R´esutats obtenus par la m´ethode des moments

Le signal Z1, . . . , Zn avant distorsion est une s´equence g´en´er´ee num´eriquement de variables

gaussiennes, ind´ependantes, centr´ees et de variance σ2

54 CHAPITRE 2. CHOIX DU MOD `ELE DE DISTORSION

Estimation de E[Xt+τZt]

L’esp´erance math´ematique (2.14) avec k = 1 est par d´efinition proportionnelle `a la fonction d’inter-corr´elation des signaux en entr´ee et en sortie du mod`ele, d´efinie par

ρxz(τ ) = E[Xt+τZt]/(σxσz) (2.16)

o`u σ2

x est la variance de la s´equence en sortie X1, . . . , Xn. Sous les hypoth`eses du mod`ele (2.3)

avec un filtre lin´eaire RIF, les valeurs de la fonction d’intercorr´elation sont ´egales `a un facteur multiplicatif pr`es `a celles des coefficients de filtrage lin´eaire. Nous proposons de repr´esenter les variations de la fonction d’inter-corr´elation associ´ees aux mesures sur les dispositifs d’amplifica- tion de puissance et `a celles des magn´etophones `a bandes analogiques. Pour cela, on calcule les valeurs de l’estimateur empirique

ˆ

ρ_xz(τ ) = ˆγ_xz(τ )/(ˆγ_x(0)ˆγ_z(0))1/2 (2.17) o`u ˆγxz(τ ) et ˆγx(0) sont d´etermin´ees par

ˆ γxz(τ ) = _n1 ¡P_n−τ t=1 Xt+τZt ¢ ˆ γx(0) = _n1 ¡P_n t=1Xt2 ¢ et de mˆeme pour ˆγz(0).

Sur la figure 2.3, on observe deux exemples de fonction d’inter-corr´elation entr´ee-sortie as- soci´ees `a l’amplificateur Studer D19 MicValves, consid´er´e `a deux niveaux de puissance diff´erents du signal Zten entr´ee. Sur la figure du haut, la variance σz2 est suffisamment petite pour suppo-

ser qu’il n’y a pas de sur-modulation de l’appareil. Sur la figure du bas en revanche, la distorsion non-lin´eaire du signal en sortie est importante. De plus, nous faisons apparaˆıtre en trait continu l’intervalle de confiance `a 95% du bruit blanc c’est-`a-dire, les seuils |ˆρxz(τ )| ≤ 1.96/n1/2 `a par-

tir desquels les valeurs estim´ees de ˆρxz ne sont plus significatives [Brockwell and Davis, 1990].

L’´etalement de la fonction d’inter-corr´elation est donc faible car on observe que les valeurs de ˆ

ρxz(τ ) restent significatives uniquement lorsque |τ | ≤ 1. Nous obtenons les mˆemes r´esultats `a

partir des mesures entr´ee-sortie du mˆeme amplificateur utilis´e avec la technologie `a lampes. A ce niveau de caract´erisation, on ne peut pas pr´eciser si les effets observ´es de corr´elation lin´eaire sont strictement dus `a l’appareil d’amplification de puissance seul ou s’il intervient aussi des effets de transmission suppl´ementaires dans le dispositif (console d’enregistrement, conversion num´erique/analogique) de captation des s´equences entr´ee-sortie.

Dans le cas des enregistrements sur bandes magn´etiques analogiques, l’estimation de la fonc- tion d’inter-corr´elation est probl´ematique. La difficult´e provient des variations de vitesse du m´ecanisme de d´efilement de la bande magn´etique devant la tˆete de lecture de l’enregistreur qui cr´eent des d´ecalages temporels entre les signaux (voir section 1.6.2). De ce fait, nous proposons de calculer une fonction d’inter-corr´elation ˆρxz(τ ) moyenn´ee. Plus pr´ecis´ement, on calcule nl

fonctions d’inter-corr´elation `a court-terme ˆρ1

xz, . . . , ˆρnxzl associ´ees `a nl sous-signaux Z1i, . . . , ZLi

en entr´ee et Xi

1, . . . , XLi en sortie successifs de longueur L ∼ 600. Cette longueur est suppos´ee

suffisamment petite pour garantir qu’il n’y pas de perte de synchronisme entre les sous-signaux. La fonction d’inter-corr´elation moyenn´ee est obtenue en calculant la somme

ˆ ρxz = 1/nl nl X i=1 ˆ ρi_xz

o`u toutes les fonctions sous le signe somme sont recal´ees temporellement de sorte que les maximas d’inter-corr´elation `a court-terme des fonctions ˆρ1

xz, . . . , ˆρnxzl correspondent au mˆeme indice de

retard τ = 0 de la fonction moyenn´ee. Autrement dit, tous les sous-signaux sont recal´es pour que le maximum d’intercorr´elation `a court-terme soit obtenu quand τ = 0.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 τ (lag) ρXZ ( τ ) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 τ (lag) ρXZ ( τ )

