Les distributions `a deux dimensions simul´ees sont ajust´ees avec celles des donn´ees par la fonction de vraisemblance (6.5) en utilisant le programme MINUIT [109].
183 GeV
Canal MW = 79.35 MW = 79.95 MW = 80.35 MW = 80.75 MW = 81.35
e+e−→ q¯qq¯q 40200 27359 71649 20126 40649
q¯q(γ) 1040883
Tab. 6.2: Nombre d’´ev´enements Monte-Carlo utilis´es dans l’analyse `a 183 GeV. Le canal e+e− → q¯qq¯q est g´en´er´e `a 5 masses de W (GeV/c2) avec EXCALIBUR tandis que les ´ev´enements de bruit de fond q¯q(γ) sont g´en´er´es avec PYTHIA.
189 GeV
Canal MW = 80.35 MW = 81.35 e+e− → q¯qq¯q 57023 27216
q¯q(γ) 607472
Tab. 6.3: Nombre d’´ev´enements Monte-Carlo utilis´es dans l’analyse `a 189 GeV. Le canal e+e− → q¯qq¯q est g´en´er´e `a 2 masses de W (GeV/c2) avec EXCALIBUR tandis que les ´ev´enements de bruit de fond q¯q(γ) sont g´en´er´es avec PYTHIA.
6.5.1 Masse du W `a 183 et 189 GeV
Les r´esultats obtenus pour la masse du boson W `a 183 GeV et `a 189 GeV `a partir de 401 et 1309 ´ev´enements s´electionn´es dans les donn´ees sont :
MW(183 GeV) = 80.153 ± 0.183 (stat) GeV/c2 MW(189 GeV) = 80.430 ± 0.117 (stat) GeV/c2
L’erreur statistique attendue `a partir de la simulation est ±0.215 `a 183 GeV et ±0.119 `a 189 GeV. Une correction de 27 MeV/c2 a ´et´e apport´ee `a la masse du W pour prendre en compte l’approximation de largeur fixe du W lors de la g´en´eration des ´echantillons Monte-Carlo avec EXCALIBUR. Cette correction a ´et´e ´evalu´ee dans [62]. Les distributions de masse sont montr´ees dans la figure 5.13 du chapitre 5.
6.5.2 Contrˆole de la m´ethode de mesure
Un certain nombre de tests ont ´et´e effectu´es pour contrˆoler les r´esultats pr´ec´edents. Lin´earit´e de la pond´eration
La m´ethode suppose que la distribution Monte-Carlo qui s’ajuste le mieux `a la distribution des donn´ees fournit la masse du W. Cette m´ethode est non biais´ee par d´efinition, c’est-`a-dire qu’aucune correction `a la masse ou `a l’erreur statistique n’est n´ecessaire. Il est cependant bon de v´erifier l’absence
183 GeV
Njets 4 jets 5 jets 6-7-8 jets
Nombre d’´ev´enement 102 161 139 ∆MW(stat) GeV/c2 0.32 0.35 0.53
Tab. 6.4: Nombre d’´ev´enements ayant Njets reconstruits `a 183 GeV. L’ordre de grandeur de la r´esolution statistique ∆MW(stat) sur la masse du W de chacune des cat´egories est indiqu´e en GeV/c2.
masse du W (GeV/c
2)
Entrées / GeV/c 2WW → qq
−4 jets
0 10 20 30 40 50 60 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100masse du W (GeV/c
2)
5 jets
0 10 20 30 40 50 60 70 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100masse du W (GeV/c
2)
6-7-8 jets
0 10 20 30 40 50 60 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100Fig.6.6: Distributions de la masse du W reconstruite pour les donn´ees et la simulation `a 189 GeV. Les ´ev´enements sont s´epar´es en fonction du nombre de jets reconstruits avec l’algorithme de jet DURHAM pour un ycut=0.001. Les ´ev´enements `a 6, 7 ou 8 jets sont regroup´es dans le troisi`eme histogramme.
