(ii) L’intégrale Z 1
0
1
tαdt converge si, et seulement si,α <1.
Démonstration. (i) La preuve est en deux temps.
⇐= SoitA≥1. On a
Z A 1
1 tαdt=
t−α+1
−α+1 A
1
= A
−α+1
−α+1 + 1 α−1. Comme−α+1<0, on a lim
A→+∞A−α+1=0, on a
A→+∞lim Z A
1
1
tαdt= 1 α−1.
=⇒ Encore une fois, on raisonne par contraposée. On distingue les cas oùα=1 etα <1.
(a) Siα=1. Soit A≥1, on a Z A
1
1 tαdt=
Z A 1
1
tdt= [ln(t)]A1 =ln(A) −→
A→+∞+∞. (b) Siα <1. SoitA≥1, on a
Z A 1
1 tαdt=
t−α+1
−α+1 A
1
= A
−α+1
−α+1 + 1
α−1 −→
A→+∞+∞ car−α+1>0.
Dans les deux cas, l’intégrale Z +∞
1
1
tαdt diverge.
(ii) Soitα∈R. On va se ramener au cas précédent en procédant à un changement de variable.
Soit ε ∈ ]0, 1[. On fait le changement de variable u = 1
t ⇐⇒ u = 1
t dans l’intégrale Z 1
ε
1 tαdt. Le changement de variable est de classe C1 et bijectif de [ε, 1] sur
1,1
ε
. La formule du changement de variable donne
Z 1
ε
1 tαdt=
Z 1/ε 1
1 u−α+2du.
Lorsqueε→0+, on a 1/ε→+∞. Or, d’après (i),ε7−→
Z 1/ε 1
1
u−α+2duadmet une limite finie lorsque ε→0+si, et seulement si, −α+2>1 ⇐⇒ α <1.
2.2 Règles de comparaison
On fixe un intervalle de[a,b[deRaveca < b≤+∞. Théorème 1. Théorème de comparaison par inégalité.
Soientf,g:[a,b[−→R deux fonctions continues telles que0≤f(t)≤g(t)pour toutt∈[a,b[. (i) Si l’intégrale
Z b a
g(t)dt converge, alors l’intégrale Z b
a
f(t)dt converge.
(ii) Si l’intégrale Z b
a
f(t)dt diverge, alors l’intégrale Z b
a
g(t)dt diverge.
2.2 Règles de comparaison Lycée du Hainaut
Démonstration. (i) Comme f est à valeurs positives, la fonction x∈[a,b[7−→
Z x a
f(t)dt est croissante sur [a,b[. Ainsi, pour montrer que l’intégrale
Z b a
f(t)dt converge, il suffit de montrer que la fonction x∈[a,b[7−→
Z x a
f(t)dt est majorée sur[a,b[. Commeg est positive et l’intégrale
Z b a
g(t)dtconverge, on en déduit que
∀x∈[a,b[, Z x
a
g(t)dt≤ Z b
a
g(t)dt.
En utilisant l’hypothèsef(t)≤g(t)pour toutt∈[a,b[ et la ligne précédente, on en tire
∀x∈[a,b[, Z x
a
f(t)dt≤ Z x
a
g(t)dt≤ Z b
a
g(t)dt, ce qui termine la preuve.
(ii) Toujours par positivité def, la fonctionx∈[a,b[7−→
Z x a
f(t)dtest croissante sur[a,b[. Par le théorème de la limite monotone (pour les fonction), la fonctionx∈[a,b[7−→
Z x a
f(t)dt admet une limite (finie ou+∞) enb−.
Comme l’intégrale Z b
a
f(t)dtest supposée divergente, on en déduit que
x→blim− Z x
a
f(t)dt= +∞.
En utilisant l’hypothèsef(t)≤g(t)pour toutt[a,b[, on en déduit que
∀x∈[a,b[, Z x
a
f(t)dt≤ Z x
a
g(t)dt.
Le théorème de comparaison (pour les fonctions) assure alors que lim
x→b−
Z x a
g(t)dt= +∞, ce qui termine la preuve.
Remarque 7. (i) Pour utiliser ce résultat, il suffit de vérifier l’inégalité 0≤f(t)≤g(t)sur un voisinage de b.
