectoriel par un isomorphisme étant une base de l’espace vectoriel d’arrivée,^¡u¡

e₁^′¢ changement de base, on a :

A=Mat_f←e(u)=P_f→f^′×Mat_f^′_←e^′(u)×P_e^′_→e qui est de la forme voulue.

⇐ SoitEun^K-espace vectoriel de dimensionpetFun^K-espace vectoriel de dimensionq. Soiteune base deE,f une base deFet :

— e^′une autre base deEtelle queP_e^′_→e=P.

— f^′une autre base deFtelle queP_f^′_→f =Q.

Soitu∈L_{(E, F)}tel que : Mat_f′←e^′(u)=J_r. Interprétant la formuleA=QJ_rPcomme une formule de changement de base, on a :A=Mat_f←e(u). Par conséquent :rg A=rgu=rgJr.

COROLLAIRE15.41 ⋆ Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée Pour toutA∈M_q,p(K),rg¡

DÉFINITION15.24 Matrices équivalentes

Deux matricesA, B∈M_q,p(K)sont diteséquivalentessi et seulement s’il existe deux matrices inversiblesQ∈GLq(K) etP∈GLp(K)telles queA=QBP⁻¹.

Remarque 15.13 Un corollaire du théorème précédent est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

DÉFINITION15.25 Matrices semblables

Deux matrices carréesA, B∈M_n(K)sont ditessemblabless’il existe une matrice inversible P telle queA=PBP⁻¹. Remarque 15.14 Deux matrices semblables sonta fortioriéquivalentes.

Remarque 15.15 Deux matrices semblables ont même trace.

15.5.2 Calcul pratique du rang d’une matrice

PROPOSITION15.42 ⋆ Deux matrices déduites l’une de l’autre par une oel ou une oec ont même rang Deux matrices obtenues l’une de l’autre par une oel ou une oec sont de même rang.

Démonstration SoitA∈M_n,p(K)etPune matrice correspondant à une oel ou une oec.Pest donc inversible. PosonsB=PA. Soitr=rg (A). On applique le théorème??. Il existe des matricesQ₁∈GL_n(K)etQ₂∈GL_p(K)telles queA=Q₁I_rQ₂. On a donc : B=PQ₁IrQ₂=Q₀IrQ₂avecQ₀=PQ₁qui est une matrice inversible deGLn(K). Par conséquent,Bétant de la formeQ₀IrQ₂où Q₀etQ₁sont inversibles. On applique à nouveau la proposition??et on peut affirmer queBest de rangr.

L^EMME15.43 ⋆ Soitα∈K^∗. On a :

rg







α ⋆ . . . ⋆ 0

... A^′ 0







=1+rg A^′.

Démonstration Soit

A=







α ⋆ . . . ⋆ 0

... A^′ 0





 .

Par définition, rg A=dim Vect(L1, . . . , L_n)oùL₁, . . . , L_n représentent les vecteurs colonnes deA^T. Posons F=Vect(L1)etG= Vect(L₂, . . . , Ln). Montrons que ces deux sous-espaces vectoriels de^Kpsont en somme directe. SoitL=¡

ℓ₁, . . . ,ℓp¢

∈F∩G. Comme L∈F, on a :L=λL₁. CommeL∈G, on a aussiℓ₁=0. Par conséquent, en regardant la première coordonnée,λα=0, d’oùλ=0et doncL=0. DoncFetGsont en somme directe. On a doncdim Vect(L1, . . . , Ln)=dim F+dim Gce qui s’écrit aussirg A=1+rg A^′.

PLAN15.4 : Application au calcul du rang d’une matriceA Pour calculer le rang d’une matrice, on applique le plan suivant :

1 SiA=0alorsrg A=0.

2 SinonApossède un coefficientαnon nul. Par des permutations de lignes et de colonnes, on peut supposer queαest en position(1, 1). En retranchant auxn−1dernières lignes un multiple judicieusement choisi de la première ligne, on obtient une matrice du type :







α ⋆ . . . ⋆ 0

... A^′ 0







et doncrg A=1+rg A^′

3 On se ramène ainsi à une matrice de taille(n−1)ס p−1¢

sur laquelle il suffit de réitérer le procédé jusqu’à obtenir une matrice de taille nulle.

