Régime de paramètres pour une mesure de parité

L’état cohérent|α_σipeuplant la cavité en présence d’une excitation de mesure_m(t) = (t)(e^−iωdt+e^iωdt), dans un référentiel tournant à la fréquenceω_det en utilisant l’approxi-mation séculaire, satisfait l’équation différentielle

˙

ασ =−i(∆r+ ˜χσ)ασ−i(t)− κ

2ασ, (3.15)

où∆_r =ω_r−ω_d.χ˜_σ étant déjà fixé par la restrictionχ˜_ge = ˜χ_eg, les paramètres libres sont la différence de fréquence entre le résonateur et l’excitation de mesure∆_r(ajustable via la fréquence de l’excitation de mesure), l’amplitude de l’excitation de mesure (t)ainsi que le taux de relaxation du résonateurκ. Le premier paramètre étudié sera∆_r. Cependant, pour bien comprendre le comportement des taux de gain d’information Γ₀₁,Γ₁₀,Γ₁₁ en fonction de ce paramètre, il faut étudier en plus de détails la condition χ˜_ge = ˜χ_eg et ses implications. Comme le montre l’annexe A,χ˜_ge =χ_g1+χ_e2 =−χ_e1+χ_e2, où χ_gi, χ_ei sont les déplacements de la fréquence de résonance de la cavité associés aux états|giet|eidu qubit i. De même, χ˜gg = χg1 +χg2 = −χe1 −χe2 =−χ˜ee. Ainsi, la condition χ˜ge = ˜χeg

implique χ_e1 =χ_e2 et donc χ˜_ge = ˜χ_eg = 0.

La figure 3.2 illustre les taux de gain d’information Γ₀₁,Γ₁₀,Γ₁₁ stationnaires en fonc-tion de ∆_r pour deux valeurs de la phase de l’oscillateur local, φ= 0 et φ=π/2. Claire-ment, lorsque ∆_r = 0, Γ₀₁(φ = π/2) = Γ₁₀(φ =π/2) = 0 et Γ₁₁(φ =π/2) 6= 0. Ainsi, la

Chapitre 3 : Mesures de parité 35 mesure de parité est possible dans le système étudié. Cependant, Γ₀₁(φ = 0) = Γ₁₀(φ = 0)6= 0, ce qui signifie qu’il y aura de la rétroaction due à la mesure. La minimisation de cette rétroaction sera le sujet de la prochaine sous-section.

Lorsque ∆_r = ˜χ_ee (∆_r = ˜χ_gg), il est possible, en principe, de distinguer l’état ee (gg) des trois autres états à l’aide de la mesure. Ce fait est visible sur la figure 3.2. En effet, les taux de gain d’information individuelsΓ₀₁(π/2),Γ₁₀(π/2) sont maximaux pour ces deux points, tandis que la rétroaction Γ₀₁(0),Γ₁₀(0),Γ₁₁(0) est nulle. Ainsi, le choix

∆_r = ˜χ_ee (∆_r = ˜χ_gg) permet de faire une mesure parfaite (cφ−π/2 = 0) des qubits, en gagnant pratiquement autant d’information sur leur état individuel que sur leur état collectif (leur parité).

3.2.1 Optimisation des paramètres dans le régime stationnaire

Cette section a pour but d’optimiser les paramètres pour la mesure de parité dans le régime stationnaire où α˙_σ = 0. Les restrictions nécessaires à ce type de mesure qui ont été trouvées dans les sections précédentes (∆_r = 0,χ˜_ge = ˜χ_eg) seront prises en compte. Le régime stationnaire permet de comprendre comment les différents taux se comportent en fonction des paramètres d’intérêt en gardant les calculs simples. Le régime transitoire sera observé lors des simulations numériques. Dans le cas où l’inverse du taux de dissipation du résonateur1/κest assez petit devant le temps de mesureτ_m, le régime transitoire peut être ignoré complètement. En effet, comme il est montré dans l’annexe D, l’état cohérent

|ασidans la cavité tend vers sa valeur stationnaire exponentiellement à un taux κ/2.

Pour avoir une bonne mesure de parité, il faut minimiser trois quantités face à Γ₁₁(π/2). Premièrement, il faut minimiser la rétroaction. Puisque Γ₁₁(0) = 0, il ne reste queΓ₁₀(0) = Γ₀₁(0)à minimiser. Deuxièmement, il faut minimiser le déphasage induit par la mesure entre les états correspondants à la même parité. Les états propres de la mesure de parité affectés par le déphasage sont les états enchevêtrés |φ_θi= (|egi+e^iθ|gei)/√

2 et |ψ_θi= (|eei+e^iθ|ggi)/√

2avec θ un nombre réel quelconque. Ainsi, il faut minimiser le déphasage induit par la mesure affectant ces états, c’est-à-dire Γ^eg,ge_d etΓ^ee,gg_d . Puisque

˜

χ_eg = ˜χ_ge, Γ^eg,ge_d est déjà nul (voir annexe D). Il ne reste donc que Γ^ee,gg_d à minimiser.