(ii) On peut énoncer un résultat analogue pour les intégrales des fonctions continues sur]a,b]. Exemple 6. On souhaite étudier la convergence deI=
Z +∞
1
sin2(t) t2 dt.
Déjà,t∈[1,+∞[7−→sin2(t)
t2 est continue et
∀t∈[1,+∞[, 0≤ sin2(t) t2 ≤ 1
t2. Or l’intégrale
Z +∞
1
dt
t2 converge, par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale Z +∞
1
sin2(t)
t2 dtconverge.
Lycée du Hainaut
Théorème 2. Théorème de comparaison par équivalence.
Soientf,g:[a,b[−→Rdeux fonctions continues. On suppose quef est positive sur un voisinage deb− et f(t) ∼
t→b−g(t), alors
Z b a
f(t)dtconverge ⇐⇒
Z b a
g(t)dtconverge.
Démonstration. Une fois n’est pas coutume, on peut traiter l’équivalence en une fois.
Dire quef(t) ∼
t→b−g(t), c’est dire que, par définition, il existe une fonctionε:[a,b[−→Ravec lim
t→b−ε(t) = 1 telle que
∀t∈[a,b[, g(t) = (1+ε(t))f(t). Comme lim
t→b−(1+ε(t)) =1, il existeα1>0 tel que
∀t∈[b−α1,b[, 1
2 ≤1+ε(t)≤3 2. Commef est supposée positive sur un voisinage deb, il existeα2>0 tel que
∀t∈[b−α2,b[, f(t)≥0.
En posantα=min{α1,α2}, on a
∀t∈[b−α,b[, 0≤1
2f(t)≤g(t)≤f(t). D’après le théorème 1, les intégrales
Z b a
f(t)dt et Z b
a
g(t)dt sont de la même nature, donc convergent (et divergent) simultanément.
Remarque 8. (i) Pour utiliser ce résultat, il suffit de s’assurer que f est de signe constant (i.e. positive ou négative) sur un voisinage deb.
(ii) On peut énoncer un résultat analogue pour les intégrales des fonctions continues sur]a,b]. Exemple 7. On souhaite étudier la nature de l’intégrale
Z π/2 0
cos(t) t dt.
Déjà,t∈]0,π/2]7−→ cos(t)
t est continue. De plus, cos(t)
t t→∼0 1 t. Comme l’intégrale
Z π/2 0
cos(t)
t dt diverge, par comparaison par équivalence des intégrales de fonctions posi-tives, l’intégrale
Z π/2 0
cos(t)
t dt diverge.
3 Intégrabilité d’une fonction continue sur un intervalle
On considère un intervalleI deR non trivial (i.e. non ide et non réduit à un point). On notea=inf(I) et b=sup(I). Ainsi, on a I= [a,b], ]a,b],[a,b[ ou]a,b[.
Définition 4. Fonction intégrable.
Soit f : I −→ K une fonction continue. On dit que f est intégrable sur I si l’intégrale Z b
a |f(t)|dt converge.
Remarque 9. (i) Une fonctionf :I−→Kcontinue est intégrable surIsi, et seulement si, elle est intégrable sur]a,b[.
Lycée du Hainaut
(ii) Sif est intégrable surI, on dit que l’intégrale Z b
a
f(t)dtconverge absolument.
(iii) Sif est positive, l’intégrale Z b
a
f(t)dtconverge si, et seulement si, f est intégrable surI.
Proposition 8. Sif :I−→Kest intégrable, alors l’intégrale Z b
a
f(t)dt converge.
Remarque 10. (i) Autrement dit, si une intégrale converge absolument, elle converge.
(ii) En particulier, tous les résultats établis à la sous-partie 1.4 restent vrais : la linéarité (proposition 1), la relation de Chasles (proposition 3) et la positivité/croissance de l’intégrale (proposition 2).
Démonstration. Soitg la fonction définie surIparg(x) =f(x) +|f(x)|. Il est clair que
∀x∈I, 0≤g(x)≤2|f(x)|. Comme l’intégrale
Z b
a |f(t)|dt converge (par définition carf est intégrable surI), l’intégrale Z b
a
2|f(t)|dt converge ainsi, par comparaison par inégalité des intégrales des fonctions positives (proposition 1), l’intégrale Z b
a
g(t)dtconverge. Or,
∀t∈I, f(t) =g(t)− |f(t)|. Comme les intégrales
Z b a
g(t)dt et Z b
a |f(t)|dt convergent, d’après la proposition 1, l’intégrale Z b
a
f(t)dt converge.
