R´ esolution d’´ equations d’espaces de suites

Dans cette section on d´etermine l’ensemble de toutes les suitesx= (x_n)_n≥1∈

U⁺v´erifiant les ´equationss_a+s_x =s_b,s_a+s_b∗s_x=s_dets_c∗s_x+s_a=s_d∗s_x+s_b. On consid`ere un type sp´ecial d’´equations d’espaces de suites et on le note (EES), c’est une ´egalit´e dont les termes sont une somme ou une somme de produit d’ensembles de suites de la forme s<sub>a</sub> et s<sub>f(x)</sub> o`u f est une fonction d´efinie de U⁺ dans lui mˆeme et x= (xn)_n≥1 ∈U⁺ est la suite inconnue.

5.3.1 R´esolution de l’´equation s

+s

= s

Th´eor`eme 5.11. Soient a = (a_n)_n≥1, b = (b_n)_n≥1 ∈ U+ et consid´erons l’´equation

sa+sx=sb (5.3)

o`ux= (x_n)_n≥1∈U+ est la suite inconnue. On a

(i) Sia/b∈c₀ alors l’´equation (5.3) est v´erifi´ee si et seulement s’il existeK₁, K2 >0 d´ependant dex, tels que

K1bn≤xn≤K2bn pour tout n, c’est `a dire

s_x=s_b.

(ii) Si a/b, b/a ∈ `∞ alors l’´equation (5.3) est v´erifi´ee si et seulement s’il existe K >0 d´ependant de x tel que

0< x_n≤Kb_n pour tout n.

Cela veut dire que

s_x⊂s_b.

(iii) Sia/b /∈`∞ alors l’´equation (5.3) ne poss`ede pas de solutions dans U+.

Preuve. (i) Condition n´ecessaire. Montrons que si x = (x_n)_n≥1 ∈ U⁺ v´erifie l’´equation (5.3) alors sx = sb. Comme sa +sx = sa+x, l’´equation (5.3) est ´

equivalente `a sa+x =s_b. Donc (5.3) est v´erifi´ee s’il existeK1, K2 >0 tels que

0< K₁ ≤ ^an+xn

5.3. R ´ESOLUTION D’ ´EQUATIONS D’ESPACES DE SUITES 95 Donc K₁−^an bn ^≤ x_n bn ^≤K2− a_n bn ^{pour toutn.} Commea/b∈c0 il existeN ∈_N tel que

a_n bn ^< K₁ 2 ^{pour toutn≥N.} Donc 0< ^K1 2 ^≤ xn b_n ^≤K2− an b_n ^(5.4)

pour tout n≥N. Commex_n/b_n>0 pour tout n, on a infn≤N−1{x_n/b_n}>0 et il existe K3 tel que

K₃≤ ^xn

b_n ^{≤K2 pour toutn≥N.} Donc on montre que l’´equation (5.3) implique sx =sb.

Condition suffisante. On montre que si x v´erifie l’´egalit´e s_x =s_b, l’´equation (5.3) est alors v´erifi´ee. Comme sx = sb on obtient alors trivialement sa+sx = s_a+s_b et la conditiona/b∈c₀ implique que

s_a ⊂s_b

et doncsa+sx =sa+s_b =s_b.

(ii) La conditiona/b, b/a∈`∞ signifie quesa=sb et (5.3) est ´equivalente `a

sb+sx =sb et `a sx⊂sb. D’o`u (ii).

iii) est une cons´equence imm´ediate du fait que a∈s_aet s_a⊂s_a+s_x

et alors

sa+sx=sb impliquea∈sb eta/b∈`∞.

Corollaire 5.12. Soient r, u >0. L’´equation

s_r+s_x=s_u (5.5)

est ´equivalente `a

(

sx =su pour r < u, s_x ⊂s_u pour r=u;

96 CHAPITRE 5. EQUATIONS D’ESPACES DE SUITES

5.3.2 Etude de l’´equation s

+s

∗s

= s

Dons la suite on s’int´eresse `a la r´esolution de l’´equation de suites (EES) s_a+s_b∗s_x=s_d (5.6)

o`u x= (x_n)_n≥1 ∈U⁺ est l’inconnue.

