Raideurs arbitraires

Finissons les cas tests par le cas d’une r´epartition arbitraire des raideurs sous la poutre. La raideur microscopique est consid´er´ee comme une fonction arbitraire variant entre deux limites de ki, (kmin et kmax). Cette fonction s’´ecrit :

ki= (kmax− kmin) × rand(n, 1) + kmin (2.39)

O`u rand(n, 1) d´esigne un vecteur de n variables de valeurs arbitraires comprises entre 0 et 1. Pareillemment aux tests pr´ec´edents, faisons varier le rapport entre le nombre des ´el´ements des deux approches et calculons `a chaque fois la valeur de la diff´erence entre les r´esultats donn´es par les deux approches. Une diff´erence sensible a ´et´e observ´ee et cette diff´erence est propor- tionnelle au ratio. Pour un ratio = 4, nous observons plus de 30% de diff´erence entre les deux comportements. Ci-dessous les deux figures (2.23 et 2.24) mettent en ´evidence cette diff´erence.

0.05 0 0 -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 20 40 60 80 100 120 Approche Discr`ete Approche Continue Positions des noeuds (m)

F l`e ch es au x n o eu d s (m m )

Fig. 2.23. D´esaccord entre les fl`eches aux noeuds calcul´es par les deux approches ; cas des rai- deurs arbitraires, rapport (ED/EC = 3)

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

D´eflexion aux noeuds Rotation des noeuds Moment fl´echissant Contrainte du ressort

Cas d’une distribution arbitraire des raideurs

er re u r co m m is e en tr e le s d iff ´er en ts p ar am `et re s d ’u n n o eu d

ratio entre le nombre d’´el´ements discrets et continus

Fig. 2.24. D´esaccord sensible entre les fl`eches, les rotations, les moments fl´echissants et les contraintes dans les ressorts dans le cas d’une distribution arbitraire des raideurs

2.6 Conclusion 69

2.6

Conclusion

Dans un premier temps, notre travail a consist´e `a trouver les cas o`u le remplacement d’une approche discr`ete par une approche continue pour la mod´elisation du comportement du mod`ele de poutre ne donne pas un comportement identique pour celle-ci sous l’action d’une charge ext´erieure. Dans le cas pr´esent´e, l’´etude exacte du comportement de notre mod`ele 1D n´ecessite l’utilisation d’une approche discr`ete `a l’´echelle microscopique pour obtenir la r´eponse du syst`eme en chaque noeud et ainsi le comportement global du syst`eme.

Dans le cas o`u les r´esultats donn´es par les deux approches sont identiques, l’approche continue peut remplacer l’approche discr`ete. Il est alors inutile de se placer `a une ´echelle microscopique pour pouvoir appr´ehender le comportement du syst`eme.

Apr`es avoir manipul´e plusieurs cas tests, nous pouvons en d´eduire que lorsque nous disposons d’un rail qui ne pr´esente aucunes h´et´erog´en´eit´es au niveau des traverses ou que lorsque le ballast est bien r´eparti sous les rails, l’approche continue peut remplacer convenablement l’approche discr`ete. Ceci reste valable mˆeme si le nombre d’´el´ements discrets est beaucoup plus important que le nombre d’´el´ements continus.

Dans le cas o`u des h´et´erog´en´eit´es sont pr´esentes dans certaines zones sous le rail, nous consta- tons que les deux approches conduisent `a des r´esultats diff´erents, surtout lorsque le rapport entre le nombre des ´el´ements des deux approches augmente. Cette diff´erence s’illustre plus par- ticuli`erement dans les zones pr´esentant des h´et´erog´en´eit´es. Nous constatons que dans ces zones, l’approche discr`ete doit ˆetre utilis´ee et que dans le reste de la structure nous pouvons se contenter de l’approche continue qui (il est important de le noter) n´ecessite moins d’´el´ements.

Dans le cas des raideurs oscillantes, nous concluons sur une diff´erence sensible entre les deux approches surtout lorsque le rapport entre le nombre d’´el´ements des deux approches est tr`es ´elev´e. Dans ces zones, il est conseill´e d’utiliser l’approche discr`ete pour mieux approcher le comportement du syst`eme sous l’action d’une charge ext´erieure.

