R´esultats compl´ementaires : cas de tubes

En ´etudiant des tubes, nous nous plac¸ons dans un cas id´eal o`u l’objet r´eel et le corps canonique estimateur ont la mˆeme g´eom´etrie. Dans le cas du tube homog`ene, nous nous attendons donc `a de tr`es bons r´esultats. L’objectif est ici de valider notre m´ethode d’optimisation dans le cas d’un tube pr´esentant une macrostructure.

Tube homog`ene

Le fantˆome ´etudi´e (Fig. 5.14) est un tube circulaire fluide de rayon externe re=6.6 mm et de rayon interneri=3.3 mm. Ses caract´eristiques acoustiques sont identiques `a la matrice de l’objet pr´esent´e pr´ec´edemment paragraphe 5.3.1 : imp´edance 1.4112 MRayl et c´el´erit´e 1470 m/s. La cavit´e int´erieure du tube a les caract´eristiques suivantes : imp´edance 1.782 MRayl et c´el´erit´e 1620 m/s.

Les domaines d’estimations des inconnues z1, z2,c1 et c2 sont donn´ees au tableau 5.2. On retrouve pour l’estimation de l’imp´edancez1(en r´etrodiffusion) et la c´el´erit´ec1(en diffraction) des r´esultats quasiment identiques `a ceux pr´esent´es au paragraphe 5.3.1. Nous donnons par cons´equent seulement les r´esultats obtenus :

z^∗₁= 1.4081 MRayl et c1= 1470.4 m/s

L’erreur relative pour l’estimation de l’imp´edancez1est 0.22% et pour la c´el´erit´e c1de 0.03%. La figure 5.16(b) repr´esente la fonction coˆut ¯F(z2 / ca

2, z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0) d´ependant de z2,

lorsque la valeur de la c´el´erit´ec2est impos´ee a priori `a 1500 m/s. L’estimation de l’imp´edance est :

z∗

2 = 1.775 MRayl.

L’erreur relative sur l’estimation de l’imp´edancez2est de 0.39%. Comme on pouvait s’y attendre, l’erreur surz2est tr`es faible, aucune erreur n’´etant commise sur le rayon de courbure.

102 CHAPITRE 5. M ´ETHODE D’OPTIMISATION (MRayl) 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 mm mm 0 5 10 15 5 10 15

FIG. 5.14 – Carte d’imp´edance : tube 1.4112 MRayl et cavit´e int´erieure 1.782 MRayl.

0 5 10 15 20 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps (µs)

Limite du domaine temporel utilisée pour l’estimation de l’impédance z

1

Limite du domaine temporel utilisée pour l’estimation de l’impédance z₂

FIG. 5.15 – Champ diffract´e par le tube

´equivalent (- - -) mesur´e en r´etrodiffusion et calcul´e grˆace `a l’Eq. 5.1. Champ diffract´e par l’objet r´eel mesur´e en r´etrodiffusion (—) ob-tenu par le code d’´el´ements finis .

(a) 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z₂ (MRayl)

Valeurs de la fonction cout

(b)

FIG. 5.16 – (a) Fonctions coˆuts Log ¯F(z2, c2/ z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0)

d´ependant de z2 et c2 en r´etrodiffusion (γ = 0o). (b) Fonction coˆut ¯F(z2 / ca

2, z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0) d´ependant de z2 en

r´etrodiffusion quand la c´el´erit´e est impos´ee a priorica

5.3. APPLICATIONS SUR DES DONN ´EES SIMUL ´EES 103 Tube pr´esentant une macrostructure

Nous nous int´eressons `a la robustesse de la m´ethode d’optimisation en milieu al´eatoire. Le fantˆome ´etudi´e (Fig. 5.17) poss`ede la mˆeme g´eom´etrie et les mˆemes caract´eristiques acoustiques moyennes que l’objet pr´ec´edent avec un al´ea pour le param`etre d’imp´edance : longueur de corr´elation 1 mm et ´ecart type de 0.5%. (MRayl) 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 mm mm 0 5 10 15 5 10 15

FIG. 5.17 – Carte d’imp´edance : tube 1.4112 MRayl et cavit´e int´erieure 1.782 MRayl. Ecart type de 0.5% 0 5 10 15 20 −1 −0.5 0 0.5 1 Temps (µs)

Limite du domaine temporel utilisée pour l’estimation de l’impédance z₁ Limite du domaine temporel utilisée pour l’estimation de l’impédance z₂

FIG. 5.18 – Champ diffract´e par le tube

´equivalent (- - -) mesur´e en r´etrodiffusion et calcul´e grˆace `a l’Eq. 5.1. Champ diffract´e par l’objet r´eel mesur´e en r´etrodiffusion (—) ob-tenu par le code d’´el´ements finis.