Exemple 15.19 Calculons le rang de la matriceA=





1 −1 2 0

0 2 1 −1

1 −1 2 0



. On a

rg(A)=rg





1 −1 2 0

0 2 1 −1

1 −1 2 0



=========^L3←L3−L1 rg





1 −1 2 0

0 2 1 −1

0 0 0 0



=1+rg

µ2 1 −1

0 0 0

¶

=2+rg¡ 0 0¢

=2

P^ROPOSITION15.44 ⋆ Méthode du pivot de Gauss

Par une suite d’oel, on peut transformer une matrice inversible en une matrice triangulaire supérieure (inversible !).

Démonstration On va démontrer cette proposition en effectuant une récurrence sur la taillende cette matrice.

1 Sin=1la proposition est évidente.

2 Soitn∈N,n>1.

3 Supposons la proposition vraie au rangn−1et prouvons la au rangn. SoitA=³ a_{i j}´

∈GLn(K). Quitte à permuter les lignes deA, cette matrice étant inversible, on peut supposer quea₁₁6=0. Par des oel, en utilisant comme pivot le coefficienta₁₁, on peut alors transformerAen une matriceBde la forme :

B=







a₁₁ ⋆ . . . ⋆ 0

... A^′ 0







et on a, par application du lemme précédent :rg A=rgB=1+rg A^′. On applique l’hypothèse de récurrence àA^′, on peut transformerA^′, via une suite finie d’oel, en une matrice triangulaire. On effectue les oel correspondantes sur la matriceBet on la transforme en une matrice triangulaire.

4 La proposition est alors démontrée par application du principe de récurrence.

Remarque 15.16 Grâce aux opérations élémentaires sur les lignes et en s’inspirant de l’algorithme précédent, on peut calculer l’inverse d’une matriceA∈GLn(K)donnée. Il suffit de suivre les étapes suivantes.

1 On juxtaposeAetIn.

2 Grâce à des oel de type 1 et 3 surAon se ramène à une matrice triangulaire supérieure.Ceci correspond à multiplier successivement à gaucheApar des matricesP1, . . . ,Pr de type 1 ou 3. La matrice triangulaire obtenue estPr. . . . .P1.A. On effectue ces mêmes oel surIn. La matrice obtenue estPr. . . . .P1.

3 On effectue des oel de type 2 surPr. . . . .P1.Aafin d’obtenir une matrice triangulaire dont la diagonale ne comporte que des 1.Ceci correspond à multiplier successivement à gaucheApar des matricesQ1, . . . ,Qs de type 2. La matrice triangulaire obtenue estQs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.A. On effectue ces mêmes oel surIn. La matrice obtenue estQs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.

4 Enfin, à nouveau grâce à des oel de type 1, on se ramène à la matrice In. Ceci correspond à multiplier successivement à gauche Qs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.A par des matrices R1, . . . , Rt de type 1. La matrice triangu-laire obtenue est Rt. . . . .R1.Qs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.A. On effectue ces mêmes oel sur In. La matrice obtenue est Rt. . . . .R1.Qs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.

5 Au final, on a doncRt. . . . .R1.Qs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1.A=In. La matriceRt. . . . .R1.Qs. . . . .Q1.Pr. . . . .P1est donc l’in-verse deA.

Exemple 15.20 La matriceA=





1 1 −1

−1 1 0

0 −1 1



est de rang3comme on le vérifie en appliquant la méthode??. Calculons

son inverse :

1 1 −1 1 0 0

−1 1 0 0 1 0

0 −1 1 0 0 1

1 1 −1 1 0 0

0 2 −1 L2 ← L2+L1 1 1 0

0 −1 1 0 0 1

1 1 −1 1 0 0

0 2 −1 1 1 0

0 0 1/2 L3 ← L3+L2/2 1/2 1/2 1

1 1 1 1 0 0

0 1 −1/2 L2 ← L2/2 1/2 1/2 0

0 0 1 L3 ← 2L3 1 1 2

1 1 0 L1 ← L1+L3 2 1 2

0 1 0 L2 ← L2+L3/2 1 1 1

0 0 1 1 1 2

1 0 0 L1 ← L1−L2 1 0 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 2

et on en déduit queA⁻¹=





1 0 1

1 1 1

1 1 2



.

Dans le document 15.1 Matrice à coefficients dans K (Page 22-26)