Comme une cons´equence de la Th´eor`eme5.11 on obtient le r´esultat suivant.

Corollaire 5.13. Soit a= (an)_n≥1, b= (bn)_n≥1,d= (dn)_n≥1 ∈U⁺. (i) Si a/d∈c0 alors l’´equation (5.6) est v´erifi´ee si et seulement si

sx=s_d/b.

(ii) Si a/d, d/a∈`∞ alors l’´equation (5.6) est v´erifi´ee si et seulement si

s_x⊂s_d/b.

(iii) Sia/d /∈`∞ alors l’´equation (5.6) ne poss`ede pas de solutions. Preuve. (i) L’´equation (5.6) est ´equivalente `a

sa+s_bx=s_d (5.7)

et en utilisant le Th´eor`eme 5.11 (i) o`u a/d∈c0 (5.7) est ´equivalente `a sbx=sd

et `a sx=s_d/b.

(ii) L’´equation (5.6) est ´equivalente `a (5.7) et comme a/d,d/a∈`∞, d’apr`es le Th´eor`eme5.11(ii) l’´equation (5.7) est alors ´equivalente `as<sub>bx</sub>⊂s<sub>d</sub>etsx ⊂s<sub>d/b</sub>. (iii) S’obtient en en raisonnant comme ci-dessus et en utilisant le Th´eor`eme

5.11 (iii).

Exemple 5.14. Consid´erons l’´equation

s_(n)

n+s_(rnxn)_n =s_(n2)_n (5.8)

avec r >0, o`ux= (xn)_n≥1 est l’inconnue. En appliquant le Corollaire5.13 il est facile de voir que les solutions de (5.8) v´erifient

K₁ⁿ

2

rn ≤x_n≤K₂ⁿ

2

rn pour tout n,

pour K1, K2 > 0. On voit ais´ement que si r > 1 on a xn → 0 (n→ ∞) et si r ≤1 on a xn→ ∞ (n→ ∞).

5.3. R ´ESOLUTION D’ ´EQUATIONS D’ESPACES DE SUITES 97

5.3.3 Sur l’´equation s

∗s

+s

= s

∗s

+s

Dans cette partie on consid`ere l’´equation d’espaces de suites (EES) sc∗sx+ s<sub>a</sub>=s<sub>d</sub>∗s<sub>x</sub>+s<sub>b</sub>aveca/b∈c<sub>0</sub>et on traite le cas o`ud/c∈c₀, le cas o`ud/c,c/d∈`∞ et le cas o`ud/c /∈`∞. Ensuite on consid`ere l’´equation sc∗sx+sa =sd∗sx+sb o`u sc =s_d=`∞, c’est `a diresx+sa=sx+s_b et on traite les cas o`ua/b∈`∞ et a_n/b_n→ ∞(n→ ∞).

Th´eor`eme 5.15. Soient a, b, c, d∈U⁺

(i) Supposons que a/b∈c0 et consid´erons l’´equation

sc∗sx+sa=s_d∗sx+s_b (5.9)

o`ux∈U⁺. Donc on a

(a) Si d/c ∈ c0, l’´equation (5.9) est v´erifi´ee si et seulement s’il existe K1, K2 >0 tels que K₁^bn c_n ^≤xn≤K2 bn c_n ^{pour tout n,} c’est `a dire s_x =s_b/c.

(b) Si d/c, c/d ∈ `∞, l’´equation (5.9) est v´erifi´ee si et seulement s’il existe K >0 tel que

xn≥K^bn

c_n ^{pour tout n,} c’est `a dire sx ⊃s_c/b.

(c) Sid/c /∈`∞,l’´equation (5.9) ne poss`ede pas de solutions dans U⁺. (ii) Supposons que bn< an pour tout n et consid´erons l’´equation

sx+sa =sx+s_b (5.10)

o`ux∈U⁺.

(a) Sia/b∈`∞, l’´equation (5.10) est v´erifi´ee pour tout x∈U⁺.

(b) Sia_n/b_n→ ∞(n→ ∞),l’´equation (5.10) est v´erifi´ee si et seulement s’il existe K >0 tel que

xn≥Kan pour tout n, c’est `a dire sa⊂sx.