Finalement, il est utile de minimiser le décalage de Stark affectant les états propres de la mesure de parité, c’est-à-dire A^eg,ge_c et A^ee,gg_c . Encore ici, puisque χ˜_eg = ˜χ_ge, A^eg,ge_c = 0, ne laissant que A^ee,gg_c à minimiser. La minimisation de ces trois quantités revient à la maximisation des trois ratios (voir annexe D) :

Chapitre 3 : Mesures de parité 36

2 4 6 8 10

4

3

2

1 0 1

1 0 1 4 3 2 1

Figure 3.3 – Ratios d’intérêt pour la mesure de parité en fonction de χ_e1. La courbe en tirets mauves suit l’échelle en dizaine à droite tandis que les deux autres courbes suivent l’échelle en millier à gauche. L’efficacité de la mesure η = 1. À χe1/κ élevé, le taux de gain d’information sur la parité Γ₁₁(π/2) domine en amplitude les taux nuisibles pour la mesure de parité.

Γ₁₁(π/2) A^ee,ggc

= −2 ˜χ²_ee

˜

χ²_ee−κ²/4

χ˜_eeη κ

, (3.16)

Γ₁₁(π/2) Γ^ee,gg_d =−2

χ˜ee

√η κ

2

, (3.17)

Γ₁₁(π/2) Γ₀₁(0) = 4

χ˜_ee κ

2

. (3.18)

La figure 3.3 illustres ces ratios en fonction de χ_e1. Il est clair, selon cette figure et les équations ci-dessus, qu’il faut maximiser le ratio χ˜_ee/κ = 2χ_e1/κ. Si l’efficacité de la mesure n’est pas parfaite (η < 1), deux de ces ratios sont réduits. Le ratio entre le taux de gain d’information sur la parité et la rétroaction n’est pas affecté par l’efficacité de la mesure puisque Γ₁₁(π/2) dépend de η de la même manière que Γ₁₀(0). Le ratio le plus affecté par une efficacité imparfaite est celui entre le taux de gain d’information sur la parité et le décalage de Stark. De plus, ce ratio dépend de χ_ee/κ linéairement tandis que les autres ratios dépendent de χ_ee/κ d’une manière quadratique. Heureusement, ce ratio n’est pas que le plus dur à optimiser, c’est aussi le moins important des trois à maximiser. En effet, le décalage de Stark est un effet déterministe, cohérent et connu.

Ainsi, son effet peut être corrigé après la mesure. Néanmoins, s’il est assez petit face à

Chapitre 3 : Mesures de parité 37 Γ₁₁(π/2), le décalage de Stark sera négligeable, ce qui en pratique est avantageux.

Une autre condition importante à respecter pour avoir une bonne mesure de parité est que le temps de mesureτ_m soit beaucoup plus petit que les temps de relaxation1/γ_0i et de déphasage 1/γ_φi. Le temps de mesure dépend du temps nécessaire pour atteindre le régime stationnaire qui va comme2/κ(il faut peupler la cavité avant d’avoir une mesure) et de l’inverse du taux de gain d’information stationnaire sur la parité Γ₁₁(π/2). Ainsi,

1/τ_m ∼Minhκ

2,Γ₁₁(π/2)i

Max[γ_0i, γ_φi]. (3.19) Autrement dit, une bonne mesure de parité nécessite de maximiser le ratio χ˜_ee/κ tout en ayant un κ assez grand pour pouvoir gagner de l’information assez rapidement. Il faut donc maximiser χ˜_ee. Dans la limite des grands χ˜_ee/κ, la condition ci-dessus peut se réécrire (voir annexe D)

1/τ_m ∼Minhκ

2, κη|α_eg|²i

Max[γ_0i, γ_φi]. (3.20) Ainsi, l’augmentation du nombre de photons maximal|α_eg|² = (2/κ)²permet d’augmen-ter la vitesse de la mesure. Cette augmentation pourrait compenser une faible efficacité de mesure η. Par contre, elle ne peut pas compenser un faible κ puisque le nombre de photons dans le résonateur ne change pas la durée du régime transitoire.

En résumé, voici comment choisir les paramètres pour effectuer une mesure de parité.

D’abord, il faut choisir les plus grands χe1 =χe2 possible, tout en restant dans le régime dispersif. L’opération de la mesure dans le régime dispersif permet d’éviter les transferts d’énergie entre les qubits et le résonateur. En effet, dans le régime dispersif, l’interaction entre ceux-ci est purement virtuelle. Ensuite, il faut choisir κ pour qu’il respecte χ˜_ee κ Max[γ_0i, γ_φi]. Finalement, il faut envoyer une excitation de mesure en résonance avec la cavité (∆_r = 0) et d’une amplitude suffisante pour que le nombre de photons maximal |α_eg|² compense pour l’efficacité imparfaite de la mesure η. Cependant, pour demeurer dans le régime dispersif, ce nombre de photons doit être beaucoup plus petit que le nombre de photon critique ncrit = 1/(4λ²_0i) [36]. De plus, il est bon de garder en tête que comme le montre l’annexe D, une augmentation de |αeg|² augmente la grandeur de tous les taux, autant ceux qui aident à la mesure de parité que ceux qui lui nuisent.

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