2.3 Conditions aux bords
2.3.5 Récapitulatif des jeux de conditions aux bords
Après avoir discuté des différentes conditions aux bords physiquement accep- tables, nous allons ici proposer plusieurs jeux de quatre conditions aux bords cohé- rentes que nous utiliserons par la suite pour la résolution numérique des équations. Ces divers choix possibles nous permettront de tenter d’apprécier l’influence sur les excitations collectives de chaque phénomène physique associé à une condition. 1. Le premier jeu que nous proposons est celui qui satisfait le mieux notre intuition et que nous retrouvons communément dans la littérature sur ce sujet. Notamment ces conditions satisfont celles imposées dans les articles mentionné précédemment [83, 104, 60].
1
v⊥ni(t, r) = v⊥pi(t, r) pour r ∈ S
[v⊥a] = 0
[P ] = 0
(2.72) Regardons ici en quoi ces conditions aux bords donnent des résultats tout à fait raisonnables lorsqu’on les applique à des excitations monopolaires et dipolaires géantes de noyaux isolés. Nous nous intéresserons en particulier au cas de la matière symétrique, c’est-à-dire que nous aurons autant de protons que de neutrons (N = Z = A/2). Dans notre approche hydrodynamique ces noyaux sont des sphère homogènes dont les surfaces sont délimitées nette- ment avec un rayon R. Dans la mesure où notre interaction de référence sera celle de type RMF dénommée DDHδ [6], nous nous placerons à la densité de
saturation nucléaire lui correspondant, soit n0 = 0.153 fm−3 et nous aurons
np = nn = n0/2.
Tout d’abord, regardons le mode iso-scalaire monopolaire où les neutrons et les protons oscillent ensemble radialement. La solution de l’équation d’onde à l’intérieur des noyaux satisfait la relation suivante :
δµn = δµn∝ j0(ωr/u+) (2.73)
où jl représente les fonctions de Bessel sphériques et u+ = 0.169 c définie
la vitesse du son pour une oscillation de neutrons et protons en phases, c’est-à-dire mouvant ensembles dans le même sens. Comme ces particules ont la même vitesse, les conditions aux bords sur les vitesses du jeu 1 sont
automatiquement vérifiées. Par contre la condition sur la pression nécessite d’avoir :
δµa(r = R) = 0 (2.74)
Ainsi d’après 2.73 et en sachant que j0(x) = sin(x)/x nous trouvons que
l’énergie du mode monopolaire associé est ~ω = π~u+/R ≈ 90M eV /A1/3.
Concernant le mode isovectoriel dipolaire géant, appelé Giant-dipole Reso-
nance (GDR), les neutrons et les protons se déplacent maintenant en sens
opposé dans une direction donnée, par exemple z. Notre approche ici est similaire à celle du modèle de Steinwedel-Jensen pour les GDR [94]. De la même manière nous trouvons que la solution de l’équation d’onde dans le noyau satisfait cette fois-ci la relation suivante :
δµn = −δµp ∝ j1(ωr/u−) cos(θ) (2.75)
où θ représente l’angle entre le vecteur position r et l’axe z. Dans ce cas nous avons la vitesse du son associée au mouvement en opposition de phase
des particules qui est pour notre interaction u− = 0.233 c. Ce mouvement
des particules nous permet de voir que la condition sur la pression, où δP =
nnδµn+npδµp, est satisfaite automatiquement. Mais ce sont les conditions sur
les vitesses qui vont devenir intéressantes ici, puisqu’en utilisant l’équation 1.131 qui dans ce cas s’écrit :
∂tpa = −∇δµa (2.76)
nous trouvons que le champ radial de vitesse est proportionnel à
vrn = −vrp ∝
∂δµ
∂r ∝ j
′
1(ωr/u−) cos(θ) (2.77)
Ainsi, connaissant la valeur qui annule la fonction j′
1, les conditions sur les
vitesses, qui doivent être nulles en r = R, nous donnent la relation ~ω =
2.08~u−/R ≈ 82M eV /A1/3.
Ces deux résultats pour des excitations de type monopolaire et isovecto- riel GDR sont relativement satisfaisant, notamment pour les noyaux lourds, bien que les énergies mises en jeu soient plus grandes que le gap d’énergie qui caractérise la limite de validité de notre modèle. Ainsi, à strictement parler, nous ne devrions pas utiliser une approche hydrodynamique pour ce type d’excitation. Mais si ces résultats sont convenables malgré tout, c’est que pour ces résonances particulières, les déformations de la surface de Fermi n’entrent pas en compte ici, de ce fait l’hydrodynamique continue de bien fonctionner même si nous sommes en absence d’appariement. Ce petit exemple vient nous montrer qu’il existe des cas où même en dehors
des limites de validité des équations hydrodynamique l’approche donne des résultat convenables. Ce qui nous conforte dans l’utilisation de l’hydrodyna- mique pour notre modèle d’excitations collectives dans la croûte interne des étoiles à neutrons.
