Réalisation géométrique substitution de Tribonacci

19+3^√33+√³

19−3^√33+1 3

(voir pour cela section I p.133) on obtient le pavage géométrique associé suivant :

𝑎 𝑏 𝑐

FIGURE1.3 – Réalisation géométrique substitution de Tribonacci

Remarque 1.I.22. On peut également citer le ou plutôt les pavages de Penrose qui ont mis en lumière l’importance des substitutions pour construire des pavages apériodiques, quasi-périodiques et autosimi-laires.

I.5- Définitions et propriétés associées aux pavages par substitution

On va se restreindre aux actions par translations sur un pavage euclidien deℝ^𝑑 𝑃, c-à-d le groupe

𝐺=ℝ^𝑑 et l’on notera𝑡⋅𝑃 =_𝑃 +_{𝑡, 𝑡}∈ℝ^𝑑.

Nous détaillerons plus loin la notion d’enveloppe d’un pavage (en particulier les questions topologiques) mais pour pouvoir donner certaines définitions nous devons définir cette notion.

Définition 1.I.23(enveloppe d’un pavage deℝ^𝑑 [KP00, RW92, GS86]). On note et définitl’enveloppe

continueΩ_𝑇 d’un pavage𝑇 deℝ^𝑑 comme l’ensemble des pavages𝑇^′ satisfaisant la propriété que pour

Chapitre 1. Introduction aux pavages hyperboliques issus de substitutions

Remarque 1.I.24. Une autre manière de décrireΩ_𝑇 est l’ensemble des pavages deℝ^𝑑 localement de la forme de𝑇.

On peut alors définir une métrique surΩ_𝑇 comme suit : soient𝑃 , 𝑃^′∈ Ω_𝑇, posons

𝐴(𝑃 , 𝑃^′) = inf{𝜀∈ [0,√ 2∕2]; ∃𝑡∈ℝ^𝑑,|𝑡|< 𝜀, 𝑃 ∩_𝜀−1(0) = (𝑃^′+𝑡) ∩_𝜀−1(0)}. On pose alors 𝑑(_{𝑃 , 𝑃}′) = { 𝐴_√(𝑃 , 𝑃^′) si𝐴(𝑃 , 𝑃^′)≠∅ 2 2 sinon

Nous allons maintenant relierΩ_𝑇 aux orbites de pavages dont nous rappelons ci-dessous la définition.

Définition 1.I.25(orbite de𝑇). L’orbited’un pavage euclidien𝑇 est notée et définie par (𝑇) = {𝑇 −𝑥, 𝑥∈ℝ^𝑑}.

Nous pouvons alors relier les deux entités par la proposition suivante.

Proposition 1.I.26. La fermeture de(𝑇)pour la topologie induite par la métrique 𝑑est l’enveloppe

Ω_𝑇 tout entière

On donne maintenant une définition classique et centrale dans l’étude des pavages. On rappelle qu’un

ℝ^𝑑-patch est la classe d’un patch modulo l’action deℝ^𝑑 par translations.

Définition 1.I.27(complexité locale finie). On dit que le pavage𝑃 possède une complexité locale finie si pour tout réel𝑅 >0il existe un nombre fini deℝ^𝑑-patchs de diamètre plus petit que𝑅.

Ce qui nous amène à la proposition suivante.

Proposition 1.I.28([FBF+02],[Sad08]). Les pavages de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci sont de complexité locale finie.

On verra par la suite que la complexité locale finie est essentielle dans l’étude dynamique des pavages en particulier de leurs enveloppes continues qui seront alors des espaces topologiques compacts ainsi que la caractérisation en ensemble de Cantor pour les transversales canoniques. On donne également un théorème fondamental sur la topologie de cet espace de pavages.

Théorème 1.I.29(Rudolph,[MSMSS89]). L’espace métrique(Ω_𝑇, 𝑑)est complet et si de plus𝑇 est de

complexité locale finie alorsΩ_𝑇 est compact.

Corollaire 1.I.30. Si𝑇 est un pavage simple alorsΩ_𝑇 est un espace compact.

Démonstration. Il suffit de remarquer qu’un pavage simple est FLC et d’appliquer le Théorème 1.I.29

p.6.

Définition 1.I.31(pavage apériodique,[Sad08]). On dit que le pavage𝑇 estcomplètement apériodique

pour l’action deℝ^𝑑 pour tout𝑃 ∈ Ω_𝑇, l’égalité𝑃 +𝑡=𝑃 implique𝑡= 0.

