2.4 Modélisation globale du système d'étalonnage
2.4.2 Résultats théoriques
c02 1−1 fhr 1− fvr j 0y r r
1− fvr
, (2.90)où les fonctions fh r et fvr sont respectivement données par les équations (2.24) et (2.16.b) avec
w=r et où l'admittance y
r est de signe opposé à l'admittance y
e (Eqs. (2.43) et (2.44)).
v. Champ de déplacement de la membrane du microphone récepteur
Pour le microphone récepteur, le champ de déplacement de la membrane répond au problème
(2.56) où les variations de la force électrostatique par unité de surface sont négligées ps=0 puisque
le microphone récepteur est connecté à une impédance électrique infinie. Le champ de déplacement de la membrane s'écrit : rw=B0r
1−J0kwrw J0kwrar
∑
=0 ∞ r rw, (2.91)où les fonctions propres orthonormées r w s'écrivent
r w= 1
arJ1jJ0
jwar
. (2.92)A l'instar du paragraphe précédent, compte tenu de ce que le champ de déplacement rw est
compté positif suivant l'axe z (figure 2.7), le signe du second membre de l'équation (2.56) est
changé. Cela conduit aux expressions des coefficients B0 r et r suivantes :
{
B0r=−p ar,l −plrar Tmrkwr2 , r =−〈
pw0,l −p ar,l ∣
r w0〉
r−〈
plrw0−plrar∣
r w0〉
r Tmrkwr2 −j/ar2 , (2.93.a) (2.93.b)Tmr désignant la tension de la membrane du récepteur et
kwr2 =2 s
Tmr . (2.94)
2.4.2 Résultats théoriques
Le problème est caractérisé par les champs de pression ple et plr dans les lames de fluides des
microphones émetteur et récepteur (Eqs. (2.80) et (2.87) et par les champs de déplacement de leur
membrane e et r (Eqs. (2.83) et (2.91)) couplés entre eux par le champ de pression dans la
cavité cylindrique (Eq. (2.73)). Ainsi, les coefficients inconnus du problème forment six ensembles : ple , plr , B0 e, e , B0r et r définis respectivement par les équations (2.82), (2.89), (2.85.a et b) et (2.93.a et b) couplés aux champ de pression dans la cavité de couplage (Eqs. (2.73), (2.74),(2.75) et (2.76.a et b)). Compte tenu du nombre important d'équations couplées, la résolution du problème est effectuée en écrivant ces équations sous forme matricielle ; le détail de ces calculs est reporté en Annexe D pour ne pas alourdir ici le propos.
2.4. Modélisation globale du système d'étalonnage 44
Figure 2.8. Module du rapport k des deux premiers coefficients ( p1l/p0l, trait plein) et ( p2l/p0l, trait discontinu) du développement modal (Eq. (2.75)) du champ de pression en z=l à l'avant de la membrane du
microphone récepteur, obtenu pour une cavité de couplage courante (a=4,7 mm ; l =4,7 mm ).
La figure 2.8 présente le module du rapport des deux premiers coefficients ( p1l /p0l , trait plein) du développement modal (Eq. (2.73)) du champ de pression en z=l à l'avant de la
membrane du microphone récepteur, obtenu pour une cavité de couplage courante (a=4,7 mm,
l =4,7 mm) et en considérant les microphones émetteur et récepteur identiques (cf. tableau 2.1).
Sur cette même figure la courbe en trait discontinu montre que le terme suivant ( p2l /p0l ) du
développement (2.73) apporte une contribution négligeable y compris en hautes fréquences (par rapport à celle du premier mode).
Figure 2.9. Différence entre les efficacités obtenues avec le champ de pression incident défini par le développement modal (2.73) où le rapport p1l/p0l est donné sur la figure 2.8 et celle obtenue pour un champ de pression uniforme ; en considérant : la définition (2.67) (sans pondération, trait discontinu) et la définition (2.68) (avec pondération v w, Eq. (2.69), trait plein)
La figure 2.9 présente la différence entre les efficacités obtenues avec le champ de pression à l'avant de la membrane ainsi défini (non uniforme) et celle obtenue pour un champ de pression uniforme ; en considérant : la définition (2.67) (sans pondération, trait discontinu) et la définition (2.68) (avec pondération vw, Eq. (2.69), trait plein). Ainsi, l'efficacité obtenue en considérant le
facteur de pondération v w converge davantage vers l'efficacité obtenue avec une pression à
l'avant de la membrane uniforme. Ce facteur de pondération semble corriger les effets de la non-uniformité du champ de pression dans la cavité de couplage sur la mesure de l'efficacité du microphone. Néanmoins, ce résultat doit être nuancé du fait que le modèle du microphone
développé ici n'est pas satisfaisant en haute fréquences (cf. paragraphe 2.3). Les méthodes numériques envisagées à l'avenir permettront peut être d'apporter un éclairage sur ce point.
2.5 Conclusion
L'étude présentée dans ce chapitre porte sur l'étalonnage des microphones en cavité, plus particulièrement sur les effets de la non-uniformité du champ de pression à l'avant de la membrane du microphone sur les résultats de l'étalonnage. Dans le cadre de l'étalonnage en pression par la méthode de la réciprocité, compte tenu de la non-uniformité du champ de déplacement de la membrane du microphone émetteur et des différences de diamètres (faibles) entre la cavité de couplage et la partie mobile de la membrane des deux microphones, l'influence des modes radiaux sur les résultats d'étalonnages est non négligeable. Dans la référence [15], K. Rasmussen propose de corriger les effets de cette non-uniformité à l'aide d'un facteur de pondération appliqué au champ de pression à l'avant de la membrane du microphone récepteur, cette pondération conduisant alors à une meilleur reproductibilité des résultats de l'étalonnage.