La figure 5.19 repr´esente le logarithme des fonctions coˆuts ¯F(z1, c1 / r∗

e, ψ0) d´ependant de

l’imp´edancez1et de la c´el´erit´ec1. L’allure des fonctions coˆuts est semblable `a celle pr´esent´ee pour des objets non al´eatoires. L’estimation de l’imp´edance est :

z₁^∗= 1.3978 MRayl.

L’erreur relative sur l’estimation de l’imp´edance z1 est de 0.95% (contre 0.22% en milieu non al´eatoire).

La figure 5.20 repr´esente la c´el´erit´e estim´eec∗

1(ψk/ z∗ 1, r∗

e) pour diff´erents angles de diffraction

ψk = 0^o, · · · , 180^oquand l’imp´edance est connue (z^∗₁ =1.3978 MRayl). La c´el´erit´e c1est obtenue

en moyennant les c´el´erit´es estim´ees pour les angles de diffraction 25^o ≤ ψ ≤45o(comme effectu´e pr´ec´edemment) :

c^∗₁= 1472.6 m/s.

L’erreur relative sur l’estimation de la c´el´erit´ec1est de 1.8% (contre 0.03% en milieu non al´eatoire). La figure 5.21(b) repr´esente la fonction coˆut ¯F(z2 / ca

2, z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0) d´ependant de z2,

lorsque la valeur de la c´el´erit´ec2est impos´ee a priori `a 1500 m/s. L’estimation de l’imp´edance est :

z₂^∗= 1.7258 MRayl.

L’erreur relative sur l’estimation de l’imp´edance z2 est de 3.15% (contre 0.39% en milieu non al´eatoire).

Les r´esultats obtenus montrent que la m´ethode d’optimisation est assez robuste aux milieux al´eatoires, mˆeme si les r´esultats sont moins bons, les estimations restent correctes.

104 CHAPITRE 5. M ´ETHODE D’OPTIMISATION (a) 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0 2 4 6 8 10 12 z₁ (MRayl)

Valeur de la fonction coût

(b)

FIG. 5.19 – (a) Fonctions coˆuts Log ¯F(z1, c1/ r∗ e, ψ0)

d´ependant dez1 et c1 en r´etrodiffusion

(γ = 0o). (b) Fonction coˆut ¯F(z1 / ca

1, r∗

e, ψ0) d´ependant de z1en r´etrodiffusion quand la c´el´erit´e

est impos´ee a priorica

1=1500 m/s. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 1450 1500 1550 1600 1650 1700 Angles de diffraction ψ c¹ (m/s) FIG. 5.20 – C´el´erit´e estim´eec∗ 1(ψk/ z∗ 1, r∗

e) pour diff´erents angles de diffraction ψk= 0o, · · · , 90o

quand l’imp´edance est connue (z∗

1 =1.3978 MRayl). (a) 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z₂ (MRayl)

Valeur de la fonction cout

(b)

FIG. 5.21 – (a) Fonctions coˆuts Log ¯F(z2, c2/ z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0)

d´ependant de z2 et c2 en r´etrodiffusion (γ = 0o). (b) Fonction coˆut ¯F(z2 / ca