Remarque 1.I.32. Considérons le pavage𝑇 = (𝑡_𝑖)_𝑖∈ℤavec𝑡0 = 𝑏et𝑡_𝑖 =𝑎pour tout𝑖 ≠0. Ce pavage n’est pas périodique, mais contient le pavage périodique𝑃 = (𝑝_𝑖)_𝑖∈ℤdéfini par𝑝_𝑖 = 𝑎pour tout𝑖 ∈ ℤ

dans son enveloppe.

I. Pavages euclidiens classiques

Proposition 1.I.33. [FBF+_{02, chapitre 5] Les pavages de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci sont}

complètement apériodiques.

Définition 1.I.34(répétitivité). On dit qu’un pavage 𝑃 deℝ^𝑑 estrépétitif si pour tout patch𝑝de𝑃 il existe un réel positif non nul𝑅_𝑝 tel que toute intersection de 𝑃 avec une boule de rayon𝑅_𝑝 dans ℝ^𝑑

contient la translation de𝑝par un élément deℝ^𝑑.

Théorème 1.I.35(Gottschalk,[GH55]). Le système dynamique(Ω_𝑇,ℝ)est minimal (c-à-d tout les orbites sont denses) si et seulement si le pavage est répétitif.

Les pavages de Fibonacci, Thue-Morse (voir [FBF+02]) et Tribonacci (voir [CHM01]), entre autres, vérifient cette propriété dynamique.

I.6- Notions de supertuiles, couronnes et propriétés associées

On se donne une substitution𝜎 sur un alphabet= {𝑎_𝑖,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}. Pour pouvoir étudier plus en détail cette substitution, on est amené à regarder des objets plus grands que les prototuiles, c’est l’objet de la définition suivante.

Définition 1.I.36(𝑛-supertuiles). Soit𝑛 ∈ ℕ, on appelle𝑛-supertuile de type𝑖le patch du pavage cor-respondant à𝜎𝑛(𝑎_𝑖).

Dans l’étude des substitutions et des pavages qui en découlent, on a besoin non seulement de se concentrer sur une tuiles mais aussi celles qui l’entourent, c’est exactement l’objet des couronnes.

Définition 1.I.37(couronnes). Soient𝑃 un pavage, 𝑝 ∈ 𝑃 une tuile de 𝑃 et 𝑛 ∈ ℕ∗. On appelle

1-couronne(ou plus simplement tuiles coloré) de𝑝le patch de 𝑃 contenant𝑝et ses voisins (c’est-à-dire

les tuiles ayant au moins un sommet commun la tuile considérée). On appelle𝑛-couronnele patch de𝑃

contenant la𝑛− 1-couronne de𝑝et toutes les tuiles voisines.

Avant de continuer on définit une notation supplémentaire. Afin d’éviter l’usage récurrent d’indice pour les lettre d’un mot autour de l’origine, on notera par exemple le mot⋯𝑎−1𝑏0𝑐1^⋯par ⋯𝑎.𝑏𝑐⋯ signifiant que la lettre démarrant en l’origine 0 est la lettre𝑏0.

Exemple 1.I.38(voir Proposition 6.I.4 p.89). Pour le pavage de Fibonacci, on a exactement quatre 1-couronnes :

(𝑎).𝑎(𝑏),(𝑏).𝑎(𝑏),(𝑎).𝑏(𝑎),(𝑏).𝑎(𝑎)

où la tuile centrale est celle non-parenthésée.

On peut alors donner la propriété suivante dont la preuve est immédiate.

Proposition 1.I.39. Un pavage est de complexité locale finie si et seulement si pour tout entier𝑛, il y a

un nombre fini de𝑛-couronnes.

Définition 1.I.40(pavage à partir de couronnes). A tout pavage𝑇, on peut lui associer un pavage𝑇_{𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}

dont les tuiles sont les tuiles de𝑇 indexées suivant les 1-couronnes.

Remarque 1.I.41. Si 𝑇 est de complexité locale finie alors 𝑇_{𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒} l’est également, par conséquent

Ω_{𝑇𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒} est compacte.

Proposition 1.I.42. L’application

Ω_𝑇 →Ω_{𝑇𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}, 𝑇^′↦𝑇_{𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}^′

Chapitre 1. Introduction aux pavages hyperboliques issus de substitutions

Démonstration. Soit𝑝un patch de𝑇_{𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}^′ . Soit𝑝^′ le patch obtenu en prenant toutes les tuiles voisines de 𝑝en oubliant l’indexation. Alors 𝑝^′ est un patch de 𝑇^′ et l’image réciproque de 𝑈(𝑝, 𝜀) = {𝑇^′′ ∈ Ω_{𝑇𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}; ∃𝑡∈] −𝜀, 𝜀[tq𝑝patch de𝑇^′′+𝑡}⊂Ω_{𝑇𝑐𝑜𝑢𝑟𝑜𝑛𝑛𝑒}est incluse dans𝑈(𝑝^′, 𝜀)⊂Ω_𝑇. L’application est donc continue.

