Régularisation avec les champs de Markov

Les champs de Markov permettent de régulariser l’étiquetage des pixels, obtenu dans notre cas à partir de la classification par k-moyennes, en prenant en compte les relations spatiales (de voisinage) entre les pixels. La probabilité qu’un pixel appartienne à une classe ne dépend plus de son niveau de gris seulement, mais aussi de ses voisins.

(a) 0 50 100 150 200 250 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Région N° 1 : Moyenne = 120.6277 et Ecart−type = 13.3275

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Région N° 2 : Moyenne = 62.6714 et Ecart−type = 15.0903

Niveau de gris

Probabilité d’apparition

(b)

Figure 2.2 – Illumination non constante des pixels de la même image et de la même couche. (b) Histogrammes des régions définies dans (a).

La classification est faite selon l’estimateur MAP (maximum a posteriori), c’est-à-dire en cherchant la réalisation qui maximise la probabilité des étiquettes conditionnellement à l’image observée. Afin de mieux déterminer la nature du bruit présent dans les images OCT que nous traitons (images prétraitées et sommées (section 1.3)), nous avons testé la distribution des pixels de chaque couche rétinienne. Dans la figure 2.3, nous avons calculé cette distribution pour les couches RNFL (région n°1), GCL+IPL à gauche (région n°2) et à droite (région n°3), INL (région n°4), ONL (région n°5) et la zone HRC (région n°6) . Visuellement, les histogrammes empiriques semblent pouvoir être approchés par des gaussiennes et nous avons donc effectué un test de normalité sur l’intensité de pixels. Nous avons appliqué le test de Kolmogorov-Smirnov [Massey, 1951] qui nous a permis, à partir d’une loi gaussienne de moyenne et écart-type estimés à partir des histogrammes, de comparer et valider la nature de la distribution avec un degré de confiance à 95%. Le test a été appliqué sur un ensemble d’images acquises avec les deux appareils (Topcon et Spectralis), pour les sujets sains et pathologiques (rétinopathie pigmentaire et maladie de Stargardt).

En imagerie, le champ de Markov se traduit par le fait qu’une caractéristique d’un site (niveau de gris, étiquette, ...) ne dépend que des caractéristiques des pixels voisins. Dans le cas de la segmentation, le champ markovien W est défini sur l’espace des étiquettes des classes recherchées. La probabilité a posteriori d’un champ d’étiquettes, étant donnée une observation f (réalisation d’un champ aléatoire F ), est alors sous la forme :

P (W = w | F = f) = P (F = f | W = w) × P (W = w)

P (F = f ) (2.1)

En supposant que la réalisation de l’image est indépendante pour chaque pixel s et que le niveau de gris fsne dépend que de l’étiquette ws en ce site, le terme d’attache aux

données P (F = f | W = w) est alors :

P (F = f | W = w) =

s

(a) 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 1 : Moyenne = 173.9543 et Ecart−type = 14.0466

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 2 : Moyenne = 107.5106 et Ecart−type = 11.984

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 3 : Moyenne = 119.1875 et Ecart−type = 12.2295

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 4 : Moyenne = 80.5446 et Ecart−type = 9.4399

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 5 : Moyenne = 44.1939 et Ecart−type = 13.9092

Niveau de gris Probabilité d’apparition 0 50 100 150 200 250 0 0.05 0.1 0.15

Région N° 6 : Moyenne = 183.7453 et Ecart−type = 16.1467

Niveau de gris

Probabilité d’apparition

(b)

Figure2.3 – Analyse de l’intensité des pixels. (b) Histogrammes des régions définies dans (a). En rouge la gaussienne qui approche au mieux l’histogramme.

Dans le cas d’un bruit gaussien, cette probabilité est alors définie par :

P (fs|ws= i) = 1 √ 2πσi e− (fs−μi)2 2σ2_{i (2.3)}

où μi et σi sont respectivement la moyenne et l’écart-type de la classe i.

Nous utilisons le modèle de Potts [Besag, 1986] afin d’exprimer l’interaction entre des pixels s et t voisins. En se limitant aux cliques d’ordre 2, la probabilité a priori sur la distribution du champ d’étiquettes est alors :

P (W = w) = 1 Ze −U (w) _(2.4) P (W = w) = 1 Ze −β  (s,t)voisins ϕ(ws,wt) (2.5) où Z est la fonction de partition de Gibbs et ϕ(ws, wt) =



−1 si ws= wt

1 si ws= wt .

