Résultats asymptotiques

Les résultats donnés dans cette sous-section sont une adaptation de ceux de Armand et Benoist [8] et Armand, Benoist et Orban [13]. Dans le lemme suivant, nous établissons une estimation de la distance de l’itéré w_k+1 au chemin central.

Lemme 4.4.4. Il existe une constante c1 >0 telle que

kw_k+1−w(µ_k+1)k ≤c₁(kw_bk−w(µ_k+1)k+σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−y_bkk)).

Preuve. Puisque la matrice F₀⁰(w^∗) est inversible, l’application du [48, Lemme 4.1.16] montre l’existence de deux constantesL₂ > L₁ >0 telles que pour tout w, w⁰ ∈ B(w^∗,δ)^¯, on a

L₁kw−w⁰k ≤ kF₀(w)−F₀(w⁰)k ≤L₂kw−w⁰k. (4.4.12) Pour démontrer (4.4.11), nous distinguons deux cas. Le premier est lorsqu’il n’y a pas d’itérations internes. Nous avons donc w_k+1 =w_bk et l’inégalité (4.4.11) est trivialement vraie. Le deuxième cas est lorsque l’itéréw_k+1 est calculé en appliquant une suite d’itéra-tions internes puisque le test d’arrêt (4.2.5) n’est pas satisfait. En utilisant ceci, (4.4.12), le lemme 4.4.1 et le fait queσ_k+1 ≥σ_k⁺, il existe k₀ ∈_N tel que pout tout k≥k₀, on a

L₂kw_bk−w(µ_k+1)k ≥ kF₀(w_bk)−F₀(w(µ_k+1))k =kF₀(w_bk)−µ_k+1e˜k ≥ kF0(w_bk) +σ⁺_k   0 λ_k+1−_by_k 0  −µ_k+1e˜k −σ_k⁺kλ_k+1−y_bkk > ε_k−σ_k⁺kλ_k+1−_by_kk ≥ kF₀(w_k+1) +σ_k+1   0 λ_k+1−y_k+1 0  −µ_k+1e˜k −σ_k⁺kλ_k+1−_by_kk ≥ kF₀(w_k+1)−F₀(w(µ_k+1))k −σ_k+1kλ_k+1−y_k+1k −σ⁺_kkλ_k+1−y_bkk ≥L1kw_k+1−w(µ_k+1)k −σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−y_bkk).

Le résultat du lemme est donc obtenu en posant c₁ = max{^L2

L1,_L¹

1} pour tout k ≥ k₀ et en prenant c1 >max{^L2

L1,_L¹

1} pour toutk < k0.

Soit γ⁰ ∈ (0,1) telle que γ⁰θ < 1 où θ est définie dans l’hypothèse 4.4.6. Le lemme technique suivant donne une relation entre les deux suites {kw_k−w(µ_k)k} et{µ_k}.

Lemme 4.4.5. Il existe deux constantes positives c et d telles que pour tout k ∈_N, on a

d_k+1 ≤d²_k+γ^0µk+1

µ_k ^{dk+cµk+1, (4.4.13)} où d_k:=dkw_k−w(µ_k)k.

Preuve. La preuve utilise des arguments similaires à ceux de [8, Lemme 6] et [13, Lemme 4.14]. Soit k ∈_N. En utilisant les lemmes 4.4.1 et4.4.4, nous obtenons

c⁻₁¹kw_k+1−w(µ_k+1)k ≤ kw_bk−w(µ⁺_k)k+kw(µ⁺_k)−w(µ_k+1)k

+σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−_by_kk)

≤ kw_bk−w(µ⁺_k)k+C|µ⁺_k −µ_k+1|

En utilisant la définition de µ_k+1 et l’inégalité (4.4.10), nous obtenons

|µ⁺_k −µ_k+1|= (1−α_k)(µ_k−µ⁺_k)

≤(1−α_k)µ_k

≤(1−τ_k+b⁰kw_k−w_k⁺k)µ_k. (4.4.15) En utilisant la définition de w_bk à l’étape 6 de l’algorithme 4.1, nous avons

b

w_k−w(µ⁺_k) = a_k◦(w_k⁺−w(µ⁺_k)) + (e−a_k)◦(w_k−w(µ⁺_k)).