L’application réciproque consiste à oublier l’indexation. L’équivariance est immédiate.

I.7- Forçage de bords

Avant d’à proprement parler de cette notion, il convient de remarquer sur des exemples des limitations que l’on peut rencontrer lorsque l’on veut construire un pavage comme point fixe d’une substitution. Commençons par regarder ce qu’il se passe lorsque l’on itère la substitution de Fibonacci, on obtient en commençant par𝑎les séquences suivantes

𝑎, 𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑎, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏,⋯ et en commençant par𝑏

𝑏, 𝑎, 𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎, 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏,⋯

Remarquons que quelque soit la tuile de départ choisie, on se ramène au même cas car𝑏devient un tuile

𝑎sous l’action de la substitution. Ainsi l’extension vers la droite sur la partie deℝ+est bien définie. En ce qui concerne par exemple la substitution de Thue-Morse, on se trouve dans le cas où l’on a deux choix d’extension vers la gauche selon que l’on commence par une tuile𝑎ou une tuile𝑏.

Malheureusement pour ces deux substitutions, on ne peut à priori pas étendre vers la gauche sans faire plusieurs hypothèses. Nous avons alors besoin de la notion de forçage de bords et de celle de mot bi-infini

𝜎-admissible.

Définition 1.I.43(forçage de bords [Kel95]). Soient= {_𝑎𝑖,1≤ 𝑖≤𝑛}un alphabet et𝜎 ∶^∗ →^∗ une substitution. On dit que𝜎 force les bordss’il existe un entier𝑛 ∈ ℕ∗ tel que deux𝑛-supertuiles de même type aient même voisinage.

Remarque 1.I.44. Cela veut dire que si𝜎force les bords et que𝑛est l’entier de la définition alors une

(_𝑛+_𝑘)-supertuile détermine toutes les𝑘-supertuiles de son voisinage pour tout entier𝑘.

Rappelons que l’on peut réécrire la substitution sur les couronnes en libellant en couronnes les images par la substitution des couronnes. De cette définition va intervenir une propriété centrale pour toute la suite.

Proposition 1.I.45 ([Sad08] p.28). Soient  = {𝑎_𝑖,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}un alphabet et 𝜎 ∶ ^∗ → ^∗ une

substitution primitive. Alors il existe un entier𝑛 ∈ ℕ∗_{tel que}𝜎𝑛 =𝜎◦𝜎◦ ⋯ ◦𝜎vue comme substitution

sur les couronnes force les bords.

Ce qui nous donne pour les substitutions qui nous intéresse la propriété suivante dont la preuve sera donnée plus en avant de ce document.

Proposition 1.I.46.

(i) La substitution de Fibonacci force les bords à l’ordre 2 sur les tuiles colorées (voir Proposition 6.I.6 p.90) ;

(ii) La substitution de Thue-Morse force les bords à l’ordre 1 sur les tuiles colorées (voir Proposi-tion 7.I.4 p.102) ;

(iii) La substitution de Tribonacci force les bords à l’ordre 2 sur les tuiles colorées (voir Proposition 8.I.5 p.117).

I. Pavages euclidiens classiques

Cette notion de forçage de bords nous permettra de construire des mots dits bi-infini𝜎-admissibles dont voici la définition.

Définition 1.I.47(mot bi-infini𝜎-admissible). On dit que𝜔 ∈ ℤest unmot bi-infini𝜎-admissiblesi tout sous-mot fini𝜔0de𝜔est un sous-mot de𝜎^𝑛(_𝑎1)pour un certain𝑛 >0.

I.8- Mot fixe pour une substitution primitive

On commence par le théorème suivant.

Théorème 1.I.48(existence de pavages autosimilaires,[Sad08]). Soit𝜎une substitution primitive, il existe

un entier𝑛∈ℕ∗_{tel que}𝜎𝑛_{admette au moins un point fixe. On appelle ces points fixes, pavages}

autosi-milaires.

Remarque 1.I.49. Ce théorème permet de montrer queΩ_𝜎, l’enveloppe associée qui sera abordée plus tard, est non vide.

