Figure 6.7 – Antenne aléatoire construite
6.5
Résultats expérimentaux
L’antenne construite est visible figure 6.7. Elle est testée avec la plaque rectangu- laire. Les résultats sont donnés figure 6.8, pour un nombre constant de microphones (42), mais pris en sous-échantillonnant les 1920 mesures pour en tirer 42 mesures régulières ou aléatoires, ou sur la nouvelle antenne. Cette nouvelle antenne permet donc de bonnes reconstructions avec un nombre très réduit de microphones. Une raison est qu’il n’est plus nécessaire de répéter la mesure plusieurs fois, ce qui évite de devoir remettre en phase les différents lots de mesures.
La figure 6.9 donne, pour les 4 modes, la corrélation entre la reconstruction et la référence, pour un nombre variable de microphones, avec Tikhonov et antennes régulières, et ℓ1 et antennes aléatoires. L’utilisation de la parcimonie et d’antennes
aléatoires permet de conserver de bonnes reconstructions avec seulement quelques dizaines de microphones.
6.6
Conclusion
L’holographie acoustique en champ proche, généralement régularisée par Tikhonov ou un simple filtrage passe-bas, est ici régularisée en utilisant la parcimonie des profils de vitesses à reconstruire. Nous montrons que ceci permet de meilleures reconstruc- tions, avec un nombre de mesures significativement réduit. La méthode telle qu’elle est présentée a cependant un désavantage certain : elle est basée sur un modèle de plaque homogène, hypothèse assez forte sur le type de structure à étudier. Des plaques inhomogènes, voir des structures plus complexes, telles qu’un système mé- canique complet, comme un moteur, ne sont pas pris en compte par le modèle parci- monieux utilisé. Nous pouvons cependant en tirer deux conclusions importantes :
– des méthodes de régularisation autres que Tikhonov, utilisant des informations a priori sur les distributions de vitesses, peuvent être utilisées et améliorent les reconstructions. Ce point est en accord avec l’article d’Antoni [Ant12] ;
82 Chapitre 6. Holographie acoustique compressive 78 Hz (a) Groundtruth 402 Hz 1483 Hz 3297 Hz C=67% (b) L1REG42 C=83% C=57% C=74% C=86% (c) L1RANfREG42 C=88% C=83% C=79% C=93% (c) L1RAN42 C=82% C=94% C=76%
Figure 6.8 – Reconstructions avec l’antenne aléatoire pour différentes méthodes. – une antenne aléatoire, associée à une méthode de régularisation pouvant en
tirer profit, permet également de meilleures performances.
Le second point est lui en désaccord avec un article de Bai et al. [BLL10]. Les auteurs y affirment que l’utilisation d’antennes aléatoires pour l’imagerie en champ proche est injustifiée. Ce résultat est dû au fait qu’ils utilisent une SVD tronquée ou la régularisation de Tikhonov pour régulariser l’inversion, régularisations qui ne permettent pas de profiter des propriétés d’une antenne aléatoire comme le peut la régularisation par la norme ℓ1.
Le chapitre suivant se propose d’interpoler des réponses impulsionnelles de plaques. Le modèle parcimonieux, jusqu’ici simplifié pour pouvoir formuler la régularisation sous une forme standard, y sera utilisé intégralement.
6.6. Conclusion 83 12 32 42 52 62 72 82 92 A2 122 112 2 32 52 72 92 122 89BC8 523BCD 1594BCD 43A8BCD 12 32 42 52 62 72 82 92 A2 122 112 2 32 52 72 92 122 E BF B 1B B!"B # !$!% & E BF
Figure 6.9 – Comparaison de Tikhonov et antenne régulière avec ℓ1 et antenne
Chapitre 7
Interpolation spatiale de réponses
impulsionnelles de plaques
Dans cette partie, nous nous intéressons à la détermination de réponses impul- sionnelles de plaques, avec le but de reconstruire ces réponses avec le nombre le plus faible de mesures.
Classiquement, la détermination de ces réponses impulsionnelles peut se faire de deux façons :
– par des mesures expérimentales, avec diverses excitations (impulsions, chirps, excitation harmonique, etc.), en échantillonnant spatialement le champ vibra- toire assez finement pour pouvoir appliquer le théorème d’échantillonnage, – par des méthodes numériques, directement (méthode des différences finies
par exemple), ou par une décomposition modale, qu’elles soient tout à fait générales comme les éléments finis, ou utilisant des propriétés particulières du modèle considéré (isotropie, homogénéité, etc.).
Ces méthodes ont toutes deux des limitations : la mesure expérimentale néces- site un grand nombre d’échantillons spatiaux (i.e. de mesures) particulièrement en hautes fréquences, et les méthodes numériques demandent la connaissance parfaite des paramètres du modèle et de la géométrie de la plaque.
La méthode considérée ici peut être abordée de deux points de vue différents : – comme une méthode expérimentale, où l’utilisation d’un modèle physique sim-
ple (hypothèses de Kirchhoff-Love, homogénéité, isotropie, mais pas d’infor- mations sur les paramètres du modèle ou les conditions aux limites) permet de réduire le nombre de mesures nécessaires,
– ou comme une méthode numérique, où la connaissance du matériau et des conditions aux limites est remplacée par des mesures en faible nombre.
Cette méthode est basée sur une décomposition modale des réponses impulsion- nelles, et sur la décomposition en ondes planes de ces modes. Contrairement à la partie précédente, nous utilisons ici le modèle complet, i.e. avec les contraintes sur les modules des vecteurs d’onde des ondes planes utilisées pour la décomposition. Des variantes d’algorithmes parcimonieux standards sont utilisées pour la reconstruc- tion, avec de bonnes performances, pour un nombre d’échantillons pouvant, dans les conditions expérimentales considérées ici, être le tiers du nombre à atteindre pour pouvoir appliquer le théorème d’échantillonnage.
86 Chapitre 7. Interpolation spatiale de réponses impulsionnelles Ce travail a fait l’object d’une publication dans le Journal of Sound and Vibration en 2011 [CLD11], en collaboration avec Alexandre Leblanc pour les manipulations et l’interprétation des résultats.
7.1
État de l’art
L’article de Haneda et al. [HKK99] présente une méthode semblable pour l’inter- polation de réponses impulsionnelles de salle, avec toutefois de sévères limitations. La décomposition modale est obtenue par une méthode de prédiction linéaire, puis l’interpolation spatiale est effectuée avec l’hypothèse d’une salle rectangulaire, sur un segment parallèle à l’un des murs de la salle. Ce cas est donc extrêmement sim- ple, puisqu’il suffit d’identifier un cosinus. Il n’y a donc que 3 paramètres à identifier (fréquence spatiale, phase, amplitude).
L’article de Leblanc et al. [LLI11] utilise une décomposition différente : après une transformée de Fourier, pour chaque fréquence, le champ vibratoire est approximé par une somme de solutions fondamentales dont les singularités sont situées sur un cercle autour de la zone d’intêret (cf. MFS [FK98]).