x h′(x)
h(x)
−∞ 0 +∞
− 0 +
+∞
+∞
0 0
+∞
+∞
2.e.Réponse donnée.2.f.La courbeC{se trouve au dessus de la courbeC}.3.a.ex−2e x 2+1 3.b.La courbeC{se trouve au dessus de la courbeC}.4.e−4p
e+4. .
Résultats et indices - Asie 2014
Ex.1.Q.1 : c. - Q.2 : c. - Q.3 : d. - Q.4 : a.
Ex.2. P.A. - 1.a.La variable aléatoireZ suit une loi normale centrée réduite.1.bOn a par défini-tionP(X⩽µ)=0, 5.2.≈0, 95.P.B. 1.a.0, 0091.b.Réponse donnée2.a.0, 005.2.b.≈0, 007.P.C.
1.Un intervalle de fluctuation asymptotique (au seuil de 95 %) est :I1 000= [
0, 01−1, 96×
p0, 01×0, 99
p1000 ; 0, 01+1, 96×
p0, 01×0, 99 p1000
]
=≈ [0, 003 ; 0, 017]2.La fréquence étant égale à 14
1 000=0, 014 qui appartient à l’intervalle de fluc-tuatio que l’on vient de trouver, on peut dire que le gène n’a pas d’influence sur la maladie.
Ex.3 1.f′(x)=(2x−1)e2x−1.2.Réponse donnée.3.Réponse donnée.4.a.Sur [0 ;x0] ,f′(x)⩽0 : la fonction est décroissante ; sur [x0;+∞] ,f′(x)⩾0 : la fonction est croissante ; f(0)= −2 et f est décroissante sur [0 ;x0], donc sur cet intervalle f(x)<0. 4.b. f(2)=e4−3>0. 5.
L=ea a −e−a
a ≈e1,2−e−1,2
1, 2 ≈2, 516.
Ex.4. NON Spé 1.Insemble croissante et semble tendre vers 1.2.l n(2)3.a.Réponse donnée.
3.b.Réponse donnée.4.Réponse donnée.5. n
n+1 6.1.7.a.k =0 :x=0,I =0, 2,k=1 :x= 0, 2,I =0, 392,k=2 :x=0, 4I =0, 565,k=3 :x=0, 6,I =0, 712,k =4 :x=0, 8,I =0, 8347.b.
Réponse donnée.
Ex.4 Spé -P.A.1.Réponse donnée.2.Réponse donnée.P.B.1.a.k =2,Mk =3, k =3,Mk =7, k=4,Mk=15,k=5,Mk=31,k=6,Mk=63,k=7,Mk=127,k=8,Mk=255,k=9,Mk=511, k=10,Mk=10231.b.Il semble que oui.2.a.Réponse donnée.2.b.Réponse donnée.2.c. Ré-ponse donnée.3.a.Réponse donnée.3.b.Elle est fausse.
Résultats et indices - Métropole 2014
Ex.1 - P.A. - 1.Réponse donnée.2.
x −∞ 0 +∞
f1′(x) − 0 +
f1 +∞
1
+∞
P.B.1.a. 1.b.On peut émettre la conjecture que la suite converge vers 1
2 en décroissant.2. Ré-ponse donnée.3. lim
n→+∞1−e−n=1 et lim
n→+∞In=1 2. Ex.2 - P.A. - 1.a.
bc
M 0,001
0, 99 T
0,01 T
M
0,999 0, 001 T
0,999 T 1.b.Réponse donnée.1.c.≈0, 498.2.
bc
M x
0, 99 T
0,01 T
M
1−x 0, 001 T
0,999 T
Le test sera donc commercialisable à condition que la proportionxsoit supérieure à0, 00095 0, 05045 = 19
1009 ≈0, 01883, c’est à dire quand le pourcentage de la population atteint par la maladie est supérieur à environ 1,88%.P.B. 1.a.≈0, 92 à 10−2 près.1.b. h =18 2.[0, 9594 ; 0, 9806]. On en déduit que les réglages faits par le laboratoire ont une forte probabilité d’être à revoir. La probabilité qu’ils soient corrects bien que l’échantillon donne une proportion de comprimés conformes en dehors de l’intervalle de fluctuation n’est que de 0, 05.
Ex.3 - 1.L’équation admet donc deux solutions, qui sous leurs formes exponentielles sont : Z1=4 e−2 iπ3 et Z2 =4 e2 iπ3 .2.a =2 eiπ3 =2×
(1 2+i
p3 2
)
=1+ip
3 et−a= −1+i×(
−p 3)
.3.
Réponse donnée.4. Nous avons 4 solutions à l’équation, qui sont distinctes : a =1+ip 3 ;
−a= −1−ip
3 ;a=1−ip
3 et−a= −1+ip
3, donc puisqu’il y a au maximum 4 solutions à l’équation, celle ce ne peut avoir d’autre solution que celles trouvées, et donc l’équation (E) a été résolue.
Ex.4 NON Spé - 1.a.
D
A G
E C
B
F
F (1
2; 1 2; 0
)
1.b.la représentation paramétrique de la droite (DF) est donnée par :
x = 1
2t
y = 1
2t z = 1−t
t∈R.
