diélectriques pour une exaltation géante du champ électromagnétique
II. Résonances, pôles et zéros
Les propriétés optiques des filtres interférentiels sont toutes soumises à une contrainte liée au bilan d’énergie, donnée comme : 1 = R + T + A, où ces grandeurs désignent respectivement la réflexion, la transmission et l’absorption du composant. Ainsi ces 3 grandeurs positives sont majorées par l’unité, bien que largement oscillantes en fonction de la longueur d’onde , ou autres paramètres. En termes de propriétés dans le plan complexe, cela signifie que la fonction T() par exemple, étendue à la variable complexe = ’ + j ’’, présente des pôles complexes dont la partie imaginaire n’est jamais nulle, du moins tant que l’argument de T correspond à une grandeur physique qui peut être associée à une expérience. Ceci est illustré en Figure 90 où apparait clairement le pôle complexe d’une structure de type Fabry-Pérot, pôle sur lequel la fonction de variable complexe T( n’est pas
majorée. Par contre sur l’axe réel, on retrouve bien le point de fonctionnement T() (courbe noire) avec la condition T() ≤ 1. Ce résultat est précisé avec plus de détail en Figure 91, où est tracée une section de T(à ’ = 500 nm, longueur d’onde de centrage du filtre.
Figure 90 : Coefficient de transmission d’un filtre Fabry-Perot dans le plan complexe (Cartographie) , fonction de transmission T() sur l’axe réel (courbe noire), point de fonctionnement à =500 nm (croix noire).
Figure 91: Coefficient de transmission du filtre Fabry-Perot présenté Figure 91, section à ’=500 nm
Ce résultat est général pour tous les composants (voir Figure 92 et Figure 93 pour un miroir et Figure 94 pour un anti-reflet à 4 couches) et justifie les travaux sur les pôles et zéros dans le plan complexe, pour nombre d’applications dont les exaltations. En effet, pour d’autres grandeurs comme le champ électrique par exemple, la valeur d’exaltation n’est pas théoriquement bornée, et croît lorsque le
pôle se rapproche de l’axe réel. De façon générale, c’est donc la distance du pôle à l’axe réel qui va piloter la force de l’exaltation.
Figure 92: Evolution dans le plan complexe du coefficient de transmisison d'un miroir M15 centré à =600 nm, fonction de transmission T() sur l’axe réel (courbe noire), point de fonctionnement à =600 nm (croix noire).
Figure 93: Evolution dans le plan complexe du coefficient de réflexion d'un miroir M15 centré à =600 nm, fonction de transmission R() sur l’axe réel (courbe noire), point de fonctionnement à =600 nm (croix).
Figure 94 : Evolution dans le plan complexe du coefficient de réflexion d'un anti-reflet 4 couches, centré à =600 nm, fonction de transmission R() sur l’axe réel (courbe noire), point de fonctionnement à =600 nm (croix).
Cas de la réflexion totale
Plaçons-nous maintenant en configuration de réflexion totale interne, dont on sait qu’elle supporte de fortes résonances sous certaines conditions. Ceci amène à éclairer la structure à travers un prisme haut indice au-delà de l’angle limite. Dans ce cas de figure, si on considère un empilement constitué de N matériaux d’indices
n
i i1,N, éclairé à la fréquence normalisée
2 n
0sin
, via un milieud’indice n0, pour un milieu émergent d’indice nS on se retrouve dans les configuration décrites Figure 95 ou Figure 96 selon qu’il existe ou non dans la structure un matériau d’indice de plus haut indice que celui du prisme de couplage. Les coefficients de réflexion sont ici donnés en fonction de la fréquence normalisée
2
0 *
.Figure 95 : Evolution du coefficient de réflexion en fonction de la fréquence normalisée *, cas où nS < n0 <nH
Figure 96 : Evolution du coefficient de réflexion en fonction de la fréquence normalisée *, cas où nS < nH <n0
On constate tout d’abord sur ces figures que la réflexion est majorée aux basses fréquences spatiales (R<1), et qu’elle est unitaire (R = 1) dès que la fréquence normalisée dépasse l’indice du substrat (*> ns). En Figure 95, on observe des chutes de réflexion dans la fenêtre (ns < * < n0) ; ces pics sont dus à une augmentation de l’absorption, laquelle résulte d’une exaltation de champ optique. Aux plus hautes fréquences (ns < n0 < * ), les valeurs de la réflexion ne sont plus majorées (présence de pôles) car elles ne correspondent plus à une expérience (à un bilan d’énergie) ; en effet, les conditions d’éclairement imposent une majoration de la fréquence spatiale (* = n0 sin0 < n0). La Figure 96 illustre le cas où l’indice du prisme permet d’atteindre de plus hautes fréquences (cas nH < n0). Dans ce cas les pôles précédents sont ramenés à des résonances avec une réflexion majorée.