2, z∗ 1, c∗

1, r∗ e, r∗

i, ψ0) d´ependant de z2 en

r´etrodiffusion quand la c´el´erit´e est impos´ee a priorica

5.4. DISCUSSION ET CONCLUSION 105

5.4 Discussion et conclusion

Une m´ethode d’optimisation, employant l’information g´eom´etrique fournie par une m´ethode to-mographique, a ´et´e utilis´ee afin d’obtenir l’information quantitative du param`etre d’imp´edance. Cette m´ethode est adapt´ee `a des objets simples : inclusions homog`enes ou quasi-homog`enes dans un milieu homog`ene ou quasi-homog`ene. L’objet est approch´e localement par un corps canonique ´equivalent. Ce corps canonique r´ealise une r´eduction de mod`ele permettant une pr´ediction analytique des me-sures locales. Nous proc´edons `a l’inversion optimale des donn´ees acquises en r´etrodiffusion pour l’estimation de l’imp´edance et en diffraction pour l’estimation de la c´el´erit´e. L’inversion consiste `a r´esoudre de fac¸on it´erative un probl`eme direct minimisant l’´ecart entre la mesure du champ r´etrodif-fus´e par l’objet et le calcul du champ diffract´e par ce corps ´equivalent. La m´ethode d’optimisation donne d’excellents r´esultats lorsque l’objet peut ˆetre approch´e par un objet canonique (cas du tube) ou lorsque l’objet poss`ede un rayon de courbure assez proche du corps canonique estimateur (cas de l’objet `a inclusions de tailles variables).

Lors de l’´etude des fantˆomes acad´emiques, la pr´edominance des param`etres d’imp´edance et de c´el´erit´e a ´et´e ´etudi´ee. En r´etrodiffusion, en trac¸ant les fonctions coˆuts d´ependant de ces deux pa-ram`etres, nous avons pu observer la robustesse du param`etre d’imp´edance par rapport au param`etre de c´el´erit´e. De mˆeme, en trac¸ant les fonctions coˆuts d´ependant de la c´el´erit´e pour plusieurs angles de diffraction, la pr´edominance du param`etre de c´el´erit´e en transmission s’est traduit par un minimum prononc´e. Ces conclusions sont identiques `a celles formul´ees au chapitre 1 avec les diagrammes de directivit´e oppos´es pour ces deux mˆemes param`etres.

Dans le cas de l’objet `a inclusions de tailles variables (inclusions d´ecentr´ees), un corps circulaire ´equivalent d´ecentr´e serait plus adapt´e. La m´ethode d’optimisation donnerait alors des bons r´esultats, similaires `a ceux que nous avons obtenu dans le cas du tube. Cependant cela n´ecessiterait d’em-ployer un probl`eme direct plus sophistiqu´e tel qu’une repr´esentation en int´egrale de domaine ou de volume. On pourrait mˆeme envisager de d´evelopper des mod`eles ´equivalents plus complexes, en utilisant par exemple des simulations num´eriques telles que celles pr´esent´ees avec la m´ethode d’´el´ements finies au chapitre 2, ou celles r´ealis´ees par Manry & Broschat (1996) avec une m´ethode de diff´erences finis. Au lieu d’utiliser, lors de la r´esolution du probl`eme direct, le calcul analytique du champ diffract´e par un corps canonique (ou circulaire d´ecentr´e), on utiliserait ces simulations num´eriques qui permettraient de prendre en compte des organes `a g´eom´etrie complexe tels que le sein. N´eanmoins, ces m´ethodes sont ch`eres en temps de calcul. L’approximation canonique a l’avan-tage de permettre un calcul de la r´eponse acoustique extrˆemement rapide, quasiment en temps r´eel : une minimisation avec une centaine d’it´erations (et donc une centaine de r´esolutions du probl`eme direct) est r´ealis´ee en moins de 1 minutes.

Par ailleurs, le mod`ele ´equivalent que nous avons utilis´e pourrait ˆetre am´elior´e en d´eveloppant un objet canonique ´equivalent `a plusieurs couches, ou encore en tenant compte des milieux att´enuant et ´elastique.

Un point qui reste `a approfondir est l’applicabilit´e de la m´ethode au sein en utilisant un probl`eme direct simple (calcul analytique de la r´eponse d’un corps canonique, ou repr´esentation en int´egrale de domaine ou de volume). Le sein est un organe beaucoup plus complexe que les objets-tests utilis´es, mˆeme munis de macrostructure.

Un domaine o`u l’applicabilit´e est peut-ˆetre moins probl´ematique est l’imagerie et la caract´erisation des os longs. Une coupe de diaphyse n’est pas tr`es ´eloign´ee de nos objets-tests, surtout lorsqu’ils sont munis d’une macrostructure. C’est peut-ˆetre dans ce domaine que notre technique pr´esente le plus grand avenir.

