CHAPITRE 3 M´ethodes d’interpr´etation des mesures au Doorstopper
3.5 R´eduction par moindres carr´es du syst`eme d’´equations
La d´etermination du tenseur tridimensionnel des contraintes par la m´ethode des moindres carr´es ordinaire explicit´ee dans ce chapitre est adapt´ee `a l’utilisation de la m´ethode de mesure des contraintes au Doorstopper utilisant trois forages. Par cette m´ethode, nous avons `a notre disposition un syst`eme de neuf ´equations que nous r´eduisons au nombre de six par moindres carr´es. Le nombre d’´equations `a notre disposition pour la r´esolution d´epend de la m´ethode d’interpr´etation des mesures utilis´ee. En effet, l’utilisation de la m´ethode RPR pr´esent´ee `a la section 3.6 fournit trois ´equations suppl´ementaires. Il est toutefois possible d’adapter la r´esolution par r´eduction en fonction de la m´ethode en jouant sur la taille de certaines matrices. Ces adaptations seront explicit´es lorsque n´ecessaire.
3.5.1 Utilisation des tenseurs partiels des contraintes
La d´etermination du tenseur complet des contraintes passe avant tout par la mesure des d´eformations en fond de trou de forage. On r´ecup`ere quatre d´eformations de jauge par forage (ε1, ε2, ε3 et ε4), soit douze d´eformations au total sur un ensemble de trois forages. Ces quatre
d´eformations sont ensuite r´eduites par la m´ethode des moindres carr´es2 afin de d´eterminer les
d´eformations en fond de trou pour chaque forage (εx, εy et γxy). Tel que d´ecrit pr´ec´edemment,
la d´etermination du tenseur complet des contraintes peut se faire de deux fa¸cons :
– en d´eterminant le tenseur de d´eformation 3D `a partir des tenseurs partiels de d´eforma- tion, puis le tenseur de contrainte 3D (Gray et Toews, 1967) ;
– en d´eterminant le tenseur de contrainte 3D `a partir des tenseurs partiels de contrainte de pr´eforage.
La m´ethode de Gray et Toews consid`ere que la roche conserve les mˆemes param`etres de d´e- formabilit´e E et ν dans chacun des forages. En utilisant les relations contraintes-d´eformations ainsi que la m´ethode des moindres carr´es, ils parviennent `a former le tenseur des contraintes complet `a partir du tenseur des d´eformations complet.
En utilisant la seconde m´ethode, il est possible de tenir compte des diff´erents mod`eles d’interpr´etation pr´esent´es au chapitre 3. `A la diff´erence de la m´ethode de Gray et Toews, le passage des d´eformations en fond de trou aux contraintes en fond de trou peut se faire en utilisant les param`etres de la roche propres `a chaque forage. En fonction du mod`ele utilis´e, on associe `a chaque forage un triplet de contraintes σxi, σyi et τxyi. Puis grˆace aux relations
propos´ees `a la section 3.2, on forme le tenseur partiel de pr´eforage et on d´etermine le tenseur complet des contraintes par moindres carr´es.
Le cheminement emprunt´e par cette m´ethode depuis la d´etermination des tenseurs partiels de pr´eforages jusqu’`a la d´etermination du tenseur complet des contraintes est pr´esent´e dans la section suivante.
3.5.2 D´etermination du tenseur tridimensionnel des contraintes par la m´ethode des moindres carr´es
La m´ethode des moindres carr´es permet de former le tenseur complet des contraintes `a partir des tenseurs partiels. Cependant, pour combiner l’ensemble des mesures faites dans les trois forages, il est n´ecessaire de les exprimer selon un syst`eme commun. Par commodit´e, nous choisirons le syst`eme d’axes NEV (Nord-Est-Vertical), fr´equemment utilis´e dans le domaine de la m´ecanique des roches et de la g´eologie. Initialement, chacun est exprim´e dans le rep`ere ℜi(x, y, z)i attach´e au forage i, z ´etant confondu `a l’axe du forage. Les cosinus directeurs
suivants permettent de relier les syst`emes ℜi au syst`eme NEV en fonction de l’azimut (ρ)
et de la plong´ee (δ) du forage :
l1i= cos(δi+ 90), m1i= sin(δi+ 90), n1i = 0 (3.30)
l2i= sin(ρi) cos(δi), m2i= sin(ρi) sin(δi), n2i = cos(ρi) (3.31)
l3i= cos(δi) cos(ρi), m3i= sin(δi) cos(ρi), n3i = − sin(ρi) (3.32)
L’indice i fait r´ef´erence au forage n˚i, les angles sont exprim´es en degr´es.
