Résolution d'ambiguïté basée sur la continuité

Étant donnée que la permutation tend à créer des sauts entre deux fréquences f_l−1

et f_l, nous imposons que G(f) soit continue en fonction de f [92], an d'éliminer cette ambiguïté. Sachant qu'en pratique, le passage dans le domaine de Fourier se fait par TFD, i.e.G(f)est calculée sur une grille nie de fréquencesf₀ <· · ·< f_L, il est possible de détecter si un saut a eu lieu dans l'intervalle [f_l−1, f_l] en comparant G(f_l−1) avec

G(f_l). Pour eectuer cette comparaison, nous considérons le produitG(f_l−1)G⁻1(f_l)que l'on note R(f_l−1, f_l).

En supposant que le critère de diagonalisation conjointe fournit la solution G(f) à une matrice de permutation près P(f) et une matrice diagonale près D(f), R(fl−1, fl)

s'écrit comme suit :

R(f_l−1, f_l) = G(f_l−1)G⁻¹(f_l)

= [P(f_l−1)D(f_l−1) ˆH⁻¹(f_l−1)][P(f_l)D(f_l) ˆH⁻¹(f_l)]⁻¹ =P(f_l−1)[D(f_l−1) ˆH⁻¹(f_l−1) ˆH(f_l)D⁻¹(f_l)]P⁻¹(f_l)

=P(f_l−1)P⁻¹(f_l){P(f_l)[D(f_l−1) ˆH⁻¹(f_l−1) ˆH(f_l)D⁻¹(f_l)]P⁻¹(f_l)}

(3.19)

Comme la fonction _H(f)ˆ est continue, le produit _H(fˆ _{l−1) ˆH}−1(f_l) est presque une matrice identité (f_l est supposée assez proche de f_l−1) ; donc le produit qui est entre crochets [.] est presque une matrice diagonale. D'autre part, Le produit entre accolades {.} l'est aussi, car multiplier, à gauche et à droite, une matrice parP(f_l)etP⁻1(f_l)revient à permuter les lignes et les colonnes de cette matrice (suivant une même permutation). Ainsi :

R(f_l−1, f_l) =P(f_l−1)P⁻¹(f_l)∆(f_l−1, f_l) (3.20) où ∆(f_l−1, f_l) est une matrice presque diagonale.

Cette approche est mieux qu'une comparaison directe entre G(f_l−1) et G(f_l), car une matrice presque diagonale est facile à reconnaître. En eet, par cette approche, nous pouvons supprimer un saut survenu entre f_l−1 et f_l en cherchant une matrice de permutation P telle que la matrice PR(f_l−1, f_l) soit, le plus possible, diagonale, selon un critère que nous allons dénir. Si la matrice trouvée, notée P(f_l−1, f_l), est la matrice identité, nous déduisons qu'il n'y a pas eu un saut de permutation entre f_l−1 et f_l et donc on ne fait rien. Sinon, nous déduisons qu'il y a eu un saut entre f_l−1 et f_l, et ainsi nous pouvons le supprimer en prémultipliant G(f_l−1) par P(f_l−1, f_l).

A ce stade, il reste à dénir un critère pour mesurer la diagonalité de PR(f_l−1, f_l). Comme les matrices G(f_l) sont intrinsèquement ambiguës au niveau de l'échelle, il est préférable d'utiliser un critère qui soit invariant par rapport au changement d'échelle, i.e. au changement issu d'une multiplication par une matrice diagonale D. Un critère qui possède cette propriété est :

d(A) =d(DA) = min

(i1,...,iK)6=(1,...,K)

|a_i11|. . .|a_iKK|

|a11|. . .|aKK| (3.21) où aij désigne le terme général de la matrice A (d'ordre K) et le minimum porte sur toutes les permutations(i1, . . . , iK) de1, . . . , K, sauf la permutation identité.

En adoptant le précédent critère, notre procédure d'élimination d'ambiguïté, basée sur la continuité, se résume comme suit :

(i) calculer la matriceR(f_l−1, f_l) = G(f_l−1)G⁻1(f_l), l= 1, . . . , L. (ii) pour chaque l = 2, . . . , L, chercher la permutation (i₁, . . . , i_K) de

telle sorte que le produit QK

j=1|R(f_l−1, f_l)_ijj| soit le plus grand parmi toute autre permutation. (R(.)_ijj représente l'élément d'in-dice (i_j, j) de la matrice R(.).