d’erreur technique1 en comparant la masse obtenue pour 5 ´echantillons Monte-Carlo ind´ependants avec la masse utilis´ee `a la g´en´eration. On construit ainsi une courbe de calibration analogue `a celle de l’´equation (6.2). Les valeurs de la pente a et du d´ecalage syst´ematique b sont fournies dans le tableau 6.5. La relation entre la masse obtenue et la masse vraie ne fait pas apparaˆıtre d’erreur dans le cadre des statistiques disponibles : la pente est en accord avec l’unit´e et le d´ecalage syst´ematique en accord avec z´ero.
a 1.02 ± 0.03 b (GeV/c2) 0.01 ± 0.02
Tab. 6.5: Test de calibration de la m´ethode de pond´eration. Les param`etres a et b sont d´efinis dans l’´equation (6.2). Ils correspondent `a la pente et au d´ecalage syst´ematique (´eventuels) entre la masse obtenue et la masse vraie de g´en´eration.
V´erification de l’erreur statistique
La taille des intervalles de la distribution `a deux dimensions a ´et´e optimis´ee de fa¸con `a obtenir, dans chaque pav´e, un nombre d’´ev´enement simul´es suffisamment grand. Il y a au moins 250/50 fois plus d’´ev´enements Monte-Carlo que d’´ev´enements observ´es dans les donn´ees `a 183/189 GeV. L’erreur statistique sur la masse a une variation inf´erieure `a quelques MeV/c2 lorsqu’on n’utilise que 60 % des ´ev´enements Monte-Carlo au lieu de la statistique totale disponible. Pour contrˆoler l’erreur statistique, la m´ethode a ´et´e appliqu´ee sur 10000 ´echantillons ind´ependants simul´es constitu´es du mˆeme nombre d’´ev´enements que celui pr´esent dans les donn´ees ; ces ´ev´enements ayant tous pr´ealablement pass´e les coupures de s´election.
1) Distribution de l’erreur statistique :
La distribution des 10000 erreurs statistiques obtenues en appliquant la m´ethode sur les
´echantillons simul´es `a 183 GeV est montr´ee dans la figure 6.7. La valeur moyenne des erreurs statistiques est 216 MeV/c2, r´esultat qui confirme l’erreur statistique attendue de 215 MeV/c2
lorsqu’on ajuste une distribution utilisant toute la statistique Monte-Carlo disponible. L’erreur statistique obtenue dans les donn´ees `a 183 GeV est 183 MeV/c2. Elle correspond `a une situation favorable par rapport `a l’erreur attendue mais compatible avec la dispersion autour de la valeur moyenne. Environ 4.5 % des ´echantillons Monte-Carlo ont une erreur statistique plus faible que 183 MeV. Mean .2161
Erreur statistique σ
W i(GeV/c
2)
Entrées / 2.5 MeV/c
2Données
(4.5%)
0 100 200 300 400 500 600 700 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28Fig. 6.7: Distribution de l’erreur statistique obtenue avec 10000 ´echantillons ind´ependants constitu´es du mˆeme nombre d’´ev´enements simul´es que celui observ´e dans les donn´ees `a 183 GeV. La fl`eche indique l’erreur statistique obtenue dans les donn´ees `a cette ´energie. Environ 4.5 % des ´echantillons ont une erreur plus petite que 183 MeV/c2, erreur obtenue pour les donn´ees `a 183 GeV. La valeur moyenne des erreurs statistiques est 216 MeV/c2.
2) Dispersion autour de la masse vraie :
Pour v´erifier que l’erreur statistique calcul´ee est un bon estimateur de la dispersion des masses obtenues autour de la masse vraie 80.35 GeV/c2 utilis´ee pour chaque ´echantillon, on d´efinit le “Pull” :
Pull = 80.35 − Mi W
σi W
o`u MWi et σiW sont la masse et l’erreur statistique de l’echantillon i. La figure 6.8 montre le r´esultat `a 183 GeV. L’´ecart type du “Pull” est compatible avec l’unit´e et la valeur centrale avec z´ero.
2) Dispersion en fonction de l’erreur :
estimateur en valeur moyenne. On a ´egalement v´erifi´e que cette erreur n’est pas biais´ee lors-qu’elle est ´eloign´ee de la valeur la plus probable comme c’est le cas `a 183 GeV. On calcule, comme pr´ec´edemment, l’´ecart type autour de la valeur vraie 80.35 GeV/c2, divis´ee par l’er-reur statistique, en fonction de l’erl’er-reur statistique σi
W pour chaque ´echantillon i. La figure 6.9 montre que sur toute la gamme d’erreurs statistiques possibles, c’est-`a-dire 175 MeV/c2 ≤ σi
W ≤ 280 MeV/c2, l’´ecart type est compatible avec l’unit´e.