Preuve. (i) a) L’´equation (5.9) est ´equivalente `a

sc∗sx+sa=sdx+b. (5.11) Comme a/b∈c₀ implique a/(b+dx) ∈c₀ ets_c∗s_x =s_cx on d´eduit que (5.11) est ´equivalente `a

scx=s_dx+b. (5.12) Donc (5.12) est ´equivalente `a

sdx+b cx =s₁

98 CHAPITRE 5. EQUATIONS D’ESPACES DE SUITES et comme sdx+b cx =sd c +sb cx, on conclut que sd c +sb cx =s1. (5.13) Sid/c∈c0,l’´equation donc (5.13) est ´equivalente `as_b/(cx) =s1 et en utilisant la Proposition5.8 on a

s_x =s_b/c, d’o`u (i) a).

(i) b) Si d/c, c/d ∈ `∞, l’´equation (5.13) est ´equivalente `a s_b/c ⊂ s_x. (i) c) Finalement sid/c /∈`∞,l’´equation (5.9) ne poss`ede pas de solutions.

(ii) (a) vient du fait qu’il existeK >0 tel que 1≤ ^an

bn ^{≤K pour toutn}

ets_a=s_b.

(ii) (b) La condition (5.10) est v´erifi´ee si et seulement sisx+a=s_x+b et sx+a x+b =s_e+a−b x+b =s1+sa−b x+b =s1. Donc sa−b x+b ⊂s₁ et sa−b⊂s_x+b.

Comme a_n/b_n → ∞ (n→ ∞) on a b/(a−b) ∈c₀ et en utilisant le Lemme 5.6

on conclut qu’il existe K =K(x)>0 tel que x_n≥K(a_n−b_n) =Ka_n 1− ^bn a_n pour toutn.

Commeb/a∈c0 on conclut qu’il existe K1>0 tel que xn≥K1an pour toutn. Par contre supposons que xn ≥ K1an pour tout n. Alors sa ⊂ sx et comme b/a∈c₀ on a s_b ⊂s_a,s_b ⊂s_x ets_a+s_x=s_x =s_b+s_x. Donc nous avons montr´e que sa⊂sx implique (5.10).

Comme une cons´equence imm´ediate de la Proposition 5.15 on obtient le co-rollaire suivant.

Corollaire 5.16. Soient r,r₁, u, u₁ et u < u₁, r < r₁. (i) La suite x est une solution de l’´equation

5.4. SUR L’ ´EQUATION S_φ(X) =SB 99

si et seulement s’il existe K1, K2 >0 tels que

K₁ u₁ r1 n ≤x_n≤K₂ u₁ r1 n pour tout n.

(ii) Soient η, ξ > 0 et ξ < η et soit ε ∈ c0 ∩U⁺. Alors x ∈ U⁺ est une solution de l’´equation

`∞+s_(nξ)_n^∗sx =s_ε+s_(nη)_n∗s_x (5.14)

si et seulement s’il existe K₁, K₂ >0 tel que

K1

1

nη ≤xn≤K2

1

nη pour tout n.

Remarque 5.17. Dans le Corollaire 5.16 (i) on voit ais´ement que r₁ > u₁ entraˆıne x_n → 0 (n→ ∞); si r₁ < u₁ on a x_n → ∞ (n→ ∞) et si r⁰ = u₁, la suite x est une suite born´ee avec xn ≥ K > 0 pour tout n. Notons que les solutions de l’´equation (5.14) convergent vers z´ero.

Exemple 5.18. Soient r, u > 0 avec 0 < u < r. On a s_x+s_r =s_x+s_u si et seulement s’il existe K >0 tel que

x_n≥Krⁿ pour tout n. Exemple 5.19. L’´equation sx+s_(n) n =sx+s₍√ n)_n est ´equivalente `a s_(n)

n ⊂sx, ce qui signifie quexn≥Kn pour tout n.

Exemple 5.20. Pour tout r >0 l’´equation

sx+s_(n!)

n =sx+sr est ´equivalente `a s_(n!)

n ⊂s_x, c’est `a dire x_n≥Kn!pour tout n.