Démonstration. Soit𝜎une substitution primitive.Nous allons construire un pavage géométrique fixe pour

la substitution géométrique associéeGeom(𝜎). Donnons nous𝑎∈, alors il existe un entier𝑛∈ℕ∗ tel que toute supertuile (symbolique) d’ordre𝑛contienne une copie de𝑎, par primitivité de la substitution. En notant ̃𝑎la prototuile géométrique deGeom(_𝜎)correspondant à𝑎pour𝜎, alors pour𝑛assez grand on peut alors supposer que toute𝑛-supertuile géométriquẽ𝑡contient une copie de ̃𝑎dans son intérieur. Posons𝑡₁ la réunion des tuiles de la supertuile et𝑡₂ la copie de ̃𝑎que l’on a choisi à l’intérieur de la supertuile.

Si l’on trouve𝑥∈ℝ^𝑑 tel que𝑡1−𝑥=𝜆𝑛(𝑡2−𝑥)alors𝑡1−𝑥sera l’origine de notre point fixe recherché car dans ces conditions la supertuile𝑡₁−𝑥sera le résultat de𝑛applications de la substitutionGeom(𝜎)à

𝑡2−_𝑥.

Commençons par subdiviser𝑡2en tuiles de plus petites tailles (via le facteur_𝜆¹_𝑛) suivant le même schéma selon lequel𝑡₁est subdivisée en tuile. Notons𝑡₃la sous-tuile de𝑡₂occupant la même place que𝑡₂dans

𝑡1.

En continuant le procédé, on obtient une suite généralisée(𝑡_𝑛)_𝑛∈ℕde sous-tuiles dont l’intersection est de diamètre0car𝜆 >1. Ainsi cette intersection est réduite à un point𝑥.

Exemple 1.I.50.

1) Pour la substitution de Fibonacci, il suffit de prendre l’entier𝑛 = 2et prendre le mot fixe provenant de la tuile colorée(_𝑎)_.𝑎(_𝑏)en lui appliquant𝜎²un nombre infini de fois;

2) Pour la substitution de Thue-Morse, l’entier𝑛 = 2convient et il suffit de prendre le mot provenant soit de la tuile colorée(_𝑎)_.𝑎𝑏( on peut également prendre la couronne(_𝑎)_.𝑏(_𝑎)) et l’on a applique la substitution𝜎²un nombre infini de fois;

3) Pour la substitution de Tribonacci, il faut aller chercher l’ordre𝑛= 3et le mot provenant de la couronne

(_𝑎)_.𝑎(_𝑏)auquel on applique𝜎³un nombre infini de fois.

I.9- Cas des substitutions de dimension 1

On va maintenant donner les définitions en rapport avec une substitutionprimitive𝜎 ∶ ^∗ → ^∗ avec= {_𝑎1,⋯, 𝑎_𝑛}.

Rappelons qu’un mot bi-infini𝜎-admissible est un élément𝜔 ∈ ℤtel que tout sous-mot fini𝜔0 de𝜔

soit un sous-mot de𝜎𝑚(𝑎_𝑖)pour un certain𝑚 >0et𝑖∈ {1,⋯, 𝑛}.

Remarque 1.I.51.

Chapitre 1. Introduction aux pavages hyperboliques issus de substitutions

2) La notion de𝜎-admissibilité impose au mot𝜔de respecter les configurations interdites par la substi-tution.

Nous allons maintenant introduire la notion d’espaces des séquences.

Définition 1.I.52(espace des séquences). On note par𝑆_𝜎 l’espace des séquencesdéfini comme l’en-semble des mots bi-infini𝜎-admissibles.

Avant de parler de l’enveloppe d’une substitution nous allons introduire plusieurs notations. On rap-pelle que grâce à la notion de longueur on peut faire correspondre à toute lettre𝑎_𝑘 ∈ un compact𝐼_𝑘

(de longueur𝓁(𝑎_𝑘)). On notera alorsPav(𝐼₁,⋯, 𝐼_𝑛)l’ensemble des pavages deℝdont les tuiles sont de type𝐼_𝑘. Réciproquement, soit𝑇 ∈ Pav(_𝐼1,⋯, 𝐼_𝑛)on notera parSymb(_𝑇)le mot bi-infini dans^∗dont les lettres correspondent aux tuiles de𝑇 et où la lettre d’indice 0 correspond à la tuile de𝑇 contenant l’origine sans que celle-ci soit la borne supérieure de cette tuile (pour obtenir l’unicité de cette définition).

Définition 1.I.53(enveloppe d’une substitution). Soit𝜎une substitution primitive, répétitive et de com-plexité locale finie. On note et définitl’enveloppe de𝜎comme

Ω_𝜎 = {𝑇 ∈ Pav(𝐼1,⋯, 𝐼_𝑛); Symb(𝑇) ∈𝑆_𝜎}.

