Contexte de notre approche
3.4 Le raisonnement en logique floue
Chapitre 4 Contexte de notre approche Voici les trois ensembles d'opérateurs les plus utilisés : pour le complément "𝑁𝑜𝑛", l’intersection "𝐸𝑡" et l'union "𝑂𝑢".
Table 4.1 : Opérateurs sur les ensembles flous.
𝐷𝑜𝑛é𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑂𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑍𝑎𝑑𝑒ℎ (𝑀𝑖𝑛/𝑀𝑎𝑥) 𝑚𝑖𝑛 (𝜇𝐴(𝑥), 𝜇𝐵(𝑥)) 𝑚𝑎𝑥 (𝜇𝐴(𝑥), 𝜇𝐵(𝑥)) 1 − 𝜇𝐴(𝑥) 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑡𝑒 (𝑃𝑟𝑜𝑑/𝑃𝑟𝑜𝑏𝑜𝑟) (𝜇𝐴(𝑥) ∗ 𝜇𝐵(𝑥) (𝜇𝐴(𝑥) + 𝜇𝐵(𝑥)
− (𝜇𝐴(𝑥) ∗ 𝜇𝐵(𝑥) 1 − 𝜇𝐴(𝑥)
Avec les définitions usuelles des opérateurs flous, nous retrouvons toujours les propriétés de commutativité, distributivité et associativité des opérateurs classiques. Cependant, relevons deux exceptions notables, en logique floue :
Le principe du tiers exclu est contredit : 𝐴 ∪ Ā ≠ 𝑋, autrement dit : 𝜇𝐴∪Ā(𝑥) ≠ 1.
Un élément peut appartenir à 𝐴 et non 𝐴 en même temps : 𝐴 ∩ Ā ≠ 𝜙, autrement dit : 𝜇𝐴∪Ā(𝑥) ≠ 0. Notons que ces éléments correspondent à l'ensemble 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝐴) − 𝑛𝑜𝑦(𝐴).
3.4 Le raisonnement en logique floue
En logique classique, les raisonnements sont de la forme : { 𝑆𝑖 𝑃 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑄. ∗∗ 𝑃 𝑣𝑟𝑎𝑖 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑄 𝑣𝑟𝑎𝑖. ∗∗ }.
En logique floue, le raisonnement flou, également appelé raisonnement approximatif, se base sur des règles floues qui sont exprimées en langage naturel en utilisant les variables linguistiques dont nous avons donné la définition précédemment. Une règle floue aura cette forme :
𝑆𝑖 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐵 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑧 ∈ 𝐶, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑙𝑜𝑢𝑠.
Les règles sont généralement exprimées sous la forme : "Si la variable est réglée Alors : l'action".
À l'instar des autres opérateurs flous, il n'existe pas de définition unique de l'application floue : le concepteur du système flou devra choisir parmi le large choix d'implications floues déjà définies, ou bien la définir à la main. Voici les deux définitions de l'implication floue les plus couramment utilisées : 𝑀𝑎𝑚𝑑𝑎𝑛𝑖 → 𝑚𝑖𝑛(𝑓𝑎(𝑥), 𝑓𝑏(𝑥)) 𝐿𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛 → 𝑓𝑎(𝑥) ∗ 𝑓𝑏(𝑥) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝐸𝑇) 𝜇𝐴∩𝐵(𝑥) 𝑅é𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛 (𝑂𝑈) 𝜇𝐴∪𝐵(𝑥) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 (𝑁𝑜𝑛) 𝜇Ā(𝑥)
Chapitre 4 Contexte de notre approche
108 Un modèle de confiance pour la sécurité des communications dans les réseaux mobiles Ad hoc.
Fait notable, ces deux implications ne généralisent pas l'implication classique. II existe d'autres définitions d'implication floue la généralisant, mais elles sont moins utilisées.
Le résultat de l'application d'une règle floue dépend donc de trois facteurs :
La définition d'implication floue choisie.
La définition de la fonction d'appartenance de l'ensemble flou de la proposition située en conclusion de la règle floue.
Le degré de validité des propositions situées en prémisse.Comme nous avons défini les opérateurs flous "𝐸𝑡", "𝑂𝑢" et "𝑁𝑜𝑛", la prémisse d'une règle floue peut très bien être formée d'une conjonction de propositions floues. L'ensemble des règles d'un système flou est appelé la matrice des décisions.
4. MÉTHODE D’ANALYSE RELATIONNELLE GRISE "G. R. A"
4.1 Définition
La théorie du système gris proposée par J. Deng en 1982 [119] a été largement appliquée dans divers domaines. Il a été prouvé qu'il était utile pour traiter des informations insuffisantes, incomplètes et incertaines. L’analyse relationnelle grise "G. R. A" [120,121], fait partie de la théorie des systèmes gris qui convient pour résoudre des problèmes avec des interrelations compliquées entre de multiples facteurs et variables, elleutilise un concept spécifique de l'information, qui est défini comme étant, les situations avec aucune information en "noir", et ceux qui ont une information parfaite en "blanc". Cependant, aucune de ces situations idéalisées ne se produit jamais dans les problèmes du monde réel. En fait, les situations entre ces deux extrêmes sont décrites comme étant grises ou floues. (Figure 4.7)
Figure 4.7 : Théorie des systèmes gris.
Analyse des relations
Décision Prédiction Construction du modèle Système d’incertitude Information Incomplète Comportement Les principaux facteurs
Chapitre 4 Contexte de notre approche Avec cette définition, la quantité et la qualité des informations inférées forment un continuum allant d'un manque total d'information à une information complète, (du noir au gris jusqu’au blanc). Tant que l'incertitude existe toujours, on est toujours quelque part au milieu, quelque part entre les deux extrêmes, quelque part dans la zone grise.