En prenant la norme des deux côtés, en remarquant que ka_kk∞≤1 et que ke−a_kk∞ ≤

1−α_k, en appliquant les lemmes 4.4.1 et 4.4.2 et enfin en utilisant la relation (4.4.10), nous obtenons kw_bk−w(µ⁺_k)k ≤ ka_kk∞kw_k⁺−w(µ⁺_k)k+ke−a_kk∞kw_k−w(µ⁺_k)k ≤ kw_k⁺−w(µ⁺_k)k+ (1−α_k)kw_k−w(µ⁺_k)k ≤ kw_k⁺−w(µ⁺_k)k+ (1−α_k)(kw_k−w(µ_k)k+Cµ_k) ≤ M kw_k−w(µ_k)k2+δ_k²+µ²_k+σ_k⁺kλ_k+1−y_kk + (1−τ_k+b⁰kw_k−w⁺_kk)(kw_k−w(µ_k)k+Cµ_k). (4.4.16) En utilisant les lemmes4.4.1 et 4.4.2, nous avons encore

kw_k−w_k⁺k ≤ kw_k−w(µ_k)k+kw(µ_k)−w(µ⁺_k)k+kw(µ⁺_k)−w_k⁺k ≤ kw_k−w(µ_k)k+Cµ_k

+M kw_k−w(µ_k)k2+δ_k²+µ²_k+σ⁺_kkλ_k+1−y_kk

. (4.4.17) En substituant (4.4.15), (4.4.16) et (4.4.17) dans (4.4.14), nous obtenons

c⁻₁¹kw_k+1−w(µ_k+1)k ≤ (M +b⁰(1 + 2Cµ_k+Mkw_k−w(µ_k)k))kw_k−w(µ_k)k²

+ (1−τ_k+b⁰(3Cµ_k+M µ²_k))kw_k−w(µ_k)k

+ 2C(1−τ_k)µ_k+ 2b⁰C²µ²_k+M(1 + 2b⁰Cµ_k)µ²_k

+M(1 + 2b⁰Cµ_k+b⁰kw_k−w(µ_k)k)(δ_k²+σ⁺_kkλ_k+1−y_kk) +σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−y_bkk). (4.4.18) Soit θ_k :=M(1 + 2b⁰Cµ_k+b⁰kw_k−w(µ_k)k). En utilisant le fait que

kw_k−w(µ_k)k ≤2¯δ. (4.4.19) et que µ_k ≤ µ^∗, nous obtenons que θ_k ≤ M(1 + 2b⁰(Cµ^∗ + ¯δ)), pour tout k ∈ _N. En utilisant ceci et la convergence des suites {λ_k}, {y_k} et{y_bk}vers y^∗, nous obtenons

θ_k(δ²_k+σ_k⁺kλ_k+1−y_kk) +σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−y_bkk

= O(δ_k²+σ_k⁺kλ_k+1−y_kk) + O(σ_k+1(kλ_k+1−y_k+1k+kλ_k+1−_by_kk)) = O(δ_k²) + o(σ_k⁺) + o(σ_k+1)

La dernière inégalité découle de la définition de σ_k+1 à l’étape 7 de l’algorithme 4.1. En utilisant ceci, (4.4.5) et (4.4.18) et l’hypothèse4.4.9, nous déduisons que

c⁻₁¹kw_k+1−w(µ_k+1)k ≤c₂kw_k−w(µ_k)k2+ o(^µ

+ k

µ_k⁾kw_k−w(µ_k)k+ o(µ⁺_k) + O(δ²_k) + o(σ_k+1),

oùc₂ :=M+b⁰(1 + 2C(µ^∗+Mδ))^¯ . En utilisant maintenant (4.4.6) et les hypothèses4.4.7

et4.4.8, nous obtenons

kw_k+1−w(µ_k+1)k ≤c₁c₂kw_k−w(µ_k)k2 + o(^µk+1

µ_k ⁾kw_k−w(µ_k)k+ o(µ_k+1).

En multipliant les deux côtés de l’inégalité par d:=c₁c₂, nous concluons que

d_k+1 ≤d²_k+γ^0µk+1

µ_k ^{dk+ o(µk+1),}

pour tout k suffisamment grand. L’inégalité (4.4.13) est donc obtenue en prenant une constante c >0suffisamment grande.

Dans le lemme suivant, nous donnons une propriété fondamentale de la distance des itérés générés par l’algorithme 4.1 au chemin central. La preuve de ce résultat est une conséquence directe du lemme 4.4.5 et du [8, Lemme 7].

Lemme 4.4.6. Pour tout k∈_N, nous avons

kw_k−w(µ_k)k= O(µ_k).

Lemme 4.4.7. L’itéré de Newton w_k⁺ calculé à l’étape 4 de l’algorithme 4.1 vérifie w⁺_k =w(µ⁺_k) + o(µ⁺_k) + o(σ⁺_k).

