6. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
6.9 RÉSULTATS NUMÉRIQUES PRÉLIMINAIRES
= avec ) ( ) ( ) ( 0 ε ε ε ( 6-94)
A l’instant t, au terme de l’évaluation de la déformation totale au nœud i, il y a actualisation de la limite élastique dont la valeur à l’instant t + ∆t est égale à la contrainte équivalente évaluée à l’instant t :
t eq t
t =σ
σ0 +∆ ( 6-95)
Ce mécanisme traduit l’écrouissage isotrope qui correspond à l’expansion du domaine élastique.
6.9 RÉSULTATS NUMÉRIQUES PRÉLIMINAIRES
6.9.1Stabilité numérique des codes de calcul
La stabilité d’un schéma numérique explicite est conditionnelle : elle dépend de la taille du pas de temps ∆t. Pour que le schéma numérique soit stable, il ne faut pas que l’information puisse se propager dans le modèle numérique plus vite que dans la réalité. Si l’on note ce la vitesse de propagation de l’information dans le domaine réel et δx le domaine d’influence spatial de la solution numérique alors l’inégalité suivante doit être vérifiée :
e
c x t≤δ
δ ( 6-96)
Cette inégalité constitue la condition de stabilité introduite par Courant, Friedrich et Levy (Abbott et al. (1989)).
La condition de stabilité ne peut être définie que dans le domaine linéaire. Elle est bien connue dans certains cas simples d’étude de propagation d’ondes. Euvrard (1988) présente la condition de stabilité pour l’étude d’une corde vibrante. Leech (1965) présente la condition de stabilité dans le cas d’une plaque étudiée selon les hypothèses classique de flexion et Tsui et
al. (1971) proposent la condition de stabilité pour une plaque étudiée selon les hypothèses de
Le couplage de la plaque avec le fluide complique l’étude de la stabilité du schéma numérique et celle-ci n’a pas été menée dans son ensemble dans le contexte de cette recherche. Pour le problème linéaire de la bande couplée, il est possible d’établir une condition de stabilité pour chaque domaine pris séparément. Dans ce cas, on se limite à utiliser la condition de stabilité la plus contraignante entre celle applicable à la bande et celle applicable au liquide (Renard et al. (2003)).
D’une façon générale, dans un schéma explicite, si la condition de stabilité n’est pas respectée alors les calculs divergent immédiatement et il n’est pas possible d’avoir un résultat. Par conséquent, dans cette étude, pour tous les schémas numériques utilisés autre que le modèle linéaire de la bande (ie. les modèles non linéaires et le problème linéaire de la plaque), la condition CFL est obtenue à partir du pas d’espace ∆χ et d’un coefficient K, généralement élevé et choisi arbitrairement pour que le calcul ne diverge pas :
K t≤∆χ
∆ ( 6-97)
L’intérêt d’optimiser le nombre K est de réduire le temps de calcul. En pratique, le pas de temps est faible et compris entre 10-7 s et 10-8 s.
La valeur de K influence peu le résultat numérique. Pour illustrer ce propos, il est possible de comparer les résultats obtenus pour différentes valeurs de K en étudiant la réponse non linéaire de la bande à un échelon de pression.
La répartition des déformations de flexion sur la plaque, calculée à l’instant t = 300 µs pour les trois valeurs de K est représentée sur la figure 6–2. Il n’y a aucune différence observable entre les trois courbes.
Fig. 6-2 : Répartition spatiale des déformations εxx pour différents pas de temps ∆t
Fig. 6-3 : Schéma du problème de la bande soumise à une charge ponctuelle mobile
6.9.2Validation du code calcul
Tout code de calcul doit être validé par comparaison avec des solutions de référence. Pour cette étude, il est possible de comparer la réponse linéaire d’une bande soumise à une
force ponctuelle mobile, d’intensité et de vitesse v constante (Fig. 6–3) calculée numériquement avec la solution stationnaire établie au chapitre précédent.
On étudie la réponse d’une bande d’aluminium en contact avec de l’eau. La plaque a une épaisseur de 1 mm. Le chargement est caractérisé par son intensité p0, fixée à 105 Pa, et sa vitesse de déplacement v, égale à 1083 m/s. Cette vitesse correspond à une vitesse non dimensionnelle V égale à 0.2. On rappelle que les paramètres non dimensionnels du système couplé sont : δ = 0.28, θ = 0.55, µ = 0.11. Ce cas correspond au problème subsonique étudié au chapitre précédent pour lequel on a déterminé analytiquement les solutions stationnaires.
Fig. 6-4 : Evolution spatio-temporelle des déformations εxx calculées pour une charge ponctuelle p0 = 105 Pa se déplaçant à une vitesse de 1083 m/s
L’évolution spatio-temporelle des déformations de flexion εxx (Fig. 6–4) montre que la réponse vibratoire s’organise dans le temps et dans l’espace. Des ondes, présentes devant le front de chargement (indiqué, sur la figure, par une ligne en pointillés) se développent et se propagent sur la plaque. Une partie de ces ondes ont une amplitude et une longueur d’onde constantes, indépendantes du temps et de l’espace. La réponse évolue progressivement vers une réponse stationnaire.
Les ondes stationnaires correspondent à des solutions où le temps n’apparaît plus explicitement et sont calculées pour un système couplé de dimension infinie. Obtenir numériquement de telles solutions est impossible. La construction de la solution numérique nécessite un domaine spatial et un temps d’étude de taille finie. Les réponses numériques ne peuvent donc que tendre vers des réponses stationnaires. Cependant, la proximité de la solution numérique avec la solution stationnaire est d’autant meilleure que le temps d’étude et le domaine spatial sont importants.
Dans le cas présent, en « isolant le profil » de la réponse calculée au temps t = 140 µs (Fig. 6–4), il est possible de le comparer à la solution stationnaire.
Fig. 6-5 : Comparaison de la solution stationnaire avec la solution numérique pour le calcul de
εxx obtenues pour une charge ponctuelle p0 = 105 Pa se déplaçant à une vitesse de 1083 m/s
Après avoir effectué le changement de variable y = x – vt, la comparaison entre la solution numérique et la solution analytique, présentée sur la figure 6–5, est satisfaisante. La bonne concordance des résultats permet de conclure à la convergence de la solution numérique vers la solution analytique. Cette convergence a été observée pour n’importe quelle valeur de la vitesse, et, pour peu que l’on choisisse des découpages suffisamment fins, est excellente.