P (f ) est constante et elle n’est pas intéressante dans l’estimation du champ markovien W . En utilisant le théorème de Hammersley-Clifford [Besag, 1974], qui nous permet de

qu’il n’existe pas de configuration de probabilité nulle, l’énergie a posteriori est présentée comme suit : U (w | f) = s  (fs− μws)2 2σ2 ws + ln(√2πσws)  + β  (s,t) voisins ϕ(ws, wt) (2.6)

Cette fonction d’énergie est constituée de la somme de deux termes : un terme d’at- tache aux données, provenant de la distribution gaussienne des intensités, et un terme de régularisation, défini par le modèle de Potts. Le paramètre β, empiriquement fixé, assure le compromis entre la fidélité aux observations et la régularité imposée. La confi- guration optimale est celle qui correspond au minimum de U (c’est-à-dire qui maximise

P (W = w | F = f )).

Nous utilisons l’algorithme de recuit simulé afin de trouver une configuration d’énergie minimale. L’idée du recuit simulé est d’intégrer un paramètre température (T ) et de simu- ler un recuit en diminuant petit à petit cette température [Geman and Geman, 1984]. Pour simuler cette évolution, la méthode du recuit simulé utilise l’échantillonneur de Gibbs.

2.1.2.1 Choix des paramètres

2.1.2.1.a Les paramètres de la distribution gaussienne

La première classification, réalisée par l’algorithme des k-moyennes, permet d’initialiser l’image des étiquettes et les paramètres des distributions gaussiennes. Les paramètres μi

et σi du modèle gaussien sont respectivement la moyenne et l’écart-type des classes de

pixels obtenues à partir de la classification par k-moyennes. La classification est donc non-supervisée.

2.1.2.1.b Le modèle de Potts

Pour les images 2D-OCT, un voisinage de type 8-connexité permet d’avoir une classi- fication de bonne qualité.

Le choix de la pondération du terme de régularisation, β, influence aussi la qualité du résultat final. En augmentant ce paramètre on donne de plus en plus d’importance aux interactions entre pixels voisins. On obtient alors des régions bien homogènes et ainsi on élimine les régions de petites tailles. Au contraire, un β trop petit n’améliorera pas significativement la classification obtenue avec l’algorithme des k-moyennes.

(a) (b)

Figure2.4 – (a) Régularisation avec β = 0.1 et (b) avec β = 5.

Dans la figure 2.4, on illustre l’effet du paramètre β sur la régularisation de la classifi- cation par k-moyennes effectuée dans la figure 2.1 (b) avec K = 2. La valeur optimale du paramètre β, déterminée expérimentalement pour la détection de l’interface supérieure de l’INL, est égale à 5.

2.1.2.1.c La température initiale

Le choix du paramètre T est primordial pour la recherche du minimum global. Si l’on choisit aléatoirement la configuration initiale, une température relativement élevée est nécessaire. Dans notre cas, on initialise le recuit simulé avec le résultat de la classification par k-moyennes et une température assez basse est suffisante. Pour la régularisation du résultat de la figure 2.1 (b), la température initiale a été fixée à T0 = 2 (figure 2.4 (b)).

Nous avons choisi une décroissance géométrique de la température de raison 0, 95. La décroissance est suffisament lente pour que l’algorithme converge vers le minimum global.

2.1.2.1.d Les conditions d’arrêt

Le dernier paramètre que nous discutons est le critère d’arrêt du processus de régula- risation. Les conditions d’arrêt adoptées sont les suivantes :

– vérifier si le nombre maximum d’itérations est atteint (cette condition est primordiale si on veut gagner en temps d’exécution, car chaque itération est l’équivalent à un parcours de toute l’image).

– vérifier la stabilité du résultat en calculant le taux de pixels (τ) qui ont changé d’étiquette.

Nous avons choisi de stopper l’algorithme dès que τ est inférieur à τmax = 10−3, et

de limiter le nombre des itérations à 100. L’algorithme converge en moyenne après une trentaine d’itérations.