Résultats

D’un point de vue numérique, on peut vérifier que ce modèle donne de bons résultats et qu’en revanche les modèles ne vérifiant pas les propriétés de consistance(P₁) et (P₂) énoncées dans ce chapitre ne sont pas satisfaisants.

(1 ; 0.8 ; 1.4) (1 ; 1 ; 1) (1 ; 0.6 ; 0.6)

FIG. II.4 – Angles de contact pour la bulle piégée avec les tensions de surface (σ12, σ13, σ23)

Par exemple, dans le cas d’une lentille coincée entre deux autres phases, il est possible de calculer analytiquement les angles de contact entre les phases et la distance qui sépare les points triples à l’équilibre en fonction des trois tensions de surface. Nous obtenons une très bonne coïncidence avec ces valeurs comme on le voit sur la figure II.4 où la zone blanche représente la zone interfaciale (définie conventionnellement comme celle où(1 − c1)(1 − c2)(1 − c3) ≥ 3

16) et le trait plein la solution analytique. Dans la figure II.5, on observe la différence entre les résultats obtenus avec notre modèle

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.5 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.5 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.5 1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.5 1 0.06 0.06 c1 c2 c3

Cas non-consistant,F = eF0 Cas consistant,F = F0

FIG. II.5 – Comparaison entre les modèles consistants et non-consitants

algébriquement consistant et le modèle couramment rencontré dans la littérature où l’on prend seulement l’énergie eF0 définie par (II.16). La figure montre les valeurs des trois paramètres d’ordre le long de la ligne de coupe montrée dans la figure II.4. Comme on le peut le constater dans le cas non consistant, lors de la traversée de l’interface entre les phasesi

etj, il y a apparition non physique de la troisième phase k de façon tout à fait significative et persistante au raffinement.

Ce comportement est bien entendu qualitativement mauvais et induit des problèmes importants lors du couplage avec les équations de Navier-Stokes via les forces capillaires. Si on utilise l’énergieF0à la place de eF0, ce comportement disparaît et on obtient bien le résultat attendu.

Dans la figure II.6, on montre les résultats obtenus dans les cas d’étalement, c’est-à-dire si l’un des coefficientsΣiest négatif. Comme on l’a vu plus haut, il est nécessaire dans ce cas d’utiliser l’énergieFΛavec unΛ assez grand (Λ = 21

dans les cas présentés) afin de stabiliser le point triple et d’obtenir les résultats auxquels on s’attend. Dans ce cas test, il est bon de noter que les modèles usuels ainsi que le modèle consistantF0 ne permet pas de passer le calcul et celui-ci explose au bout de quelques itérations, car l’énergieF n’est alors pas minorée ce qui rend le modèle très instable.

Par ailleurs, nous avons couplé ce modèle avec les équations de Navier-Stokes, dans l’esprit de [4], avec un terme de forces capillaires de la formeP3

i=1µi∇ϕipour simuler des situations avec écoulement. Nous pouvons ainsi simuler de façon satisfaisante la traversée d’un flux de bulles gazeuses à travers une interface entre deux phases liquides (figure II.8). De plus, comme nous l’avons établi de façon théorique, notre modèle est capable de prendre en compte les situations d’étalement total. Cette situation est exactement celle que l’on rencontre dans le cadre industriel qui a motivé ce travail pour lesquels les deux liquides en présence sont les phases oxydes (liquide léger) et métalliques (liquide lourd) du corium (le produit de la fonte du coeur de réacteur suite à une éventuelle rupture de cuve dans un réacteur à eau pressurisée).

26 Chapitre II. Modèles de Cahn-Hilliard à trois constituants non-miscibles

(3 ; 1 ; 1) (1 ; 1 ; 3)

FIG. II.6 – Evolution de la lentille dans deux cas d’étalement différents

Dans ce cas précis, les modèles de la littérature ne sont pas opérants et notre contribution a permis d’accéder à des simulations numériques dans ce contexte. Nous avons également étudié le couplage avec la thermique dans le modèle afin de quantifier les échanges de chaleur entre les phases et notamment l’influence de la déformation de l’interface métal/oxyde due au passage des bulles dans ces échanges (voir le dernier chapitre de [Lap06])

Pour valider nos résultats nous avons, par exemple, étudié la question de savoir si une bulle de gaz traversait ou pas une interface entre deux liquides en configuration stratifiée. Un critère empirique a été établi dans [GCC88] qui fournit la valeur d’un rayon de bulle critique en fonction des différents paramètres du problèmes (tensions de surface, densités, etc ...) et nous avons pu vérifier une bonne concordance de nos résultats avec celui-ci (voir la Figure II.7). On vérifie également dans la Figure II.8 que ce type de modèles permet en effet de prendre en compte les changements de topologies dans le système - ici la coalescence de deux bulles disposées de façon asymétrique à l’instant initial.

5 Limitations du modèle. Perspectives

Décrivons ici quelques limitations qui semblent intrinsèques au modèle et/ou au point de vue adopté :

– La prise en compte de tensions de surface non constantes n’est absolument pas triviale dans cette approche. Cette situation peut apparaître dès lors qu’on s’intéresse à des systèmes non isothermes avec de forts gradients de température qui peuvent influer sur les tensions de surface ou encore si l’on souhaite modéliser les impuretés dans un mélange.

D’un certain point de vue cette difficulté est naturelle car à partir du moment où les tensions de surface peuvent varier, on ne peut pas vraiment dire que seulement trois types d’interfaces sont présentes dans le mélange, on n’est donc pas tout à fait dans la situation “trois fois diphasique” qui a fait l’objet spécifique de notre étude.

– Le développement de modèles consistants selon la définition ci-dessus ne semble pas pouvoir être étendu de façon immédiate à des mélanges deN ≥ 4 constituants non miscibles. Une façon intuitive de comprendre ce problème

est qu’un mélange de 4 phases par exemple est décrit par la donnée de6 tensions de surface (il y a 6 possibilités

d’interface dans le mélange), alors que l’on a a priori seulement4 coefficients de capillarité Σ1, . . . , Σ4comme degrés de liberté dans le modèle. On peut bien entendu envisager de rajouter des termes croisés du type∇ci· ∇cj dans la définition de l’énergie mais on peut se convaincre assez rapidement que cela ne change rien à ce problème. S’agit-il d’un défaut intrinsèque des modèles à interface diffuse ou bien peut-on construire des formes différentes de l’énergie multi-constituant pour lesquelles les propriétés de consistance sont valables ? Cette question est au-jourd’hui un problème ouvert qui constitue une perspective intéressante dans la suite de ce travail.

5. Limitations du modèle. Perspectives 27

Ce point est peut-être moins dommageable dans un premier temps puisque l’objectif de cette approche est in fine de pouvoir utiliser des épaisseurs d’interface non physiques mais bien adaptées à la simulation numérique sans modifier de façon significative les autres propriétés physiques dans le système.

Une des perspectives importantes ouverte suite à ce travail est l’étude plus précise du couplage entre le modèle de Cahn-Hilliard triphasique et les équations de Navier-Stokes, notamment du point de vue numérique. De nombreuses difficultés sont apparues au cours de la thèse de C. Lapuerta, en particulier dans les cas d’étalement total, qu’il serait intéressant d’étudier de façon plus systématique et plus précise.

r = 0.002 < rcritique

r = 0.0029 > rcritique

FIG. II.7 – Ascension d’une bulle dans un bain stratifié respectivement en-dessous et en-dessus du rayon critique

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