(iii) si (i₁, . . . , i_K) est la permutation identité, ne rien faire. Sinon permuter les lignes 1, . . . , K, de G(f_l), . . . , G(f_L), par les lignes

i₁, . . . , i_K.

Cependant, d'une part, l'étape (ii) de la procédure peut être très coûteuse en temps de calcul pourK grand, car il faut chercher toutes les permutations et d'autre part, nous rappelons que R(f_l−1, f_l) doit être proche d'une matrice diagonale permutée. Alors, en dénissant les indicesi₁, . . . , i_K par :

i_j = arg max

i=1,...,K|R(f_l−1f_l)_ij| (3.22) il est fortement possible que les i₁, . . . , i_K soient diérents et forment une permutation de1, . . . , K qui dénit précisément la permutation recherchée. Sinon, on doit en principe réexaminer toutes les permutations, mais ce cas est exceptionnel car il signie que la

matrice R(f_l−1, f_l) n'est pas proche d'une matrice diagonale permutée ; La permutation dans ce cas est de toute façon mal déterminée.

An de réduire le coût de calcul, nous avons développé une routine sous-optimale comme suit :

(1) on cherche la permutation i1 qui maximise |R(fl−1, fl)i1|. (2) pour j = 2, . . . , K, on cherche d'abord

i^∗_j = arg max

i=1,...,K|R(f_l−1f_l)_ij|

sii^∗_j ∈ {/ i₁, . . . , i_j−1} on prend i_j =i^∗_j; sinon c'est que i^∗_j =i_k pour un certaink < j. On cherche alors

i⁰_j = arg max

i^∗_j∈{/ i1,...,ij−1}|R(fl−1fl)ij|, i⁰_k = arg max

i^∗_j∈{/ i1,...,ij−1}|R(fl−1fl)ik|.

Puis on compare

|R(f_l−1, f_l)_ikkR(f_l−1, f_l)_i0

jj| et|R(f_l−1, f_l)_i0

kkR(f_l−1, f_l)_ikj|

si le premier produit est plus grand, on prend i_j = i⁰_j, sinon on remplace i_k par i⁰_k et on prend i_j =i_k.

Via cette procédure nous avons pu réduire l'ambiguïté de permutation variable (se-lon les fréquences) à une permutation xe car la fonction de permutation ne peut être continue que si elle est constante. Toutefois, cette procédure ne permet pas d'enlever l'ambiguïté d'échelle car on peut toujours prémultiplier G(f) par une matrice diagonale

D(f)continue en f et obtenir une fonction matricielle continue.

Une autre procédure plus simple et presque aussi performante, relativement au fonc-tionnement de notre algorithme de diagonalisation conjointe, est celle qui au lieu de diagonaliser conjointement les matrices _Sˆ_{x(t, fl)}, diagonalise conjointement les matrices

G(f_l−1) ˆS_x(t, f_l)G^∗(f_l−1); où G(f_l−1)est la solution du précédent problème de diagonali-sation conjointe de _Sˆ_x(fl−1).

En eet, si G(f) est continue (G(f_l−1) proche de G(f_l)), G(f_l−1) ˆS_x(t, f_l)G(f_l−1)

doivent rester proches d'une matrice diagonale et la solution à leur problème de gonalisation conjointe est, ainsi, proche de la matrice identité. Or, la procédure de dia-gonalisation conjointe opère par transformations successives des matrices à diagonaliser en les pré- et post- multipliant par une matrice appropriée. Celle-ci est choisie chaque fois, parmi deux matrices qui se dièrent uniquement par une permutation, comme celle qui est la plus proche de l'identité. Donc, le rapport entre les solutions aux problèmes de la diagonalisation conjointe en deux fréquences successives est une matrice proche de l'identité.

De plus, en initialisant l'algorithme de diagonalisation conjointe à chaque fré-quence par la solution de la précédente fréfré-quence (i.e. à la fréfré-quence f_l, on diagonalise

G(f_l−1) ˆS_x(t, f_l)G(f_l−1)), la procédure fournit plus rapidement la solution car l'algorithme est initialisé à une valeur proche de la solution. Le rapport G(f_l−1)G⁻1(f_l) sera proche de l'identité, sauf si G(f) varie rapidement en fonction def, auquel cas la permutation est de toutes façons mal détectée.

Cette procédure peut être implémentée comme une subroutine complémentaire à l'algorithme de diagonalisation conjointe, en conjonction à une autre procédure d'élimi-nation d'ambiguïté telle que la première procédure présentée dans ce paragraphe.