Fig. 2.3 – Fonction d’inter-corr´elation de l’amplificateur de puissance du Studer D19 MicValves

en fonctionnement `a lampes. En haut ; sans sur-modulation de l’appareil. En bas ; avec distorsion non-lin´eaire importante. −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 τ (lag) ρXZ ( τ ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 τ (lag) ρXZ ( τ )

Fig. 2.4 – Fonction d’inter-corr´elation d’une s´equence de bruit blanc apr`es saturation magn´etique

de l’enregistreur Studer A80 sur bandes magn´etiques analogiques (19cm/s). En haut ; saturation mod´er´ee (+5dB). En bas ; saturation forte (+10dB).

56 CHAPITRE 2. CHOIX DU MOD `ELE DE DISTORSION

Sur la figure 2.4, nous pr´esentons deux exemples de fonction d’inter-corr´elation moyenn´ee correspondant au fonctionnement de l’enregistreur Studer A80. La variance σ2

z de la s´equence

en entr´ee est identique dans les deux cas. Cependant, la saturation est r´egl´ee par le niveau d’enregistrement du magn´etophone, volontairement sur´elev´e de 5dB (en haut) et 10dB (en bas) par rapport au niveau de r´eglage pour un fonctionnement correct, c’est-`a-dire, sans saturation audible de l’appareil.

On observe que l’´etalement de la fonction d’inter-corr´elation moyenn´ee est plus grand quand la saturation est plus importante si on compare les deux courbes de la figure 2.4. Il y a une asym´etrie de la fonction d’inter-corr´elation autour de sa valeur maximale, plac´ee `a l’in- dice de retard τ ´egal `a z´ero. Ceci traduit une propri´et´e de non-lin´earit´e de phase (distorsion lin´eaire) du filtre RIF. La saturation amplifie cette asym´etrie cr´eant un ´etalement de ˆρxz(τ )

du cˆot´e des indices de retard `a valeurs positives et n´egatives. Cette propri´et´e de non-causalit´e des effets lin´eaires est probablement due aux effets de la r´emanence magn´etique qui sont plus pr´epond´erants en pr´esence de la saturation forte sur la bande d’enregistrement et ´eventuellement `a la proc´edure de recalage des signaux. Nous conservons cependant dans notre ´etude l’hypoth`ese de causalit´e du mod`ele de distorsion. D’apr´es le niveau du seuil des valeurs significatives, l’ordre

q des filtres lin´eaires RIF utilis´ees sous les hypoth`eses de la mod´elisation (2.3) sera choisi tel que q ≤ 10.

Estimation de E[XtH_kσz(Zt)]

Sur la figure 2.5, nous pr´esentons les valeurs de l’estimateur empirique de E[XtH_kσz(Zt)],

d´efini par ˜ α_k= 1/n n X t=1 XtH_kσz(Zt) (2.18)

Dans le cas de la mod´elisation (2.3) du filtre lin´eaire RIF, ˜αk est `a une constante multiplicative

pr`es, le coefficient d’Hermite d’ordre k de la d´ecomposition (2.7).

La figure 2.5 repr´esente les variations de ˜αk aux ordres k = 0, . . . , 7 de la d´ecomposition

polynomiale ; en haut, les variations de (2.18) associ´ees aux mesures de l’amplificateur Studer D19 MicValves en fonctionnement `a lampes et en bas, celles associ´ees aux mesures de l’enregis- treur `a bandes Studer A816 (19cm/s). Ces estimations indiquent que le profil des non-lin´earit´es intervenant dans le mod`ele de distorsion est, aux ordres d < 7, celui d’une fonction impaire car on observe que les coefficients impairs ˜α₁, ˜α₃, ˜α₅, ˜α₇ sont toujours plus grands num´eriquement, que les coefficients pairs ˜α2, ˜α4.

Pour pr´eciser cette propri´et´e aux ordres d = 6, . . . , 9, nous proposons d’´evaluer l’importance relative du terme d’ordre 3 du mod`ele d’approximation (2.7) par rapport aux termes d’ordre sup´erieur. Pour cela, nous d´eterminons le rapport

rd= µ ˜ α₃ 3!H σz 3 (Z) ¶ / µ ˜ α_d d!H σz d (Z) ¶

`a la valeur d’amplitude Z telle que 5% des ´echantillons de la s´equence de bruit blanc en entr´ee, ont une amplitude Z<sub>t</sub> sup´erieure `a Z. On obtient les r´esultats suivants :

r6 r7 r8 r9

D19 `a lampes 128.0 −4.2 −164.0 −19.1

A816 (19cm/s) −53.7 5.2 7.0 16.8

De ce fait, on peut consid´erer que la non-lin´earit´e de l’amplificateur en fonctionnement `a lampes, conserve la propri´et´e de sym´etrie impaire. Les termes pairs sont plus de 120 fois plus faibles que

