Une fois le cube dé-mélangé, chaque spectre est représenté comme une combinai- son convexe de spectres de bases. En voyant ces coefficients comme des probabilités d’appartenance à une classe, on peut produire une partition des spectres. Plutôt que d’assigner chaque spectre à la classe à laquelle il appartient avec la probabilité la plus importante, on peut essayer de faire apparaître une régularité spatiale dans le
clustering.
6.3.1
Modèle d’Ising-Potts
Ising a développé au début des années 1920 un modèle de mécanique statistique permettant d’étudier les changements de phase dans un réseau cristallin. Développé à l’origine pour le ferro-magnétisme, le modèle consiste en un graphe (souvent un réseau) Λ où chaque sommet possède un moment magnétique σi ∈ {−1, 1}. Chaque
sommet interagit avec ses voisins. L’énergie d’une configuration est donnée par
H(σ) =X i hiσi+ X i∼j µi,jσiσj. (6.1)
Le modèle de Potts généralise le modèle d’Ising en permettant aux variables σ de prendre k différentes valeurs. L’énergie est alors donnée par
H(σ) =X i hiσi+ X i∼j µi,jδ(σi, σj), (6.2)
où δ est le δ de Kronecker.
On applique ce modèle aux images dé-mélangées H ∈ ∆n1×n2
k , en posant H(σ) =X i∈I hi1,i2,σi+ µ X i∼j δ(σi, σj),
où I = {1, · · · , n1} × {1, · · · , n2} représente les coordonnées de chaque spectre, et
où
i ∼ j ⇔ |i1− j1| + |i2− j2| ≤ 1
est la relation définissant les arêtes du graphe de voisinage. Pour régulariser le cube des abondances, il faut alors maximiser la fonction H définie équation 6.2.
L’optimisation des fonctions d’énergie de ces modèles est généralement longue. C’est le cas en utilisant les méthodes type Monte-Carlo par chaîne de Markov. Dans ces méthodes, on procède en effet généralement pixel par pixel. On change la valeur d’un pixel, on observe le changement d’énergie que cela induit, et, en fonction d’un paramètre de température, on accepte ou refuse alors ce changement. Dans ce genre de problématique, il y a souvent beaucoup de minima locaux, et la solution que l’on va produire dépendra fortement de la gestion de la température. Ce type de technique a souvent été utilisé faute de mieux, le problème étant dans certains cas NP-dur, comme expliqué dans Boykov et al. (2001). Il existe cependant des techniques d’approximation efficaces.
6.3.2
Optimisation par min-cut
Plutôt que de faire un seul changement à chaque itération, Boykov et al. (2001) proposent d’en faire plusieurs à la fois, en opérant itérativement à une extension ou à un échange, les deux procédures de base de calcul définies dans l’article. Ces deux ingrédients s’appliquent non à un pixel seul, mais à sous-ensemble de pixels. Ces deux changements peuvent être calculés de façon optimale par min-cut, et, en itérant ces changements, les auteurs démontrent que l’on parvient à trouver un minimum proche du minimum global.
L’algorithme décrit dans l’article propose donc une succession de changements élémentaires, basés sur des min-cut. L’idée est de ne s’intéresser pour la configuration courante, qu’aux pixels appartenant à deux classes notées α et β. On construit un graphe où chacun de ces pixels est un sommet, et où il existe une arête reliant deux pixels voisins p ∼ q. A ces sommets et arêtes, on ajoute encore deux sommets, appelés sommets terminaux, notés sα et tβ. Chaque sommet représentant un pixel p
est relié par une arête à sα et tβ , appelée arête terminale. Ces arêtes sont pondérées
de façon à faire correspondre une sα-tβ coupe minimale à la meilleure configuration
possible. En effet, une telle coupe doit inclure exactement une des arêtes terminales. L’arête terminale restante détermine la classe du pixel considéré. Ces considérations sont illustrées figure 6.4.
6.3.3
Autres solutions envisagées
Sα
Tβ
Figure 6.4 – Une coupe minimale (en pointillés) définissant une configuration op- timale.
Par ligne de partage des eaux
Une des autres solutions envisagées pour la régularisation spatiale des résultats est de commencer par une segmentation du cube. Une fois le cube divisé en régions, on regarde pour chacune d’elles à quelle classe appartient la majorité des pixels. On assigne ensuite l’ensemble des pixels de la région à cette classe. Plus précisément, le
i-ème pixel, contenu dans la région Rh, est dans la classe Ck si et seulement si
i ∈ Ck ⇔ i ∈ Rh et ∀l X j∈Rh δ (k, max mj) ≥ X j∈Rh δ (l, max mj) .
La partie compliquée de cette régularisation spatiale réside donc dans la partie segmentation. Une méthode simple de segmentation est la ligne de partage des eaux. Cette méthode propose de détecter les contours sur une image Rm ×Rn → R en
utilisant une analogie issue de la topographie. On considère la valeur de chaque pixel comme une altitude, et on détecte les minimums locaux d’altitude sur l’image. On place sur chacun de ces derniers une source, qui va petit à petit inonder les pixels qui la bordent, en fonction de leur altitude. Quand deux sources se rejoignent, on a déterminé un pixel appartenant aux contours. Cette idée repose sur le fait que l’on peut comparer les valeurs d’altitude entre deux pixels. Dans le cas des hypercubes, comme un pixel a pour valeur un vecteur, il est difficile de trouver un ordre naturel permettant une telle comparaison. Pour tester rapidement la méthode de régularisation par LPE, nous avons donc travaillé sur la première composante principale du cube. Les résultats ne sont pas convaincants, comme en atteste la figure 6.5. Il est certainement possible d’améliorer quelque peu la méthode, en recourant à des opérations de morphologie mathématique plus sophistiquées, comme par exemple
Figure 6.5 – Ligne de partage des eaux sur la première composante principale de Urban
Figure 6.6 – Clustering naïf / par LPE / par Potts
au gradient morphologique. C’est le choix fait dans Tarabalka et al. (2008). La méthode semble, tout du moins expérimentalement, moins efficace que celle proposée dans le paragraphe précédent, toujours d’après les travaux de Tarabalka et al. (2010). On peut comparer les résultats offerts par la méthode décrite dans ce paragraphe à ceux du paragraphe précédent sur la figure 6.6. Le constat est sans appel.
Par opérateurs morphologiques et SVD d’ordre supérieur
D’autres méthodes encore proposent d’intégrer les informations spatiales au clus-
tering. L’idée est de sélectionner des features qui prendront en compte le côté spatial.
En incluant ces features spatiaux supplémentaires dans le clustering, on espère alors mettre en avant la cohérence spatiale du résultat. On calcule pour cela des pro-
la concaténation des images de chaque tranche obtenue en faisant varier les para- mètres d’une certaine opération morphologique (type ouverture ou fermeture). On obtient ainsi un tenseur d’ordre 4. Comme cela représente énormément de données, souvent redondantes, on procède alors ensuite à une réduction de la dimension, par une analyse en composantes indépendantes dans Mura et al. (2011), ou par une SVD d’ordre supérieur dans Velasco-Forero et Angulo (2013). Nous présentons ce genre d’outils tensoriels dans la section 6.4. Faute de temps, nous n’avons pas expérimenté ces techniques, mais elles semblent de prime abord très demandeuses en temps de calcul.