2. Ce deuxième jeu de conditions reste pour le moins peu classique, mais rien ne nous empêche de l’utiliser dans la mesure où il pourrait donner des résultats satisfaisant. Ces conditions sur les potentiels chimiques rendent la perturba- tion en pression discontinue à l’interface mais la pression à l’équilibre reste par contre continue. Ainsi cette discontinuité n’intervient que pour de pe- tits écarts par rapport à l’équilibre n’affectant en aucun cas les propriétés dynamiques globales du système.
2
([v⊥a] = 0
[µa] = 0 (2.78)
3. Ce troisième jeu de conditions est tout à fait similaire au précédent mais il a l’avantage de ne définir qu’une seule surface de séparation. Nous avons éliminé la condition sur le potentiel chimique des protons dans la mesure où nous aurons affaire à des protons confinés dans une des deux phases.
3
v⊥ni(t, r) = v⊥pi(t, r) pour r ∈ S
[v⊥a] = 0
[µn] = 0
(2.79)
4. Et enfin nous terminerons par celles qui sont le moins réalistes mais qui serviront de comparaison, nous laisserons donc passer les neutrons d’une phase à l’autre.
4
[nnv⊥n] = (nni− nn(i+1))v⊥pi [v⊥p] = 0 [µa] = 0 (2.80)En résumé chacune de ces conditions aux bords est le reflet de limites crées par certaines hypothèses simplificatrices. Celles-ci sont essentiellement, à mon sens, le défaut d’épaisseur de peau, qui implique des discontinuités dans les densités, l’absence d’effets microscopiques plus complexes tels que des effets dissipatifs ou des effets de tension de surface, l’approximation de température nulle qui rend les fluides « parfaits » et l’absence d’interaction électromagnétique.
Ceci dit, nous aurons tendance à dire que la condition de continuité de la pres- sion est plus représentative de phénomènes collectifs, faisant intervenir en quelque
sorte des moyennes sur un ensemble de particules. Cette condition, comme nous l’avons dit, entraîne la conservation de la densité totale d’impulsion. Nous pour- rions faire le rapprochement avec les collisions élastiques entre deux particules de masse différentes. La particule peu massive, associée pour nous au gaz de neutrons peu dense, accélèrerait davantage que la particule plus massive, associée à la phase dense de matière nucléaire, lors d’un transfert d’impulsion d’une particule à l’autre pendant la collision. Cette condition est représentative, d’une certaine façon, du mouvement de chaque phase, plus ou moins dense, de manière dissociée.
Alors que la condition sur les potentiels chimiques est plus spécifique d’un phénomène individuel des particules qui restent malgré tout cohérente entre elles de part et d’autre des interfaces. Ainsi la force, i.e. le gradient du potentiel chimique, est source d’une accélération de chaque particule qui reste identique de chaque côté de l’interface. Les déplacements qui en résulte de chaque côté sont tels qu’aucun trou n’apparait à l’interface, laissant satisfaites les conditions cinématiques établies précédemment.
Cette discussion n’est en fait que le reflet des difficultés que rencontre tout scientifique qui se retrouve à devoir jongler entre prédiction espérée et surprise expérimentale. Il est clair qu’un scientifique doit être capable de faire des modèles prédisant des résultats qui sont observés « expérimentalement ». J’entends par expérience tout système physique réel, même si ce sont des objets astrophysiques. Mais un scientifique doit aussi chercher à observer ce que les modèles ne sont pas capable de prédire. Afin de faire évoluer son modèle, et ainsi faire avancer la science. Mais pour réussir cet exercice de l’esprit il faut réussir à dépasser ce que nos habitudes nous empêchent de percevoir et laisser part à notre imagination, tel un aveugle de naissance qui essayerait d’imaginer la couleur bleue.
Ici nous aimerions bien prendre les conditions aux bords sur la pression, qui sont bien établies dans la littératures, afin d’assoir fermement notre conception du modèle. Mais n’est-ce pas en prenant des conditions aux bords peu intuitives et aux résultats pas forcement attendus que la science pourrait potentiellement évoluer ?
Bien sûr ce seront des observations « expérimentales » suffisamment précises qui départageront les bonnes des mauvaises conditions aux bords.
C’est donc dans cet esprit qu’il me semble important d’aborder le plus grand nombre de conditions aux bords réalistes pour garder en vue cette démarche scien- tifique d’ouverture plus que dans l’intention d’obtenir un jour une discrimination expérimentale.