A présent on va donner un théorème fondamental pour l’étude des substitutions.

Théorème 1.I.54([FBF+02],[Sad08]). Pour toute substitution primitive 𝜎 et tout entier𝑘 ∈ ℕ∗_{, les}

espacesΩ_𝜎 etΩ_𝜎𝑘sont égaux pour tout entier𝑘∈ℕ∗_.

Démonstration. Commençons par remarquer que toute supertuile pour𝜎𝑘est une supertuile pour𝜎. Cela

veut donc dire que l’on a𝑆_𝜎𝑘 ⊂ 𝑆_𝜎.

Pour l’autre inclusion il suffit de remarquer que si 𝜔 se trouve dans𝜎𝑛(𝑎₁)pour un certain 𝑛, alors 𝜔

est aussi dans les supertuiles de type𝑎1 d’ordre plus grand que𝑛. En particulier𝜔 se trouve dans les supertuiles d’ordre𝑙𝑘pour𝑙∈ℕ∗assez grand, ce qui implique𝑆_𝜎 ⊂ 𝑆_𝜎𝑘.

On va maintenant introduire la notion de reconnaissabilité (voir [Que87]). Soit𝜔un mot fixe de^∗. On définit alors un sous-ensemble𝐸1deℕpar

𝐸₁ = {0} ∪ {||_|𝜎(𝜔₀⋯𝜔_𝑝−1)||_|, 𝑝≥1},

où||_|𝜎(_𝜔0⋯𝜔_𝑝−1)||_|désigne le nombre de lettre dans𝜎(_𝜔0⋯𝜔_𝑝−1).

En remarquant que𝜔 =𝜔0^⋯𝜔_𝑝⋯et que𝜔= 𝜎(𝜔0)⋯𝜎(𝜔_𝑝)⋯par construction, alors un entier𝑟est dans𝐸₁s’il existe𝑘∈ℕtel que𝜔₀⋯𝜔_𝑟=𝜎(𝜔₀⋯𝜔_𝑘). La réciproque étant vraie par construction. On peut alors donner la définition de substitutionreconnaissable.

Définition 1.I.55(substitution reconnaissable). On dit que𝜎est reconnaissable s’il existe un entier𝐾 ∈ ℕ∗ tel que

𝑛∈_𝐸1et𝜔_𝑛⋯𝜔_𝑛+𝐾 =_𝜔𝑚⋯𝜔_𝑚+𝐾 ^⟹𝑚∈_𝐸1

Remarque 1.I.56. Cette propriété permet de dire en regardant𝑘lettres successives si𝜔_𝑚est la première lettre d’un supertuile.

Proposition 1.I.57([Que87]). Les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci sont reconnais-sables.

I. Pavages euclidiens classiques

Le problème avec cette propriété est qu’elle est définie vers la « droite » et non bilatère. Or les mots dont nous avons besoin sont des mots bi-infini et donc nous devons utiliser la version plus faible introduite par [Mos92] et dont nous donnons la définition.

Définition 1.I.58 (reconnaissabilité bilatère). On dit que 𝜎 possède la propriété de reconnaissabilité bilatères’il existe𝐿 >0tel que

𝑛∈_𝐸1et𝜔_𝑛−_𝐿𝜔_𝑛−_𝐿+1^⋯𝜔_𝑛+_𝐿 =_{𝜔𝑚−𝐿}⋯𝜔_𝑚+_𝐿 ⟹𝑚∈_𝐸1

Remarque 1.I.59. La propriété de reconnaissabilité bilatère permet de découper un pavage en supertuile de manière unique.

On a alors la propriété suivante.

Proposition 1.I.60(Mossé,[Mos92]). Toute substitution primitive apériodique possède la propriété de reconnaissabilité bilatère.

Remarque 1.I.61. Ainsi les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci sont reconnaissables bilatères.

Une conséquence de la reconnaissabilité est le théorème suivant.

Théorème 1.I.62(Solomyak,[Sol98]). Si𝜎est un substitution primitive et queΩ_𝜎 contient au moins un

élément non périodique, alors tout élément deΩ_𝜎 est non périodique et𝜎s’étend surΩ_𝜎 en un

homéo-morphisme encore noté ̃𝜎∶ Ω_𝜎 →Ω_𝜎.

On peut alors donner un théorème liantΩ_𝑇 etΩ_𝜎.

Théorème 1.I.63([Sad08]). Soit𝜎un substitution primitive et si𝑇 est un élément deΩ_𝜎, alorsΩ_𝑇 = Ω_𝜎.