Preuve. Puisque les suites{λ_k}et{y_k}convergent versy^∗, nous avonsσ_k⁺kλ_k+1−y_kk= o(σ⁺_k). En utilisant ceci, les lemmes4.4.2 et4.4.6, l’hypothèse 4.4.8 et la relation (4.4.5), nous déduisons

kw_k⁺−w(µ⁺_k)k ≤M kw_k−w(µ_k)k2+δ_k²+µ²_k+σ⁺_kkλ_k+1−y_kk

= O(µ²_k) + O(δ_k²) + o(σ⁺_k) = o(µ⁺_k) + o(σ_k⁺).

Lemme 4.4.8. L’itéré de Newton w_k⁺ calculé à l’étape 4 de l’algorithme 4.1 vérifie

kw_k−w_k⁺k= O(µ_k). (4.4.20)

Preuve. Le résultat découle de l’application des lemmes4.4.1,4.4.6 et4.4.7, la relation (4.4.6), l’hypothèse 4.4.6, l’inégalité σ_k⁺ ≤ σ_k+1, et la définition de µ_k+1 à l’étape 6 de l’algorithme 4.1. En effet, nous avons

kw_k−w_k⁺k ≤ kw_k−w(µ_k)k+kw(µ_k)−w(µ⁺_k)k+kw(µ⁺_k)−w_k⁺k ≤O(µ_k) +C|µ_k−µ⁺_k|+ o(µ⁺_k) + o(σ_k⁺)

= O(µ_k) + o(µ_k+1) + o(σ_k+1) = O(µ_k) + o(µ_k+1)

Le lemme suivant montre que les itérésw_bksont asymptotiquement tangents au chemin central. Sa preuve est obtenue en adaptant celle de [13, Lemme 4.17] à ce cadre d’étude.

Lemme 4.4.9. L’itéré w_bk calculé à l’étape 6 de l’algorithme 4.1 vérifie

b

w_k=w(µ_k+1) + o(µ_k+1).

Preuve. Soitk ∈_N. Le développement de Taylor (4.4.1) et la définition deµ_k+1 donnent

w(µ_k+1) = w^∗+w⁰(0)µ_k+1+ o(µ_k+1)

=α_k(w^∗ +w⁰(0)µ⁺_k) + (1−α_k)(w^∗+w⁰(0)µ_k) + o(µ_k+1) =α_k(w(µ⁺_k) + o(µ⁺_k)) + (1−α_k)(w(µ_k) + o(µ_k)) + o(µ_k+1) =α_kw(µ⁺_k) + (1−α_k)w(µ_k) + o(α_kµ⁺_k + (1−α_k)µ_k) + o(µ_k+1) =α_kw(µ⁺_k) + (1−α_k)w(µ_k) + o(µ_k+1).

En utilisant la définition de w_bk à l’étape 6 de l’algorithme 4.1, nous obtenons

b

w_k−w(µ_k+1) =a_k◦w⁺_k + (e−a_k)◦w_k−w(µ_k+1)

=a_k◦(w⁺_k −w(µ⁺_k)) + (e−a_k)◦(w_k−w(µ_k)) + (a_k−α_ke)◦(w(µ⁺_k)−w(µ_k)) + o(µ_k+1).

En prenant la norme des deux côtés, en utilisant ka_kk∞ ≤ 1, ke −a_kk∞ ≤ 1 −α_k,

ka_k −α_kek∞ ≤ 1−α_k, le lemme 4.4.1 et l’inégalité (4.4.4) et enfin en appliquant les lemmes 4.4.6et 4.4.7, nous déduisons

kw_bk−w(µ_k+1)k ≤ ka_kk∞kw_k⁺−w(µ⁺_k)k+ke−a_kk∞kw_k−w(µ_k)k

+ka_k−α_kek∞kw(µ⁺_k)−w(µ_k)k+ o(µ_k+1)

≤ kw_k⁺−w(µ⁺_k)k+ (1−α_k)kw_k−w(µ_k)k

+ O((1−α_k)µ_k) + o(µ_k+1)

= o(µ⁺_k) + o(σ_k⁺) + O((1−α_k)µ_k) + o(µ_k+1). (4.4.21) La borne (4.4.10) sur la longueur du pasα_k donne

(1−α_k)µ_k≤(1−τ_k+b⁰kw_k−w⁺_kk)µ_k. (4.4.22) En introduisant l’estimation (4.4.20) dans l’équation (4.4.22) et en utilisant l’hypothèse

4.4.9, le lemme 4.4.8 et la relation (4.4.5), nous obtenons

(1−α_k)µ_k = o(µ⁺_k) + O(µ²_k) = o(µ⁺_k). (4.4.23) Le résultat du lemme est obtenu en introduisant (4.4.23) dans (4.4.21) et ensuite en utilisant la relation (4.4.6), le fait queσ_k⁺≤σ_k+1 et l’hypothèse 4.4.7.

