On remarque la présence d’oscillations amorties en régime transitoire qui s’éteignent au bout de 10s avec une erreur statique de 0.5.
La stratégie de commande adoptée est celle donnée en figure 3.2. Le contrôleur reçoit par ses entrées l’erreur e(t) et sa variation ∆e(t) et fournit en sortie la variation de com- mande ∆u(t). Cette dernière sollicite l’entrée d’un intégrateur dont la sortie est l’action de commande u(t). Au niveau de la structure interne, chaque variable est définie sur un
univers de discours normalisé [+1, − 1]. Ce dernier est partitionné en sept sous ensembles flous {N G, N M, N P, EZ, P P, P M, P G}. Les fonctions d’appartenance retenues pour l’ensemble des variables du contrôleur sont de type gaussiennes asymétriques. Le traite- ment des règles floues, qui sont 49 au total, est effectué par la méthode MIN-MAX. La grandeur de sortie du contrôleur est générée par la méthode de centre de gravité.
3.2.8.1 Critères de performance
En générale, l’objectif d’un système de commande est de minimiser l’écart e(t) entre la sortie d’un système et une valeur de consigne désirée. Cet écart peut être dû, soit à un changement de consigne, soit à des perturbations agissant sur le système. Pour choisir un bon réglage du régulateur, on prend en compte l’amplitude maximum de l’écart et la durée nécessaire pour qu’il s’annule après une perturbation ou un changement de consigne. Il existe plusiers critères numériques permettant de mesurer la qualité d’un réglage donné. Parmi ces critères on peut citer:
– Critère de l’intégrale du carré de l’erreur (ISE):
ISE = L X
n=0
[e(n.∆t)]2 (3.14)
où ∆t et n sont respectivement la période d’échantillonnage et l’indice d’échan- tillon. [0, L] est l’intervalle sur lequel est calculé le critère. En pratique, la valeur de L est choisie de manière que l’intervalle [0, L] contienne suffisamment le régime transitoire
– Critère de l’intégrale de la valeur absolue de l’erreur(IAE):
IAE = L X
n=0
|e(n.∆t)| (3.15)
– Critère de l’intégrale de l’erreur absolue temporelle (ITAE):
IT AE = L X
n=0
(n.∆t) × |e(n.∆t)| (3.16)
– Critère du pourcentage de dépassement(dep):
Dep(%) = smax− sf inal sf inal− sinitial
3.2. OPTIMISATION DES CONTRÔLEURS FLOUS DE TYPE MAMDANI PAR ALGORITHMES GÉNÉTIQUES SIMPLES 73
Dans (Dorf et Bishop, 1995) on peut trouver une liste exhaustive de critères de perfor- mance d’un système de commande. Par la suite nous retiendrons ces deux derniers cri- tères (IT AE et Dep). Ces critères permettent de conclure que le système de commande est d’autant meilleur que les valeurs de IT AE et Dep sont plus faibles. Il s’agit donc d’un problème de minimisation. Pour un algorithme génétique, ces critères vont servir pour obtenir une fonction objectif exploitable par le processus sélection.
3.2.8.2 Paramètres de l’AG
L’algorithme génétique exploitant le codage mixte des paramètres décrits précédem- ment doit permettre d’optimiser simultanément les paramètres des fonctions d’apparte- nance, les facteurs d’échelle et les conclusions des règles floues. Pour se faire, on doit choisir soigneusement les valeurs des paramètres régissant l’évolution de la population traitée par cet algorithme génétique : taille de la population, probabilitées de croisement et de mutation. Dans ce travail, après une série de tests, nous avons opté pour les para- mètres du tableau 3.3
TAB. 3.3 – Paramètres de l’AGs
Chromosome de l’AG standard
Règles floues fonction d’appartenance facteurs d’échelle Représentation En base 8 (1, 2,· · · , 7) Réelle Binaire
Probabilité de croisement 0,65
Probabilité de mutation 0.01 0.01 0.02
Taille de la population 40
Nombre de générations 500
3.2.8.3 Fonction Objectif
On fixe comme objectif, la minimisation de l’erreur e(t) entre la sortie et la consigne. Cet objectif peut être défini par plusieurs indices numériques (ISE,IAE, IT AE, Dep.) et seul le comportement désiré peut être un paramètre prépondérant à prendre en compte pour faire un bon choix parmi ces indices. Dans notre propos, nous avons opté pour la
minimisation de l’erreur absolue temporelle (IT AE) et le dépassement (Dep):
Ob1 = IT AE (3.18)
Ob2 = Dep (3.19)
Par ces deux critères, il est possible de minimiser l’erreur en régime permanent par l’em- ploi de (IT AE) et de pénaliser les dépassements qui peuvent apparaitre durant le régime transitoire (en minimisant IT AE) par l’emploi du critère (Dep).
3.2.8.4 Méthodes de sélection
Nous avons vu, dans le chapitre 2 que la résolution d’un problème d’optimisation multi-objectif à base d’algorithmes génétiques peut se faire selon deux approches: agré- gative (approche non Pareto) et non agrégative (approche de Pareto).
Si on utilise comme méthode de résolution, la première approche, il devient alors né- cessaire de combiner les deux objectif Ob1 et Ob2 en un seul objectif Ob représentatif,
soit :
Ob = λ1· Ob1+ λ1· Ob2 (3.20)
où λ1 et λ2 sont des poids de pondération. Comme on se retrouve avec un seul objectif
(Ob), une méthode de sélection telle que le tournoi ou la roulette biasiée seront suffi- santes pour entamer la procédure d’optimisation. Néanmoins, il faut noter que le choix des valeurs de λ1 et λ2 n’est pas toujours aisé, seule la connaissance a priori des plages
de variation des deux objectifs Ob1et Ob2 peut être considérée pour choisir les poids ap-
propriés.
Quant à la deuxième approche (approche de Pareto), elle présente l’avantage de ne pas nécessiter un choix de poids de pondération et permet de trouver en une seule exécution l’ensemble des solutions du front de Pareto.
Nous utilisons donc deux méthodes de sélection. La première est celle du tournoi (ap- proche agrégative) et la deuxième est basée sur le NSGA-II, l’un des algorithmes repré- sentatifs de l’approche non agrégative.
3.2. OPTIMISATION DES CONTRÔLEURS FLOUS DE TYPE MAMDANI PAR ALGORITHMES GÉNÉTIQUES SIMPLES 75 3.2.8.5 Résultats de l’optimisation pour la première méthode (tournoi)
Les résultats obtenus sont illustrés par les figures 3.12 à 3.15. La figure 3.12 montre les fonctions d’appartenance correspondantes au meilleur chromosome de la poulation initiale. les valeurs des facteurs d’échelle sont donnés par le tableau 3.4.