En utilisant les relations des contraintes en un point, il est possible de relier les expressions des composantes de contraintes obtenues dans chaque forage aux composantes du tenseur de contraintes dans le r´ef´erentiel NEV (Gray et Toews, 1967) :
{D} = [J]{b} (3.33)
Avec {D} vecteur des contraintes σxi , σyi et τxyi associ´e au rep`ere i, [J] matrice des cosinus
directeurs des trois forages et {b} vecteur des contraintes dans le rep`ere NEV . Sous forme explicite :
{D} =T
σx1 σy1 τxy1 σx2 σy2 τxy2 σx3 σy3 τxy3 (3.34) [J] = l2 11 m211 n211 2m11n11 2l11n11 2l11m11 l2 21 m221 n221 2m21n21 2l21n21 2l21m21 l11l21 m11m21 n11n21 (m11n21+ n11m21) (l11n21+ n11l21) (l11m21+ m11l21) l2 12 m212 n212 2m12n12 2l12n12 2l12m12 l2 22 m222 n222 2m22n22 2l22n22 2l22m22 l12l21 m12m22 n12n22 (m12n22+ n12m22) (l12n22+ n12l22) (l12m22+ m12l22) l2 13 m213 n213 2m13n13 2l13n13 2l13m13 l2 23 m223 n223 2m23n23 2l23n23 2l23m23 l13l23 m13m23 n13n23 (m13n23+ n13m23) (l13n23+ n13l23) (l13m23+ m13l23) (3.35) {b} =T σN σE σV τNE τNV τEV (3.36)
La m´ethode des moindres carr´es permet de minimiser les ´ecarts entre les valeurs empiriques et les valeurs obtenues par la r´egression. Soit Di la valeur des contraintes mesur´ees entach´ee
d’erreurs et di la valeur de contrainte que l’on obtiendrait sans erreurs, i d´esignant le num´ero
du forage. On d´efinit alors l’erreur exp´erimentale ei comme suit :
ei = Di− di (3.37)
ou encore :
Di = di+ ei (3.38)
On forme ensuite la somme des carr´es des erreurs, Q :
9
X
i=1
(ei)2 = Q (3.39)
L’´equation 3.39 peut donc s’´ecrire comme suit :
Q = 9 X i=1 (Di− 6 X j=1 Jijbj)2 (3.40)
O`u les termes Jij sont les coefficients de la matrice des cosinus directeurs [J] et les termes bj
sont ceux de la matrice {b}. Pour minimiser Q, on impose les conditions suivantes `a l’´equation 3.40 :
∂Q ∂bj
= 0 pour j : 1..6 (3.41)
Les valeurs de contraintes bj permettant de minimiser Q sont les solutions du syst`eme
d’´equation suivant : 6 X j=1 Fijbj = ck pour k : 1..6 (3.42) o`u ck = 9 X i=1 DiJjk (3.43) Fkj = 9 X i=1 JijJik (3.44)
coefficients Fkj et ck (avec j, k : 1..6), on obtient le syst`eme ´equivalent suivant :
[F ]6,6{b}6,1 = {c}6,1 (3.45)
o`u {c}6,1 =T[J]6,9{D}9,1 (3.46)
[F ]6,6=T[J]6,9[J]9,6 (3.47)
Les dimensions des matrices et des vecteurs sont sp´ecifi´ees `a titre indicatif dans les ´equations 3.45, 3.46 et 3.47. Ces dimensions sont valables uniquement dans le cas de l’utilisation du mod`ele d’interpr´etation des mesures au Doorstopper convergent et divergent faisant intervenir trois forages. Il est `a noter que l’utilisation de l’´ecriture matricielle est plus commode pour la programmation de la m´ethode des moindres carr´es sur ordinateur.
3.5.3 Indicateurs de qualit´e de la r´egression et des r´esultats
L’estimation de la qualit´e des r´esultats issus de la r´egression par la m´ethode des moindres carr´es revˆet presque autant d’importance que le r´esultat lui-mˆeme. Dans le but de quantifier la qualit´e de l’ajustement des tenseurs locaux `a un tenseur 3D unique, on d´efinit la variance V associ´ee `a la r´egression telle que :
V = Q
′
M − 6 (3.48)
O`u Q′ est le minimum de Q obtenu `a partir de l’´equation 3.40 et M est le nombre d’´equation
`a r´eduire, dans le cas pr´ec´edent M = 9.
La variance sur la r´egression peut ˆetre vue comme une mesure indirecte de la dispersion entre les trois ´etats de contraintes mesur´es dans chaque trou de forage. D’apr`es Gray et Toews (1967), V est une bonne estimation de la variance sur la r´egression si les erreurs sur les mesures sont des erreurs al´eatoires uniquement dues `a l’exp´erience. Si tel est le cas, l’erreur engendr´ee par la r´eduction est bien estim´ee par l’erreur standard sur la r´egression s d´efinie par l’´equation suivante :
s=√V (3.49)
L’erreur standard sur la r´egression est d´efinie dans les mˆemes unit´es que les variables d’entr´ees, dans notre cas en MPa.
Gray et Toews (1967) d´efinissent ´egalement l’erreur type sur les composantes de contraintes, calcul´ees `a partir de la r´egression par la m´ethode des moindres carr´ees. L’erreur type ´etant suppos´ee al´eatoire, les composantes de contraintes obtenues devraient suivre une distribution
normale. Cette erreur type peut ˆetre vue comme un ´ecart type et est obtenue en multipliant la racine carr´ee de la variance calcul´ee `a l’´equation 3.48 par la racine carr´ee des coefficients diagonaux de l’inverse de la matrice [F ] (voir ´equation 3.44). Pour une distribution normale des erreurs, les composantes de contraintes obtenues ont 68% de probabilit´e de se trouver `a plus ou moins une erreur type des vraies valeurs de contrainte. En g´en´eral on ne connaˆıt pas ces vraies valeurs, on peut donc seulement supposer que la valeur vraie de contrainte in situ a 68% de probabilit´e de se trouver `a une erreur type de la contrainte calcul´ee par la r´egression. L’estimation de l’erreur type pour une composante de contrainte ii peut ˆetre calcul´ee par l’´equation suivante : sb i = √ V q F−1 ii (3.50) ⇔ sσii = s q F−1 ii (3.51) Avec sbi i
eme composante de contrainte du tenseur de contrainte {b} obtenue par moindres
carr´es et F−1
ii coefficient ii de la matrice [F ]−1.