Troisi`eme partie

Validations num´erique et

exp´erimentale

Chapitre 6

Validation de l’ensemble des

techniques tomographiques mises en

oeuvre sur un unique fantˆome

num´erique

Ce chapitre pr´esente les reconstructions qualitative et quantitative d’un fantˆome num´erique acad´e-mique pr´esentant des variations des trois param`etres densit´e, c´el´erit´e et absorption. Nous confrontons ainsi sur la base d’un mˆeme fantˆome num´erique les m´ethodes tomographique expos´ees pr´ec´edem-ment dans ce manuscrit : la tomographie qualitative d’imp´edance avec et sans correction des aberra-tions dˆues `a l’approximation de Born, la technique de type layer stripping pour la reconstruction de la carte de c´el´erit´e et enfin la tomographie d’absorption avec correction des effets de la diffraction.

6.1 Pr´esentation du fantˆome

La simulation est men´ee sur une grille de 1730× 1730 (∆x=0.016 mm, 27.7 mm× 27.7 mm).

360 transducteurs (fr´equence centrale 2.5 MHz,λ=0.6 mm) sont ´equir´epartis sur un cercle de rayon R=13.2 mm. Pour chaque position de l’´emetteur, on simule la propagation de l’onde et on mesure le champ diffract´e sur les 359 r´ecepteurs. La forme de l’onde incidente est identique `a celle repr´esent´ee au chapitre 1 `a la figure 1.3.

Le fantˆome cylindrique (Fig. 6.1) est un objet fluide, immerg´e dans l’eau (densit´e 1000 kg/m³, c´el´erit´e 1500 m/s), ayant les caract´eristiques suivantes : densit´e 950 kg/m³, c´el´erit´e 1470 m/s et absorption 6 Np/m/MHz. Le rayon de l’objet est de 12 mm et les diam`etres des inclusions sont

d₀=8λ=3.6 mm, d1=4λ=2.4 mm et d2=2λ=1.2 mm. Les inclusions ont les caract´eristiques

sui-vantes : densit´e 1040 kg/m³, c´el´erit´e 1600 m/s et absorption 19 Np/m/MHz. Ce fantˆome est de type acad´emique (inclusions homog`enes dans un milieu homog`ene) et correspond `a un mod`ele sim-pliste de sein : une matrice de graisse contenant des n´ecroses. Nous avons choisi des inclusions de tailles plus importantes (par rapport `a la taille des inclusions pr´esent´ee dans les autres chapitres du manuscrit) car la technique de layer stripping, conditionnant les corrections des techniques de to-mographie de r´eflectivit´e et d’absorption, permet seulement de discriminer des objets de l’ordre de deux longueurs d’onde (voir chapitre 3).

La figures 6.2 (et respectivement figure 6.3) repr´esente les ”clich´es” de la simulation `a deux instants t du rayonnement d’une source cylindrique situ´ee en bordure du domaine dans le milieu sans objet -champ incident- (et respectivement avec l’objet -champ total-). Le train d’onde principal du champ total dans l’objet diff`ere tr`es peu du champ incident mˆeme `a l’int´erieur des inclusions, ce qui justifie l’utilisation de l’approximation de Born dans le cas de notre objet faiblement contrast´e.

110 CHAPITRE 6. VALIDATION NUM ´ERIQUE

TAB. 6.1 – Propri´et´es acoustiques

Milieu Densit´e C´el´erit´e Absorption

(kg/m³) (m/s) (Np/m/MHz) Eau 1000 1500 0 Matrice 950 1470 6 Inclusions 1.5 1600 19 mm mm 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 (kg/m3) 950 960 970 980 990 1000 1010 1020 1030 1040

(a) Carte de densit´e

mm mm 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 (m/s) 1460 1480 1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620 1640 (b) Carte de c´el´erit´e mm mm 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 (Np/m/MHz) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (c) Carte d’absorption

6.1. PR ´ESENTATION DU FANT ˆOME 111

(a) Simulation `a t=9 µs (b) Simulation `a t=12 µs

FIG. 6.2 – Simulation `a deux instantst d’une onde cylindrique se propageant dans le milieu de couplage (l’eau : densit´eρ0=1000 kg/m³et c´el´erit´ec0=1500 m/s) grˆace au code d’´el´ements finis visco-acoustique.

(a) Simulation `a t=9 µs (b) Simulation `a t=12 µs

FIG. 6.3 – Mˆeme simulation aux mˆemes instantst en pr´esence de l’objet. Le champ dans l’objet est peu diff´erent du champ incident (sans objet Fig. 6.2).

112 CHAPITRE 6. VALIDATION NUM ´ERIQUE