Exemple 8. On s’intéresse à la nature de l’intégrale Z +∞
1
sin(t) t2 dt.
Déjà,t∈[1,+∞[7−→sin(t)
t2 est continue. De plus,
∀t∈[1,+∞[,
sin(t) t2
≤ 1
t2. Or, l’intégrale
Z +∞
1
dt
t2 converge. Par comparaison par inégalitédes intégrales de fonctions positives, l’intégrale Z +∞
1
sin(t)
t2 dtconverge absolument, donc converge.
Notation. Sif :I−→Kest continue et intégrable, on pose Z b
a
f(t)dt= Z
I
f(t)dt.
Proposition 9. EspaceL1(I).
L’ensemble des fonctions continues surIà valeurs dansKintégrables est unK-espace vectoriel notéL1(I). Démonstration. Déjà, il est clair que la fonction nulle appartient àL1(I).
Soientf,g∈L1(I)et λ∈K. On commence par remarquer que :
∀t∈I, |f(t) +λg(t)| ≤ |f(t)|+|λ| |g(t)|. Or, par hypothèse, l’intégrale
Z b a
(|f(t)|+|λ| |g(t)|)dtconverge. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale
Z b
a |f(t) +λg(t)|dt converge, donc par définition t ∈ I 7−→f(t) +λg(t) appartient àL1(I).
Lycée du Hainaut
Proposition 10. Propriétés des fonctions intégrables.
Soit f :I−→Kune fonction continue intégrable. Alors : (i)
Avant de prouver la proposition 10, nous utiliserons le lemme suivant.
Lemme 1. Fonctionsf+ etf−.
Démonstration. (i) La positivité est claire. Pour montrer que f+ et f− sont continues, il suffit (discuter suivant quef(x)≥0 ou non) de remarquer que
∀x∈I, f+(x) =1
2(f(x) +|f(x)|) et f−(x) = 1
2(|f(x)| −f(x)). et d’utiliser les théorèmes généraux sur la continuité.
(ii) Il suffit à nouveau de discuter suivant quef(x) soit ou non positif.
Nous prouvons maintenant la proposition 10.
Démonstration. (i) (a) On commence par supposer que K= R. On introduit les fonctions f+ et f− du lemme 1. D’après le lemme 1, on a
∀x∈I,
f+(x)≤ |f(x)| et
f−(x)≤ |f(x)|. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, les intégrales
Z
I
f+(t)dt et Z b
a
f−(t)dtconvergent. Comme les fonctions sont positives, les intégrales Z convergent. Ainsi, en utilisant la proposition 1, on a
En utilisant l’inégalité triangulaire, on a
Par le lemme 1 et par positivité de l’intégrale pour les intégrales convergentes (proposition 2), on a
Lycée du Hainaut
(b) On suppose que K = C. On écrit f = Re(f) +i Im(f) où Re(f) et Im(f) sont respectivement les parties réelles et imaginaires def. Commef est continue surI, Re(f)et Im(f)sont continues sur I. On remarque que
∀t∈I, |Re(f) (t)| ≤ |f(t)|.
Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale Z
I|Re(f) (t)|dt converge. En utilisant la proposition 8, on en déduit que l’intégrale
Z
I
Re(f) (t)dtconverge.
Un même raisonnement montre que l’intégrale Z
I
Im(f) (t)dtconverge. Par linéarité (proposition 1) et utilisation de l’inégalité triangulaire, on a
Il s’ensuit que
(ii) Adapter la preuve de (iii) de la proposition 2.
4 Exemples
Pour étudier la nature d’une intégrale Z b
a
f(t)dtoùf est une fonction au moins définie sur]a,b[à valeurs dansK, on pourra retenir le plan suivant.
1. On détermine sif est continue sur [a,b],]a,b], [a,b[ ou]a,b[.
(a) Sif est continue (ou prolongeable par continuité) sur[a,b], l’intégrale converge.
(b) Sif n’est que continue sur]a,b[, on sépare l’intégrale en deux pour se ramener au cas où seulement l’une des deux extrémités est ouverte.
