Résultats et discussion des simulations numériques

Pour le cas _{Le = 232, P r = 7, P e = 0.1 et ψ = −0.02, la stabilité linéaire de l’écoulement} monocellulaire conduit à :Ractho = 1749.421, kctho = 3.12 et ωtho = −2.682 dans un cellule

infinie.

Numériquement, en utilisant le code d’élément finis pour un rapport d’aspect A = 10, pour

détecter le nombre de Rayleigh critique caractérisant l’écoulement multicellulaire, la démarche consiste à faire varier le nombre de Rayleigh autour de la valeur donnée par l’analyse de sta- bilité linéaire et à observer l’évolution temporelle des différents champs. Par encadrements successifs, on détecte le nombre de Rayleigh critique caractérisant le passage à un écoulement multicellulaire qui estRacnum = 1779.9 et la pulsation des oscillations est ωnum = 2.42. Nous

présentons sur la figure4.5l’évolution temporelle de la concentration en un point du domaine pourRac = 1779.9. La figure4.6montre les isoconcentrations, les isothermes et les lignes de

courant pour Le = 232, P r = 7, P e = 0.1 et ψ = _{−0.02, un écoulement multicellulaire}

86 Étude de la stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire

(a)

(b)

(c)

FIGURE4.5 – Iso-fractions massiques, isothermes et lignes de courant pourLe = 232, P r = 7,

P e = 0.1 et ψ = −0.02 et Ra = 1779.9 à t = 90

Sur la figure 4.6 nous observons l’évolution temporelle de la composante horizontale de vitesse,_{u en un point du domaine pour Ra = 1779.9, Le = 232, ψ = −0.02, P r = 7 et P e =}

0.1. On remarque que la composante horizontale de la vitesse se met à osciller périodiquement

avec une amplitude constante, le système a atteint un régime de convection instationnaire stable. L’erreur relative associée aux paramètres critiques est de1.74% pour Rac et de7.5% pour ωc.

Sur la figure4.7nous montrons la structure de l’écoulement à quatre instants différents pris au cours d’une période d’oscillation. On remarque, en suivant l’évolution temporelle des lignes de courant, la présence de rouleaux transversaux se propageant de la droite vers la gauche ( ils vont dans le sens inverse de la vitesse imposée à la paroi supérieure).

4.3 Simulation Numérique 87

FIGURE4.6 – Évolution temporelle de la composante horizontale de la vitesse à la naissance de la convection au point_{(5, 0.5) pour Le = 232 P r = 7 P e = 0.1 et ψ = −0.02 et Ra = 1779.9}

88 Étude de la stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire

FIGURE 4.7 – L’évolution temporelle des lignes de courant sur une période pour Le = 232,

P r = 7, P e = 0.1 et ψ = −0.02 et Ra = 1779.9 (a) t = 300 (b) t = 305 (c) t = 310 (d) t = 315

4.3 Simulation Numérique 89

Pour le cas _{Le = 232, P r = 7, P e = 1 et ψ = −0.01, la stabilité linéaire de l’écoulement} monocellulaire conduit à :Ractho = 1648.601, kctho = 3.09 et ωtho= 0.131 dans un cellule in-

finie. Numériquement, le nombre de Rayleigh critique caractérisant le passage à un écoulement multicellulaire est égale à :Racnum = 1728 et la pulsation des oscillations est ωnum = 0.127.

Dans ce cas, l’erreur relative associée aux paramètres critiques est de 4.85% pour Rac et de

3.14% pour ωc. Sur la figure4.8 nous montrons l’évolution temporelle de la composante hori-

zontale de vitesse,_{u en un point du domaine pour Ra = 1758, Le = 232, ψ = −0.01, P r = 7} etP e = 1. On remarque que la composante horizontale de la vitesse se met à osciller périodi-

quement avec amplitude constante, le système a atteint à un régime de convection instationnaire établi.

FIGURE4.8 – Évolution temporelle de la composante horizontale de la vitesse au point(5, 0.5)

90 Étude de la stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire

(a)

(b)

(c)

FIGURE4.9 – Iso fractions massiques, lignes de courant et isothermes pourLe = 232, P r = 7, P e = 1 et ψ = −0.01 et Ra = 1728. à t = 264

FIGURE 4.10 – L’évolution temporelle des lignes de courant sur une période pourLe = 232, P r = 7, P e = 1 et ψ = −0.01, Ra = 1728 (a) t = 250 (b) t = 254 (c) t = 256 (d)t = 260

4.4 Conclusion 91

4.4

Conclusion

Nous avons effectué une analyse de stabilité linéaire de l’écoulement monocellulaire pour un mélange liquide(Le = 232, P r = 7) caractérisé par des facteurs de séparation positifs ou

négatifs. Nous avons trouvé que l’écoulement monocellulaire perd sa stabilité via une transition instationnaire.

Pour ψ > 0, nous avons montré que l’écoulement monocellulaire perd sa stabilité pour des

nombres de Rayleigh plus faibles que pour des fluides monoconstituants en donnant lieu à un écoulement multicellulaire. Les rouleaux convectifs apparaissent avec une fréquence de pro- pagation ω qui est toujours positive, i.e. les rouleaux se propagent toujours dans le sens de

l’écoulement.

Pour ψ < 0, nous retrouvons que la solution monocellulaire perd sa stabilité via une transi-

tion instationnaire, avec des ondes progressives allant pour0 < P e < P e1, en sens inverse de

l’écoulement (de la vitesse appliquée à paroi), puis pourP e > P e1, avec des ondes progressives

positives (se propageant dans le sens de l’écoulement).

Les simulations numériques menées avec le logiciel COMSOL, àLe = 232 nous ont permis

de caractériser les structures thermoconvectives qui prennent naissance à la perte de stabilité de l’écoulement monocellulaire. Au cours de ces simulations, pourψ < 0, nous avons détecté

numériquement la présence d’ondes progressives qui se déplacent dans le sens inverse de la vi- tesse d’entrainement de la paroi pour de faibles valeurs deP e et dans le sens de l’entraînement

Chapitre 5

Séparation des espèces d’un mélange

binaire soumis à un flux de chaleur

constant au niveau des parois horizontales

5.1

Description du probléme

On se propose d’étudier la séparation des espèces d’un fluide binaire (mélange d’un solvant et d’un soluté) confiné dans une cavité rectangulaire de hauteur,H, et de longueur, L, (c.f.5.1). Les axes de coordonnées x et z sont respectivement orientés suivant les directions horizontale

et verticale. La cavité est placée dans le champ de pesanteur supposé uniforme et constant. Les parois horizontales de la cavité sont imperméables et soumises à un flux de chaleur uniforme,q.

Les autres parois sont considérées imperméables et adiabatiques. Dans le champ de pesanteur le flux de chaleur pourrait donner naissance à des mouvements convectifs si l’intensité dépasse une valeur critiqueqc. Le fluide binaire considéré est supposé newtonien et incompressible. La

94

Séparation des espèces d’un mélange binaire soumis à un flux de chaleur constant au niveau des parois horizontales

FIGURE5.1 – Représentation schématique du modèle physique