0 1 2 3 4 5 6 7 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 Ordre k E[X t H σ (Z k t )] D19 à lampes 0 1 2 3 4 5 6 7 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 Ordre k E[X t H σ (Z k t )] A816 (19cm/s)

Fig. 2.5 – Estimateur empirique de E_{Zt∼N (0,σ}2

z)[Xt, H

σz

k (Zt)] par le calcul (2.18), en fonction de l’ordre k. En haut, distorsion non-lin´eaire d’amplification de puissance du Studer D19 MicValves `a lampes. En bas, saturation magn´etique du Studer A816 (19cm/s).

le terme d’ordre 3 et ceux d’ordre impair, seulement 5 `a 12 fois plus petits. Nous avons effectu´e les mˆemes calculs avec les mesures de bruit blanc en entr´ee et en sortie de l’amplificateur Studer D19 mais en fonctionnement normal. Les r´esultats indiquent que la propri´et´e de sym´etrie impaire n’est pas v´erifi´ee car les termes d’ordre 4, 6, 8 ne sont plus n´egligeables. Cela s’explique par les effets de repliements asym´etriques d´ej`a d´etect´es sur la figure 1.5.

En revanche, la sym´etrie impaire des effets non-lin´eaires de la saturation magn´etique n’est pas aussi clairement d´etect´ee. Le rapport calcul´e r8 prend une valeur proche de r7 et sup´erieure

`a r9. On note cependant, trois raisons pour lesquelles nous supposons dans la suite de notre

´etude, que le mod`ele d’approximation de la nonlin´earit´e est dans ce cas, celui d’une fonction impaire :

– Le calcul de ˜αk est effectu´ee sur 30 sous-trames de la s´equence de bruit blanc comportant L = 700 ´echantillons. Ces sous-trames en entr´ee et en sortie sont resynchronis´ees `a partir

du calcul de la fonction de corr´elation temporelle puis on d´etermine ˜α_k correspondant `a chaque sous-trame. La figure 2.5 illustre les valeurs moyennes de ˜α_k.

– Les non-lin´earit´es correspondantes aux saturations magn´etiques enregistr´ees en sortie du Studer A816 ou du Studer A80, ne sont pas suffisamment brutales pour d´eclencher les effets non-lin´eaires aux ordres d ≥ 6 plus ´elev´es.

– Les analyses spectrales des sinuso¨ıdes de fr´equence f0 enregistr´ees en sortie du Studer A80

ou du Studer A816, indiquent toujours que les harmoniques d’ordre impair 3f0, 5f0 sont

pr´epond´erantes par rapport aux harmoniques paires (voir figure 1.1). Estimation des coefficients d’auto-corr´elation partielle (2.15)

Sur la figure 2.6, nous pr´esentons deux exemples d’estimation de la fonction d’auto-corr´elation partielle enregistr´ee en sortie de l’amplificateur de puissance ou avec le magn´etophone `a bandes analogiques. Ces estimations sont associ´ees `a l’utilisation du mod`ele de distorsion (2.4) du

58 CHAPITRE 2. CHOIX DU MOD `ELE DE DISTORSION

filtre lin´eaire tout-pˆoles. Les valeurs ρ_pacf(0), ρ_pacf(1), . . . , ρ_pacf(τ ) sont d´etermin´ees `a partir d’un algorithme de Levinson-Durbin [Brockwell and Davis, 1990]. La distorsion d’amplification (respectivement la saturation magn´etique) enregistr´ee est tr`es brutale. Sur cette figure, nous illustrons en trait continu, l’intervalle de confiance `a 95% du bruit blanc c’est-`a-dire, les seuils

|ˆρ_pacf(τ )| ≤ 1.96/n1/2 _{`a partir desquels les valeurs estim´ees de ˆρ}

pacf ne sont plus significatives.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 PACF retard τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 PACF retard τ

Fig. 2.6 – Fonction d’auto-corr´elation partielle ρ_pacf(τ ). En haut ; distorsion non-lin´eaire d’am-

plification de puissance du D19 `a lampes. En bas ; saturation magn´etique du Studer A80.

On observe donc que sous les hypoth`eses de la mod´elisation tout-pˆoles et si on utilise un signal gaussien en entr´ee, la fonction d’auto-corr´elation partielle estim´ee prend des valeurs significatives pour τ < 4 dans tous les cas. Ces r´esultats sont aussi valid´es sur l’ensemble des mesures avec des signaux gaussiens. Dans ces conditions, on conclut que l’ordre p de la mod´elisation (2.4) pourra ˆetre choisi a priori `a une valeur telle que p ≤ 10.