Nous donnons maintenant le résultat principal de cette section et sa preuve. Nous montrons en particulier que la suite {w_k} est asymptotiquement tangente au chemin central et qu’avec un bon choix de {ζ_k}, la méthode proposée se réduit à la méthode de Newton régularisée appliquée aux conditions d’optimalité du problème barrière.

Théorème 4.4.1. Supposons que ε_k = Ω(µ_k+1), alors pour tout k suffisamment grand, nous avons les résultats suivants.

(i) L’algorithme 4.1 n’a plus besoin d’itérations internes, ce qui signifie que σ_k+1 =σ⁺_k et w_k+1 =w_bk.

(ii) Les itérés sont asymptotiquement tangents au chemin central, c’est à dire

w_k =w(µ_k) + o(µ_k). (4.4.24)

(iii) Le pas unité est accepté par la règle de la fraction du déplacement à la frontière

(4.2.3), ce qui signifie que µ_k+1 =µ⁺_k et w_bk =w⁺_k.

De plus, si la suite {ζ_k} est choisie telle ζ_k = Ω(µ_k), alors l’instruction λ_k+1 = y_k est exécutée à chaque itération.

Preuve. La preuve du résultat (i) est obtenue en appliquant successivement le premier résultat du lemme 4.4.1, l’inégalité (4.4.12), l’inégalité σ⁺_k ≤ σ_k+1, le lemme 4.4.9, la convergence des suites {λ_k} et {y_bk} vers y^∗ et enfin l’hypothèse 4.4.7. Ceci donne

kF(w_bk, λ_k+1, σ⁺_k, µ_k+1)≤ kF₀(w_bk)−F₀(w(µ_k+1))k+σ_k⁺kλ_k+1−_by_kk ≤L₂kw_bk−w(µ_k+1)k+σ_k+1kλ_k+1−y_bkk

= o(µ_k+1) + o(σ_k+1) = o(µ_k+1)

≤ε_k.

Le résultat (ii) est une conséquence directe du résultat (i) et du lemme 4.4.9.

La preuve d’acceptation du pas unité par la règle de la fraction du déplacement à la frontière (4.2.3) se fait en suivant le même schéma de preuve du [13, Lemme 4.20] et en utilisant (4.4.6), σ_k⁺ ≤ σ_k+1 et l’hypothèse 4.4.7. En utilisant ceci et les définitions de

µ_k+1 et w_bk à l’étape 6de l’algorithme 4.1, nous obtenons µ_k+1 =µ⁺_k etw_bk=w⁺_k.

Passons maintenant à la preuve du dernier résultat du théorème. En utilisant les relations (4.4.24) et (4.4.1) et le fait que i_k ≤k−1 pour toutk ∈_N, nous obtenons

g(x_k) =g(x(µ_k) + o(µ_k))

=g(x^∗+x⁰(0)µ_k+ o(µ_k))

=g(x^∗) +∇g(x^∗)^>x⁰(0)µ_k+ o(µ_k) = o(µ_k)

= o(µ_ik). (4.4.25)

La quatrième équation découle du fait que g(x^∗) = ∇g(x^∗)^>x⁰(0) = 0. En effet, une différentiation de la fonction µ→F₀(w(µ))−µ˜e en µ= 0 donne

  ∇2 xxL(w^∗) ∇g(x^∗) −I ∇g(x^∗)^> 0 0 Z^∗ 0 X^∗     x⁰(0) y⁰(0) z⁰(0)  =   0 0 e  .

La deuxième équation de ce système donne ∇g(x^∗)^>x⁰(0) = 0. En rappelant que η_k =

kg(x_k)k+ζ_k et en utilisant (4.4.25), nous concluons que ζ_k = Ω(µ_k) est une condition suffisante pour avoir λ_k+1 =y_k à chaque itération, pour tout k ∈_N suffisamment grand, ce qui termine la preuve du théorème.

Remarque 4.4.1. Le résultat (ii) du théorème 4.4.1 montre que le taux de convergence de la suite {w_k} vers la solution est le même que celui de la suite {µ_k} vers zéro. En effet, la relation (4.4.24) implique que

kw_k−w^∗k

µ_k → kw⁰(0)k

où w⁰(0)6= 0, d’après (4.4.2).