Remarque 1.I.64. En notant pour un mot bi-infini𝜔∈^∗,Geo(𝜔)le pavage euclidien (par utilisation de la longueur) nous avons que pour tout élément𝜔∈𝑆_𝜎 que

Ω_Geo(𝜔) = Ω_𝜎

De plus le fait queΩ_𝜎𝑘 = Ω_𝜎 pour tout entier𝑘implique qu’en trouvant un mot fixe 𝜔0 (voir Théo-rème 1.I.48 page 9) pour une puissance de la substitution, nous avons

Ω_Geo(𝜔0)= Ω_𝜎. I.10- Transversale canonique

Définition 1.I.65 (transversale canonique). On appelle transversale canonique pour la substitution 𝜎

l’ensemble

Ξ = {_𝑇 ∈ Ω_𝜎;0 est une borne d’une tuile de𝑇}_.

Proposition 1.I.66. Si𝜎 est une substitution apériodique répétitive et de complexité locale finie,Ξest est un ensemble de Cantor.

Démonstration. Soit𝑝un patch on pose

Ξ_𝑝= {𝑇 ∈ Ξ, 𝑝 ⊂ 𝑇}

Alors lesΞ_𝑝forment une base de compacts ouverts deΞ. AinsiΞest totalement discontinu.

En fixant un patch𝑝, le fait que 𝜎 soit répétitive implique le fait qu’il existe une infinité de pavages contenant ce patch. Par conséquentΞest sans point isolé donc est un Cantor.

Chapitre 1. Introduction aux pavages hyperboliques issus de substitutions

De plus au sens des groupoïdes (voir [Ren80]), Ξpermet de définir une transversale au groupoïde

Ω_𝜎 ⋊ℝ(ce qui nous permettra de construire une équivalence Morita pour la 𝐶^∗-algèbre d’un pavage hyperbolique).

Il convient de remarquer que l’application shift surℤinduit alors une application𝔰 ∶ Ξ→ Ξ corres-pondant à la restriction du shift sur la transversale.

Nous pouvons introduire la notion de numération.

Définition 1.I.67(numération). On note parΔ ∶ Ξ ×ℤ→ ℝl’application denumérationdéfinie pour tout(_{𝑇 , 𝑛}) × Ξ ×ℤcomme l’unique réelΔ(_{𝑇 , 𝑛})satisfaisant

𝑇 − Δ(_{𝑇 , 𝑛}) =𝔰^𝑛(_𝑇)_. Remarque 1.I.68.

1. L’unicité provient de l’apériodicité de la substitution. L’application Δ est localement constante donc continue.

2. En notant pour 𝑇 ∈ Ξpar𝑛_𝑇 le nombre de tuiles obtenu en substituant la tuile en l’origine (ou encore si𝑇₀=𝑎_𝑖,𝑛_𝑇 = Card𝜎(𝑎_𝑖)) L’applicationΔvérifie les égalités suivantes :

(a) Δ(𝔰(_𝑇)_,1) = Δ(_{𝑇 ,}2) − Δ(_{𝑇 ,}1); (b) Δ(_𝜎(𝔰(_𝑇))_,1) = Δ(_𝜎(_𝑇)_{, 𝑛𝑇} + 1) − Δ(_𝜎(_𝑇)_{, 𝑛𝑇}); (c) 𝜆Δ(_{𝑇 ,}1) = Δ(_𝜎(_𝑇)_{, 𝑛𝑇}); (d) Δ(𝔰^𝑛(_𝑇)_,−_𝑛) = −Δ(_{𝑇 , 𝑛})_.

On peut alors donner une propriété utile pour le calcul de la cohomologie des espaces de pavages.

Proposition 1.I.69([Sad08]). Si le pavage𝑇 est répétitif, alorsΩ_𝑇 est un espace connexe.

Démonstration. Soit𝑓 ∶ Ω_𝑇 →{0,1}continue. Ainsi𝑓est invariante par l’action deℝ. Par conséquent

𝑓⁻¹(0)et𝑓⁻¹(1)sont des fermés invariants et𝑓 est constante par minimalité d’après le Théorème 1.I.35. Nous pouvons également introduire l’application

𝔰∶ Ξ ×ℝ→Ξ ×ℝ,(𝑇 , 𝑡)↦𝔰(𝑇 , 𝑡) = (𝔰(𝑇), 𝑡− Δ(𝑇 ,1)). (1.1) On remarque que^𝑛_𝔰(𝑇 , 𝑡) = (𝔰^𝑛(𝑇), 𝑡− Δ(𝑇 , 𝑛))pour tout𝑛∈ℕ.