1.c.x+y−2z=0.1.d.H (1
3 ; 1 3 ; 1
3 )
1.e.Réponse donnée.2.a.Réponse donnée.2.b.Réponse donnée.2.c.Réponse donnée.2.d.α≈1, 7722 soit un angle d’environ 101,5°.
Ex.4 Spé - 1.a1=200+200=400. etb2=a1+100=400+100=500.2.a.Réponse donnée.2.b.
2.c.Réponse donnée.3.a.Réponse donnée.3.b.Réponse donnée.4.a. 4.b.
L’algorithme suivant demande un entierpà l’utilisateur, et renvoie dans la variableaqui sera affichée le nombre de poissons dans le bassin A au bout depannées. En effet :
• sip est un nombre pair, alors on affecte àn la valeur p
2, qui sera donc entière et on a p=2n. On affecte àala valeur qui est le résultat de la formule poura2n, c’est à direap, formule établie à la question précédente. Donc si p est pair, à la fin de l’algorithme,a contient le nombre de poissons au bout depannées.
• sipest un nombre impair, alorsp−1 est pair etnest l’entierp−1
2 et donc 2n=p−1, soit p=2n+1. Et comme on affecte àala valeur obtenue en appliquant la formule obtenue à la question précédente pour calculera2n+1, à nouveau, la valeur renvoyée seraap. On peut modifier de façon assez basique l’algorithme présenté précédemment pour l’inclure dans une boucle :
Variables : a,petnsont des entiers naturels.
Initialisation : Affecter àala valeur 200 Affecter àpla valeur 0.
Traitement : Tant quea⩽10 000 :
Affecter àpla valeurp+1 Sipest pair
Affecter ànla valeurp 2
Affecter àala valeur 600×2n−400.
Sinon
Affecter ànla valeurp−1 2
Affecter àala valeur 800×2n−400.
Fin de Si.
Fin de Tant que
Affecter àpla valeurp−1 Sortie : Afficherp.
Cet algorithme initialise les variablesaàa0etpà 0.
Après chaque itération de la boucle « Tant que »,p aura été incrémenté de 1, et la variablea aura été recalculée de sorte qu’elle contient la valeurap, donc aprèsnitérations,pcontient la valeurnetacontientan.
On sort de la boucle « Tant que » dès que la valeur dansa est strictement supérieur à 10 000, c’est à dire le nombre de poissons pour la première année où le bassin A ne suffira plus, nombre d’années qui est contenu dans la variablep, donc le nombre d’années où le bassin A suffit est un de moins que ce qui est contenu dans la variablep, d’où la dernière affectation depavant la sortie de l’algorithme.
On peut aussi proposer un algorithme un peu plus raffiné : chaque itération de la boucle « Tant que » nous fera passer deux ans au dessus :
Variables : a,petnsont des entiers naturels.
Initialisation : Affecter àala valeur 400 Affecter àpla valeur 1.
Traitement : Tant quea⩽10 000 :
Affecter ànla valeurp+1 2
Affecter àala valeur 600×2n−400.
Sia⩽10 000 :
Affecter àpla valeurp+1 Affecter ànla valeurp
2
Affecter àala valeur 800×2n−400.
Sia⩽10 000 :
Affecter àpla valeurp+1 Fin de Si
Fin de Si Tant que
Sortie : Afficherp.
Ici, on initialiseaavec la valeura1etpavec 1. Du coup, on entre dans la boucle « Tant que » avec une valeurpimpaire. On commence par calculerap+1avec la formule utilisée pour les indices pairs (pimpair impliquep+1 pair).acontient donc la valeurap+1. Si cette valeur reste inférieure à 10 000 alors, cela veut dire que l’annéep+1 reste valable pour le bassin A, donc on affecte cette valeurp+1 à la variablep, qui est maintenant paire. On a à ce moment làa qui contient la valeurap.
À ce moment, on va calculerap+1avec la formule utilisée pour les indices impairs (ppair im-pliquep+1 pair).acontient donc la valeurap+1.
Si cette valeur reste inférieure à 10 000 alors, cela veut dire que l’annéep+1 reste valable pour le bassin A, donc on affecte cette valeurp+1 à la variablep, qui est redevient impaire. On a à ce moment làaqui contient la valeurap.
On termine l’itération de la boucle avec une valeur à nouveau impaire. Aprèsnitérations de la boucle, si les deux « Si » sont appliqués, on apcontenant la valeur 2n+1 etacontenantap. Par contre, quand l’un ou l’autre des « Si » n’est pas appliqué, cela signifie que la variablea, calculée et contenant la valeurap+1ne permet plus d’utiliser le bassin A, donc la dernière année valable pour le bassin A est bienp, et donc c’est pour cela que l’on incrémente pas la valeur de p.
Le fait que l’un des « Si » ne soit pas appliqué va aussi provoquer la sortie de la boucle « Tant que » (puisque le test est le même), et donc la valeur contenue danspest bien la dernière pour laquelle le bassin A peut contenirappoissons. .