Ainsi les résonances sont intrinsèquement liées à la localisation des pôles et des zéros complexes du coefficient de réflexion R() étendu au plan complexe. Ces pôles sont imposés et positionnés par la
structure de l’empilement, et seule leur partie réelle peut être atteinte par la fréquence spatiale incidente (qui est réelle). Pour être complet, ces pôles ne peuvent pas être réels dans le cadre d’une géométrie correspondant à une expérimentation, eu égard au bilan d’énergie qui doit être respecté. Ecrivons donc le coefficient de réflexion en amplitude r() d’un empilement multicouche comme
une fonction complexe à variable réelle, soit sous la forme d’un produit faisant apparaitre ses pôles
pk et les zéros zk respectivement d’ordre Nk et Mk :
k k k M N k k k k M N k k k k k p p jz z r p z r r '' ' '' ' 0 0
(26)Ces derniers sont a priori complexes, on peut donc les écrire en faisant apparaitre leurs parties réelles et imaginaires respectives. On peut voir à titre d’illustration ceux d’un miroir M15 éclairé en incidence oblique localisés dans le plan complexe par des extrema bleus pour les zéros et des extrema rouges pour les pôles en Figure 97.
Figure 97 : Représentation en échelle logarithmique du module carré de la fonction de réflexion complexe r dans le cas d’un miroir M15 éclairé en incidence normale. *’ et *’’ désignent les parties réelles et imaginaires de la fréquence
Vérifions sur cet exemple quelques propriétés caractéristiques des résonances. En premier lieu, dans la plage de réflexion totale, la conservation d’un module unitaire du coefficient de réflexion en l’absence d’absorption implique que les pôles pk et zéros zk sont asymptotiquement conjugués lorsque l’absorption tend vers 0. Par ailleurs, la nature hermitienne de la fonction r implique que si zk
est un zéro de r, alors
z
kl’est également comme on peut le voir sur le graphe présenté Figure 97. Ces propriétés nous autoriseront par la suite à considérer uniquement le quart du plan complexe correspondant aux valeurs positives de *’ et *’’ qui sont les parties réelles et imaginaires de lafréquence normalisée *.
Ces quelques relations mettent en évidence le fait que les modes propres d’une structure multicouche pilotent son fonctionnement dans les configurations autres que leur utilisation nominale en espace libre. La capacité de contrôler ces modes représente donc un enjeu important, avec pour application première la synthèse de composants résonants. Il n’y a pas à ce jour de méthode de synthèse efficace qui permette de définir la localisation et l’intensité des résonances, malgré le fait qu’en espace libre on sache construire une fonction quasi-arbitraire.
Le travail réalisé ces dernières années sur cette thématique nous a permis de développer et implémenter 2 méthodes de synthèse de structures résonantes qui seront présentées dans ce chapitre. La première s’appuie sur la synthèse de résonances multi-diélectriques accompagnées d’une absorption totale, tandis que la deuxième agit directement sur la génération d’exaltations de champ. Les deux méthodes s’appuient sur la notion d’admittance complexe.