En particulier on alim_𝑛→∞Δ(_{𝑇 , 𝑛}) = ∞uniformément en𝑇. L’action deℤsur(Ξ ×ℝ)définie par^𝑛_𝔰 est propre et cocompact : en notant pour𝑖 ∈ {1,⋯, 𝑛},Ξ0

𝑝𝑖 l’ensemble des pavages de𝑇 ∈ Ξdont la première tuile𝑇0est de type𝑝_𝑖, le domaine

⨆

Ξ0

𝑝_𝑖× [0_,𝓁(_𝑝𝑖)]

est un domaine fondamental compact. On en déduit alors que(Ξ ×ℝ)∕𝔰est compact.

I. Pavages euclidiens classiques

Démonstration. SoitΦ ∶ (Ξ×ℝ)→Ω_𝜎,(_{𝑇 , 𝑡})↦𝑇+_𝑡. L’applicationΦest continue et passe au quotient

car

Φ(𝔰(𝑇 , 𝑡)) =Φ(𝑠(𝑇), 𝑡− Δ(𝑇 ,1)) =_𝑠(_𝑇) +_𝑡− Δ(_{𝑇 ,}1) =_𝑇 +_𝑡

=Φ(𝑇 , 𝑡).

NotonsΦ l’application induite. Cette application est surjective car si𝑇^′ ∈ Ω_𝜎, il existe𝑡^′ ∈ ℝtel que

𝑇^′+_𝑡= ̃𝑇 ∈ Ξ. Dans ces conditions nous avonsΦ([_𝑇′, 𝑡]) = ̃𝑇.

En ce qui concerne l’injectivité siΦ([𝑇 , 𝑡]) = Φ^′([𝑇^′, 𝑡^′])alors𝑇 =𝑇^′+ (𝑡^′−𝑡)et comme𝑇 , 𝑇^′ ∈ Ξ, nécessairement𝑡^′−_𝑡= Δ(_{𝑇 , 𝑛})et𝑇 =𝔰^𝑛(_𝑇′)pour un certain entier𝑛. Et donc[_{𝑇 , 𝑡}] = [_𝑇′, 𝑡^′]. L’espace

(Ξ ×ℝ)∕ℤest compact, alorsΦest un homéomorphisme.

L’action deℝsur(Ξ ×ℝ)triviale surΞet par translation surℝpasse au quotient car

(𝑠(𝑇), 𝑡− Δ(𝑇 ,1) +𝑠) =𝔰(𝑇 , 𝑡+𝑠).

Proposition 1.I.71. Les deux systèmes dynamiques(Ω_𝜎,ℝ) et((Ξ ×ℝ)∕𝔰,ℝ)sont topologiquement conjugués.

Démonstration. En gardant les mêmes notations pourΦ, nous avons enfin queΦ(𝑠⋅[𝑇 , 𝑡]) = Φ([𝑇 , 𝑡+

𝑠]) =𝑇 + (𝑡+𝑠) =𝑠⋅(𝑇 +𝑡) =𝑠⋅Φ([𝑇 , 𝑡]).

I.11- Probabilité invariante surΞ

Nous allons introduire les mesures de probabilités ergodiques associées aux substitutions. Nous allons décrire comment construire une telle mesure surΞpar limite inductive.

On rappelle que la substitution est adossée à la famille de couronnes{_𝑝𝑖,1≤𝑖≤ 𝑚}et l’on note𝑀₁^𝜎 = (𝑚_𝑖𝑗)_{1≤𝑖,𝑗≤𝑚} la matrice de la substitution sur les couronnes.

On remarque queΞ0

𝑝𝑖décrit l’ensemble des éléments deΞdont la tuile d’indice 0 est du type𝑝_𝑖. Dans ces conditions nous avons naturellement

Ξ = ^⨆

1≤𝑖≤𝑚

Ξ0

𝑝_𝑖.

Considérons le vecteur propre associé à la valeur propre de Perron-Frobenius de la matrice de𝑀𝜎

1 s’écrit sous la forme

𝑥= (_𝑥1,⋯, 𝑥_𝑛)_.