6.6 Conclusion
La m´ethode utilis´ee, fond´ee sur l’utilisation de la forme des distributions pr´edites par le Monte-Carlo, a permis d’´eviter les difficult´es li´ees `a une param´etrisation analytique des distributions. La fonction de vraisemblance fournit une estimation fiable de la masse et de l’erreur statistique comme l’´etude des ´echantillons simul´es l’a confirm´e. Nous le verrons dans le dernier chapitre, les r´esultats obtenus pour la masse du boson W sont en bon accord avec d’autres analyses et la r´esolution sur la masse est voisine de l’optimum obtenu par les exp´eriences LEP.
Les jets, apr`es association, forment deux ensembles dont la masse invariante est proche puisque correspondant aux deux W initiaux. La sensibilit´e `a la masse est augment´ee en tenant compte de cet effet et en construisant une fonction de vraisemblance `a deux dimensions. La premi`ere dimension est la valeur moyenne des masses invariantes des deux ensembles, elle pr´esente un pic `a la masse du W autour de 80 GeV. La deuxi`eme dimension est la diff´erence de masse entre les deux ensembles, elle est petite pour des W et grande pour des ´ev´enements mal reconstruits ou qui sont des ´ev´enements de bruit de fond. Le passage `a deux dimensions permet un gain de 11 % sur la r´esolution par rapport `
a une m´ethode de vraisemblance `a une dimension n’utilisant que la valeur moyenne des masses des deux W.
Le nombre de jets reconstruits pouvant varier entre 4 et 8, la fonction de vraisemblance s´epare les ´ev´enements `a 4 jets, 5 jets, et 6-7-8 jets. Les 4 jets sont bien s´epar´es en angle, alors que dans le cas des ´ev´enements `a 6-7-8 jets il est tr`es difficile de les attribuer correctement aux deux W, ce qui a pour cons´equence une r´esolution m´ediocre sur la masse. Cette s´eparation conduit `a un gain de 7 % sur la r´esolution de la masse.
Mean RMS .01 .993
( 80.35 - M
W i) / σ
W iEntrées / .17
« Pull »
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Fig. 6.8: Dispersion de la diff´erence entre la masse obtenue et la masse vraie 80.35 GeV/c2 di-vis´ee par l’erreur statistique calcul´ee sur 10000 ´echantillons Monte-Carlo constitu´es du mˆeme nombre d’´ev´enements que celui observ´e dans les donn´ees. La valeur moyenne est 0.01 ± 0.01 et l’´ecart type 0.99 ± 0.01.
Erreur statistique σ
W i
(GeV/c
2)
Ecart type du « Pull »
Données à 183 GeV
RMS de ( 80.35 - M
W i) / σ
W i 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28Fig. 6.9: L’ordonn´ee correspond `a la valeur de l’´ecart type de la distribution du “Pull” (80.35 − Mi
W)/σi
W. L’abscisse est l’erreur statistique σi
W de l’´echantillon i. L’erreur statistique obtenue pour les donn´ees `a 183 GeV est indiqu´ee.
Chapitre 7
Incertitudes syst´ematiques sur la
mesure
7.1 Introduction
Ce chapitre ´ebauche l’analyse des effets syst´ematiques qui peuvent affecter la mesure de la masse du W. Ils proviennent tous d’imperfections de la simulation dues `a l’ignorance partielle d’une part de la mod´elisation th´eorique de l’interaction et, d’autre part, de la compr´ehension de la r´eponse du d´etecteur ou du faisceau. Il y a en outre plusieurs niveaux dans les incertitudes th´eoriques. Le calcul des corrections radiatives est ardu mais assez bien maˆıtris´e. Au contraire, la fragmentation ou les effets d’interaction dans l’´etat final (Bose-Einstein et recombinaison de couleur) restent li´es `a un ajustement empirique des donn´ees, qui n’est jamais achev´e.