Les résultats reportés ici sont obtenus pour des microphones électrostatiques ½''. Les résultats obtenus pour l'efficacité, issus d'une modélisation approchée du microphone, sont conformes aux résultats attendus en basses fréquences, mais par contre s'en écartent aux fréquences supérieures à 10 kHz. Par ailleurs, le bien fondé du facteur de pondération retenu par K. Rasmussen, pour corriger les effets liés à la non-uniformité du champ de pression à l'avant de la membrane du microphone dans l'expression de son efficacité, a été vérifié d'abord en considérant des champs de pression très particuliers, puis en reprenant la modélisation globale du système d'étalonnage constitué de deux microphones et une cavité de couplage. Cette dernière modélisation montre l'intérêt d'exprimer de façon réaliste le champ de pression à l'avant de la membrane en fonction de la fréquence.
Compte tenu des imperfections du modèle du microphone et du poids des modes supérieurs dans la cavité de couplage, des modèles beaucoup plus précis, voire des méthodes numériques, auront a être mis en œuvre sur la base de travaux récents [24,25].
Chapitre 3
Etalonnage en champ libre des microphones par la
méthode de la réciprocité
3.1 Introduction
Les mesures acoustiques effectuées à l'aide de sonomètres ou autres dispositifs microphoniques nécessitent des microphones de travail étalonnés de manière précise. Habituellement, ces microphones sont étalonnés par comparaison avec des microphones de référence nommés microphones étalons de laboratoire. Ces microphones étalons doivent à leur tour être étalonnés à l'aide d'une méthode primaire aussi précise que possible.
Les microphones étalons de laboratoire sont étalonnés à l'heure actuelle par la méthode de la réciprocité, que ce soit pour un usage du microphone en pression (norme CEI 61084-2 [8]) ou en champ libre (norme CEI 61094-3 [26]). Cette méthode nécessite l'usage de trois microphones couplés deux à deux par un milieu de couplage, soit une cavité acoustique de forme cylindrique pour l'étalonnage en pression, soit un milieu infini pour l'étalonnage en champ libre. Récemment, la méthode d'étalonnage en pression par la méthode de la réciprocité à fait l'objet de travaux de modélisation analytique précis de la cavité de couplage [14,9,10]. Ces travaux ont permis une amélioration significative de cette technique d'étalonnage conduisant à une incertitude sur les efficacités des microphones de l'ordre de 0,05 dB en module, ce qui en fait la méthode d'étalonnage la plus précise à l'heure actuelle. Néanmoins, dans la majorité des cas, les microphones de travail sont utilisés dans des conditions de champ libre ce qui nécessite en tout état de cause une méthode permettant l'étalonnage des microphones étalons dans les mêmes conditions d'environnement.
L'étalonnage en champ libre des microphones par la méthode de la réciprocité a vocation à répondre à cette exigence. Il repose sur les mêmes bases que l'étalonnage en pression mais reste néanmoins plus délicat à mettre en œuvre en raison des faibles signaux reçus. Les premiers travaux traitant du principe de réciprocité pour des systèmes électroacoustiques ont étés publiés dans les années 20 par W. Schottky [27]. Plus tard, dans les années 40, en se basant sur les travaux de W. Schottky, W. R. MacLean [28] propose une procédure permettant l'étalonnage en champ libre des microphones à l'aide de trois transducteurs. Dans ces mêmes années, d'autres auteurs [29,30] ont présenté le théorème du principe de réciprocité pour un système électroacoustique ainsi que quelques notions théoriques tels que les centres acoustiques des microphones [29,31]. Il s'en est suivi la publication des premiers résultats expérimentaux par I. Rudnick et M. N. Stein [32]. Dans les années 80, plusieurs laboratoires de métrologie ont travaillé à la mise en place de bancs d'étalonnages en champ libre de microphones par la méthode de la réciprocité. Ces travaux ont abouti à une première comparaison clé [33] (comparaison appartenant à un ensemble de
3.1. Introduction 50
comparaisons sélectionnées par un Comité consultatif afin de vérifier les principales techniques et méthodes du domaine) pour des microphones étalons de types LS1P et LS2P, soit respectivement 1'' et ½''. Les disparités importantes des résultats d'étalonnage constatées entre certains laboratoires ont alors mis en évidence la nécessité d'un filtrage des signaux électriques mis en jeu [34,35].
Une deuxième comparaison clé (CCAUV.A-K4 [36]) concernant l'étalonnage en champ libre des microphones LS2P (½'') par la méthode de la réciprocité est actuellement en cours. Dans le cadre de cette comparaison clé, le LNE a cherché à améliorer le dispositif de mesure ainsi que la chaîne de traitement liée à cette technique d'étalonnage en champ libre. L'objet de ce chapitre est de présenter les bases théoriques sur lesquelles repose cette méthode d'étalonnage, de présenter le dispositif expérimental mis en œuvre au LNE, de répertorier les difficultés qui sont apparues, et enfin de présenter les solutions utilisées pour contourner ces difficultés, et les améliorations apportées.