En normalisant ce vecteur pour la norme‖𝑥‖1 = ^∑_{1≤𝑖≤𝑚}||𝑥_𝑖||, on définit alors la mesure de probabilité

𝜇surΞde la façon suivante : Soient𝑡₂une𝑛-supertuile et𝑡₁une tuile incluse dans𝑡₂. Une paire(𝑡^′₁, 𝑡^′₂)

où𝑡^′₁est une tuile et𝑡^′₂ est une supertuile est dite de type(_{𝑡1, 𝑡2}) s’il existe𝑠 ∈ ℝtel que𝑡1+_𝑠 = _𝑡′ 1et

𝑡2+𝑠=𝑡^′₂. Pour𝑇 ∈ Ξ0, on note par𝑇_𝑛la𝑛-supertuile contenant𝑇0. On définit

Ξ𝑛 𝑡1,𝑡2 = {_𝑇 ∈ Ξ_, (_{𝑇0, 𝑇𝑛})soit de type(_{𝑡1, 𝑡2})} On pose 𝜇(Ξ𝑛 𝑡1,𝑡2) = 1 𝜆𝑛 𝑥_𝑖 ‖𝑥‖1 où𝑡2est une𝑛-supertuile de type𝑝_𝑖.

Chapitre 1. Introduction aux pavages hyperboliques issus de substitutions

En remarquant que nous avons l’égalité

Ξ𝑛

𝑡1,𝑡2 = ^⨆

𝑡3

où𝑡3parcourt l’ensemble des𝑛+1tuiles contenant𝑡2

Ξ𝑛+1

𝑡1,𝑡3.

Si𝑡₂est de type𝑝_𝑖on a alors,

𝜇 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⨆ 𝑡3

où𝑡3 parcourt l’ensemble des𝑛+1tuiles contenant𝑡2

Ξ𝑛+1 𝑡1,𝑡3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =^∑𝑛 𝑗=1𝑚_𝑖𝑗 ^𝑥𝑗 𝜆𝑛+1 =^𝜆𝑥𝑖 𝜆𝑛+1 =_𝜇(Ξ𝑛 𝑡1,𝑡2)_.

Donc la mesure respecte la limite inductive. On peut se référer à [Mou09] pour la preuve de l’invariance de cette mesure pour l’action du shift et de l’unique ergodicité.

II- Pavages hyperboliques

Le but de cette partie est d’introduire la notion de pavages hyperboliques qui sont les objets d’étude de cette thèse.

II.1- Notations

Commençons par les notations que nous utilisons.

Dans tout ce qui suit, on notera parℍ2le demi-plan de Poincaré muni de sa métrique^d𝑥²+d𝑦²

𝑦2 . On se donne aussi deux groupes𝑁et𝐺agissant sur ce demi-plan hyperbolique et définis respectivement par

𝑁 = {ℍ2^→ℍ2, 𝑧↦𝑧+_{𝑡, 𝑡}∈ℝ} ≅ℝ

et

𝐺= {ℍ2 ^→ℍ2, 𝑧↦𝑎𝑧+𝑏, 𝑎∈ℝ∗

+, 𝑏∈ℝ} ≅𝑁⋊ℝ∗ +.

Le groupe𝑁n’est autre que le groupe des translations sur ce demi-plan hyperbolique et𝐺celui des iso-métries affines positives sur ce même objet.

Notons par ailleurs que ces deux groupes sont de fait deux sous-groupes du groupe des isométries du demi-plan hyperbolique.

II.2- Pavages hyperboliques surℍ2

On va fixer ici toutes les notions relatives aux pavages hyperboliques introduit dans la thèse de Samuel Petite [Pet05].

Définition 1.II.1(tuiles hyperboliques). On appelletuile hyperbolique𝑡un polygone convexe hyperbo-lique non vide deℍ2 dont les sommets sont reliés par des géodésiques pour la métrique hyperbolique usuelle.

Il faut remarquer que l’on impose la notion de convexité à des fins de construction du pavage via des substitutions.

II. Pavages hyperboliques

Définition 1.II.2(pavage hyperbolique). On appellepavage hyperbolique deℍ2une collection de tuiles hyperbolique𝑃 = {𝑝_𝑖, 𝑖∈𝐼}satisfaisant :

(i) les tuiles ne se rencontrent que bord à bord sans chevauchement ni décalage; (ii) ^⨆𝑝_𝑖=ℍ2.

On remarque que les deux groupes𝑁 et𝐺agissent sur les pavages hyperboliques et comme dans le cas euclidien, on peut donner la définition de pavage de type𝐺-fini.

Définition 1.II.3(pavage hyperbolique de type𝐺-fini). On dit qu’un pavage hyperbolique𝑃 est detype

𝐺-finis’il existe une famille fine{_𝑝1,⋯, 𝑝_𝑛}de tuiles hyperboliques telle que pour toute tuile𝑡 ∈ _𝑃 il

Dans le document K-théorie pour les C*-algèbres de pavages de Penrose hyperboliques (Page 23-34)