L’´etape suivante consiste `a proc´eder `a un couplage entre les deux approches. Cette approche coupl´ee doit ˆetre utilis´ee lorsque les deux approches donnent des r´esultats diff´erents dans des zones localis´ees.

Approche mixte discr`ete/continue :

´

Etude statique

C

e chapitre porte sur l’´etude statique du mod`ele de poutre unidimensionnel `l’approche coupl´ee. Dans un premier temps un crit`ere num´erique de couplage est propos´e.a partir de Ensuite la solution du syst`eme est calcul´ee `a l’aide de l’approche mixte et compar´ee `a celle de l’approche discr`ete. Plusieurs cas tests sont manipul´es dans le code MATLAB pour mettre en ´evidence la pertinence et l’efficacit´e de cette approche mixte, que cela soit en terme de temps de calcul ou dans la r´eduction du nombre de degr´es de libert´e.

71

Sommaire

3.1 Introduction . . . 72 3.2 Outils num´eriques de couplage . . . 72 3.2.1 Erreur sur les d´eplacements . . . 74 3.3 Algorithme de r´esolution . . . 76 3.4 Simulations num´eriques . . . 77 3.4.1 Validation avec un calcul semi-analytique . . . 77 3.4.2 Famille des cas tests . . . 78 3.4.2.1 Raideurs homog`enes par morceaux . . . 78 3.4.2.2 Raideurs oscillantes . . . 80 3.4.2.3 Raideurs arbitraires . . . 81 3.4.3 Evolution de l’erreur sur les diff´erents param`etres . . . .´ 82 3.4.4 R´eduction du nombre de degr´es de libert´e . . . 84 3.5 Conclusion . . . 84

3.1

Introduction

Dans le chapitre pr´ec´edent, un mod`ele de poutre unidimensionnel a ´et´e ´etudi´e `a partir deux approches discr`ete et continue. Plusieurs cas tests num´eriques des probl`emes de voies ferr´ees ont ´et´e ´etudi´es. Dans certains cas (h´et´erog´en´eit´es au voisinage de la charge appliqu´ee, raideurs oscillantes etc), l’approche continue n’a pas ´et´e capable de reproduire le comportement discret et particuli`erement dans les zones de ces h´et´erog´en´eit´es. D’o`u la n´ecessit´e de proposer une approche mixte couplant le discret et le continu et qui soit capable d’approcher le comportement discret du mod`ele.

L’´echelle de base de l’approche coupl´ee est macroscopique, o`u la taille des ´el´ements est grossi`ere. Des crit`eres de couplage (d´evelopp´es plus tard) sont appliqu´es au calcul des param`etres des noeuds macroscopiques. Dans des zones locales o`u le comportement n’est pas identique `a celui discret, un raffinement des ´el´ements `a l’´echelle grossi`ere va ˆetre n´ecessaire. Ce raffinement est appliqu´e jusqu’`a ce que l’´echelle des ´el´ements devienne microscopique ou plutˆot celle des ´el´ements discrets. La figure (Fig.3.1) montre une simulation de cette approche coupl´ee et des endroits d’application de chaque approche.

Nj

Ni

Approche discr`ete Approche continue H´et´erog´en´eit´es locales

Fig. 3.1. Simulation de l’approche coupl´ee propos´ee

Ensuite, une description d´etaill´ee de l’approche coupl´ee discr`ete/continue est pr´esent´ee. Dans un premier temps, des crit`eres de couplage sont propos´es. Ensuite l’algorithme num´erique de r´esolution de l’approche est le sujet de la section suivante. Des cas tests ´etudi´es dans le chapitre pr´ec´edent font le coeur de la validation num´erique et mettent en ´evidence les avantages de l’ap- proche mixte (reproduction correcte du comportement global du mod`ele, r´eduction du nombre de degr´es de libert´e, r´eduction de temps de calcul etc).

Dans le document Modélisation et simulation numérique du couplage entre les milieux discrets et continus (Page 71-76)