MODELISATIONS DES POUTRES AJOUREES
R, ce résidu est défini par :
{ }
T{ } { }
n n n
R = k U − F ...………..….……….………. (3.18) Le vecteur résidu R peut s’interpréter comme étant la différence entre les forces nodales internes
et les forces appliquées.
Partant d’une valeur à l’état initial
{ }
o nU le processus itératif de résolution est poursuivi jusqu’à la
convergence à l’itération i. .
Pour obtenir la solution du problème non-linéaire, des méthodes incrémentales itératives
technique incrémentale est en fait de linéariser les équations non-linéaires). Ces méthodes sont
bien adaptées pour traiter toutes les non-linéarités possibles, telles les non-linéarités matérielles
ou de contact par exemple [45].
3.4.1.1 Algorithme de résolution (Méthode Newton-Raphson) :
La méthode utilisée pour la résolution d’un système d’équation non linéaire est celle de
Newton-Raphson, cette méthode de résolution itérative basée sur la minimisation d’un résidu d’équilibre non-linéaire, elle consiste à remplacer le problème original par une succession de problèmes
linéaires à partir de leur état de référence.
L’équilibre est satisfait quand le résidu devient négligeable ({R}≈{0}) comme illustré sur la figure ci-dessous.
Fig. 3-8 : Processus dans l’algorithme du problème
non-linéaire [44]
(1) solution élastique.
(2) projection sur le critère.
(3) charge nodale équivalente.
(4) solution cherchée ({Ri}≈{0})
L’algorithme de résolution est résumé par les étapes suivantes :
Dans la configuration initiale : - ∆F0 = 0
- Calcul la matrice de rigidité linéaire [Kl]o ; avec [Ku]o={0}.
- Calcul la matrice de rigidité non-linéaire [Knl]o.
Pas de charge : ∆Fn
Itération i :
- Définition des lois de comportement (σo, E, ET) - Calcul la matrice de rigidité tangente [KT
- Résolution du système
{ }
i 1{ } { }
i 1 T i 1{ }
ii int
R − = ∆F − F − =K − ∆U .
- Calcul des déplacements
{ }
i{ }
i 1{ }
iU = U − + ∆U
- Calcul la nouvelle matrice tangente [KT]i.
- Projection et calcul les efforts internes {Fint}i
- Evaluation du résidu ;
- Si, le résidu {R}i > {0}, on passe à l’itération suivante.
Itération i+1 :
- Si, le résidu {Ri+1} ≈ {0}, il y’a l’équilibre, on passe au pas de charge suivant.
Pas de charge : ∆Fn+1
3.4.1.2 Méthode Newton-Raphson modifiée
La méthode de Newton-Raphson originale n'est pas souvent applicable pour la résolution des
problèmes de non-linéarité dont les chemins de charge complexes (craquage en avant et craquage
en arrière dans le flambement, non-linéarité faible,…), cette méthode modifiée a été trouvée pour
régler ces problèmes complexes.
L’algorithme de cette méthode est similaire à celui de la méthode classique avec une modification
simple, qui consiste à ne pas actualiser la matrice tangente à chaque pas d’itération, mais on
calcul et assemble cette matrice au premier pas de chaque pas de chargement.
Le temps de résolution globale du problème par cette méthode est plus important qu'avec la
méthode classique.
Nota :
Dans la littérature, il existe plusieurs méthodes de résolution des systèmes non linéaire, mais aucune méthode itérative ne satisfaisant tous les critères à la fois de manière efficace (chemin de chargement complexe, perte de rigidité, écoulement plastique,…) chacune leurs avantages et inconvénients.
3.4.1.3 Critères et contrôle de la convergence :
Les méthodes itératives aboutissent à la solution en un nombre infini d’opérations convergeant
vers la solution. On arrête le calcul à une itération lorsqu’on estime qu’on est suffisamment prés
de la solution. Le logiciel de calcul utilisé demande généralement de préciser le critère d’arrêt
d’itération ou critère de convergence qui résulte généralement d’un arrangement entre la
précision de calcul recherchée et le coût de calcul.
La convergence est assumée quand :
Forces et moments ;
||{R}|| < εR.Rref ………...……… (3.19) Le vecteur des forces résiduelles {R}= {Fext}-{Fint}
Déplacements ;
||{Δui}|| < εu.uref ....…….………...……… (3.20) || . || désigne la norme utilisée.
Rref et uref = 1 pour l’analyse des structures.
Tolérances conseillées ; εR, εu = 0,1% à 1%
Dans la bibliothèque du logiciel ANSYS, trois normes peuvent être utilisées pour le contrôle de
convergence des structures à savoir :
Critère de la norme infinie (Infinite norm) : Ce critère des résidus maximum s’écrit sous la forme suivante :
{ }
R ∞ =max Ri ....……….……….………..………..………. (3.21) Critère de la somme absolue (L1 norm) :Ce critère s’écrit sous la forme suivante :
{ }
R 1= ∑ Ri ………..………..……….………..………..………. (3.22) Critère de la racine de la somme des carrés (L2 norm) :Ce critère s’écrit sous la forme suivante :
{ }
22 i
R =
∑
R ………..……..……….………..………..………. (3.23) La norme de la racine de la somme des carrés ou la norme euclidienne « L2 », cette norme estlargement recommandée pour l’analyse des structures.
Dans notre travail, on adapte la norme L2, avec la tolérance de déplacement εu = 0,5% (valeur
utilisée par défaut)
Pour résoudre un problème non-linéaire, l'analyste a la possibilité dans ANSYS de spécifier
1’incrémentation à suivre ou de laisser le code choisir son propre schéma d'incrémentation.
3.5. CONCLUSION :
Dans ce chapitre on a fait appel aux sources de non-linéarités possibles dans notre travail. La
description Lagrangienne du mouvement d’un corps et les notions de déformations et de
contraintes ont été ainsi rappelées. Puis on a présenté les démarches de modélisation et de
résolutions numériques relatives à l’analyse non-linéaire des structures en poutres ajourées. Ces
démarches nécessite de résoudre des problèmes de non-linéarité géométrique qui résident dans la
réponse géométrique de la structure, ou de non-linéarité matérielle qui résident dans le
comportement des matériaux entrant dans la constitution de cette structure, ou les deux raisons à
la fois.
Le choix des modèles en éléments finis adéquat est basé sur l’exploitation des résultats de la
recherche bibliographique et par les moyens de calcul associés au code de calcul numérique que
nous avons utilisé dans cette thèse, ANSYS version 12.1.
La maitrise de ces outils avec la possibilité de changer la base de données d'une analyse à une
autre, vont nous permettre d’exploiter dans les chapitres suivants des modèles numériques
représentatifs capables de simuler le comportement réel des poutres ajourées mixtes ou non
mixtes.
Dans le chapitre suivant, on développera le premier modèle numérique dans le but d’étudier
l’influence de dimensions des montants et l’espacement des ouvertures sur le phénomène de
déversement des poutres cellulaires en acier seul, simplement appuyées et soumises au déférent
cas de chargement statique, ainsi que l’influence de la distorsion de l’âme sur le déversement des