L’analyse grise est alors un ensemble clair d'énoncés sur les solutions de système. À un extrême, aucune solution ne peut être définie pour un système sans aucune information. À l'autre extrême, un système avec une information parfaite a une solution unique. Au milieu, les systèmes gris donneront une variété de solutions disponibles. L’analyse grise ne cherche pas à trouver la meilleure solution, mais peut fournir des techniques pour déterminer une bonne solution.
L'idée de base de cette technique consiste à sélectionner certaines variables d'entrée qui montrent un impact plus fort à la sortie du système. Cette technique utilise les informations fournies par le système gris pour comparer dynamiquement et quantitativement chaque facteur et d'établir une relation en fonction du niveau des facteurs de similarité ainsi que du niveau de variabilité. Ensuite, le rapport de décision peut être prise en fonction de la relation.
4.2
Fonctionnement
L’analyse relationnelle grise est une méthode utile pour trouver l'importance des facteurs dans un système avec des données d'échantillonnage limitées. L’analyse relationnelle grise a été proposé à l'origine pour relier le facteur principal avec d'autres facteurs de référence dans un système donné. Pour cette raison, nous avons appliqué cette technique pour déterminer les variables d'entrée qui montrent un effet crucial à la sortie du système. En d'autres termes, la sortie du système peut saisir certaines informations utiles sur la variété de points de données de la séquence d'entrée. Les procédures d'analyse relationnelle grise sont présentées à la figure 4.8.
. -
-Figure 4.8 : Procédure d'analyse relationnelle grise.
Les détails de la procédure proposée sont présentés ci-dessous : 𝐷é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑖𝑠
Chapitre 4 Contexte de notre approche
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𝐸𝑛𝑡𝑟é𝑒 : La matrice comparative 𝑋, la suite optimale 𝑥0. 𝑆𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 : Le grade de corrélation 𝛾𝑖.
É𝑡𝑎𝑝𝑒 1 (𝑃𝑟é𝑡𝑟𝑎𝑖𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 − 𝐼𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) ∶ La première étape est le prétraitement des données. Le prétraitement des données est normalement requis, lorsque les unités dans lesquelles la performance est mesurée sont différentes pour différents facteurs (attributs), l'influence de certains facteurs peut être négligée. Cela peut également se produire si certains facteurs de performances ont une portée très grande. En outre, si les buts et les directions de ces facteurs sont différents, il entraînera des résultats incorrects dans l'analyse [121]. Par conséquent, les données expérimentales originales doivent être prétraitées pour éviter de tels effets.
Le prétraitement des données est une méthode de transfert de la séquence de données originale "𝑥0" à une séquence comparable "𝑥𝑖". À cet effet, les résultats expérimentaux sont normalisés dans une plage entre 0 et 1, cette étape de traitement est appelé générateur relationnel gris.
Selon les caractéristiques d'une séquence de données, il existe diverses méthodes de prétraitement des données disponibles pour l'analyse relationnelle grise :
Si la valeur cible de la séquence d'origine est infinie, alors il a une caractéristique de "la plus grande est meilleure". La séquence originale peut être normalisée comme montré dans l’équation 4.1.
𝑥
𝑖∗(𝑘) =
𝑥𝑖0(𝑘)−𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑖0(𝑘)max 𝑥𝑖0(𝑘)−min 𝑥𝑖0(𝑘)
(4.1)
Quand la "plus petite est meilleure" est une caractéristique de la séquence originale, alors la séquence originale devrait être normalisée comme suit : (Équation. 4.2)
𝑥
𝑖∗(𝑘) =
𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖0(𝑘)− 𝑥𝑖0(𝑘)𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖0(𝑘)−𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑖0(𝑘)
(4.2)
Cependant, s'il existe une valeur cible définie (valeur souhaitée) à atteindre, la séquence originale sera normalisée sous la forme suivante : (Équation. 4.3)
𝑥
𝑖∗(𝑘) = 1 −
|𝑥𝑖0(𝑘)−𝑥𝑖0|max 𝑥𝑖0(𝑘)−𝑥𝑖0
(4.3)
Où, (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚) 𝑒𝑡 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛)
Chapitre 4 Contexte de notre approche 𝑚 est le nombre d'éléments de données expérimentaux et 𝑛 est le nombre de paramètres. 𝑥𝑖0(𝑘) désigne la séquence originale, 𝑥𝑖∗(𝑘) est les séquences après le prétraitement des données. 𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑖0(𝑘) et 𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖0(𝑘) sont la plus petite et la plus grande valeurs de 𝑥𝑖0(𝑘) respectivement, et 𝑥0 est la valeur désirée.
Définition 4.8 : Soit X un ensemble relationnel gris étant utilisé comme un ensemble de facteurs d'évaluation, X est défini comme suit : 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑛}, où, 𝑥𝑖 est un facteur d’évaluation.
Définition 4.9 : La matrice comparative X est constituée par les valeurs d'évaluation de chaque facteur, tel que l’ensemble de 𝑚 séquences de comparaison est défini par : 𝑋= {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑚}. (Équation. 4.4)
𝑋 = [𝑥
1, 𝑥
2, … , 𝑥
𝑚]
𝑇= (
𝑥
11⋯ 𝑥
1𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝑥
𝑚1⋯ 𝑥
𝑚𝑛) (4.4)
Définition 4.10 : La suite optimale 𝑥0 est fondée sur la sélection de la valeur maximale de chaque