2. On est donc ramené au cas oùf est continue sur[a,b[(ou]a,b]). On essaie d’utiliser les résultats suivants du cours pour décider de la nature de l’intégrale dans l’ordre suivant :
(a) Si on connaît une primitive def, on peut utiliser la définition pour étudier la convergence.
(b) On peut essayer de déterminer un équivalent def ou|f|au voisinage deb.
(c) On peut essayer d’établir, au voisinage deb, une inégalité portant sur f ou|f|. (d) On peut essayer de faire un changement de variable pour transformer l’intégrale.
(e) On peut essayer de faire une intégration par parties.
3. Dans le cas où l’on avait séparé l’intervalle en deux, on conclut.
Lycée du Hainaut
Exemple 9. On s’intéresse à la nature de l’intégrale Z +∞
0
t2e−t3dt. SoitA≥0. On a Z A
0
t2e−t3dt= 1 3
h−e−t3iA 0 =−1
3e−A3+1
3 −→
A→+∞
1 3. On en déduit que l’intégrale
Z +∞
0
t2e−t3dt converge et vaut 1 3. Exemple 10. On s’intéresse à la nature de l’intégrale
Z +∞
e
ln(t)
t dt. On remarque que
∀t≥e, ln(t)
t ≥ 1
t. Or, l’intégrale
Z +∞
e
dt
t diverge. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale Z +∞
e
ln(t)
t dtdiverge.
Exemple 11. On s’intéresse à la nature de l’intégrale Z +∞
0
cos(t)e−t
√t dt.
Déjàt∈R∗+ 7−→ cos(t)e−t
√t est continue. Ainsi, pour étudier la nature de l’intégrale, on étudie la nature de
Z 1
0
cos(t)e−t
√t dt et
Z +∞
1
cos(t)e−t
√t dt.
(i) On a
cos(t)e−t
√t ∼
t→0
√1 t. Or, l’intégrale
Z 1 0
√dt
t converge. Par comparaison par équivalence des intégrales de fonctions positives, l’intégrale
Z 1
0
cos(t)e−t
√t dt converge.
(ii) On a
∀t≥1,
cos(t)e−t
√t ≤e−t. Or, l’intégrale
Z +∞
1
e−tdtconverge. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale
Z +∞
1
cos(t)e−t
√t dtconverge absolument, donc converge.
Par somme, l’intégrale Z +∞
0
cos(t)e−t
√t dtconverge.
Exemple 12. On s’intéresse à la nature de l’intégrale Z +∞
0
e−t2dt.
Déjàt∈R+7−→e−t2 est continue. De plus,
∀t≥1, 0≤e−t2 ≤e−t. Or, l’intégrale
Z +∞
1
e−tdt converge. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’in-tégrale
Z +∞
1
e−t2dtconverge.
Comme Z 1
0
e−t2dt converge (intégrale d’une fonction continue sur un segment), par somme l’intégrale Z +∞
0
e−t2dtconverge.
Lycée du Hainaut
Exemple 13. On s’intéresse à la nature de Z 1
0
√dt
1−t. On fait le changement de variableu=1−t. Le théorème de changement de variable assure que la précédente intégrale est de la même nature que
Z 1
0
√du u. Or, l’intégrale
Z 1 0
√du
u converge, ainsi l’intégrale Z 1
0
√dt
1−t converge.
Exemple 14. On s’intéresse à la nature de l’intégrale Z +∞
0
sin(t) t dt.
Déjàt∈R∗+7−→ sin(t)
t est continue. Ainsi, pour étudier la nature de Z +∞
0
sin(t)
t dt, on étudie la nature de
Z 1
0
sin(t) t dtet
Z +∞
1
sin(t) t dt.
(i) On a
sin(t) t t→∼0 t
t =1.
Ainsi,t7−→ sin(t)
t est prolongeable par continuité en 0 (en lui donnant la valeur 1 en 0), donc l’intégrale Z 1
0
sin(t)
t dtconverge.
(ii) SoitA≥1. Une intégration par parties donne Z A
1
sin(t) t dt=
−cos(t) t
A 1
− Z A
1
cos(t)
t2 dt=−cos(A)
A +cos(1)− Z A
1
cos(t) t2 dt.
Or, lim
A→+∞
cos(A)
A =0, donc les intégrales Z +∞
1
sin(t) t dtet
Z +∞
1
cos(t)
t2 dtsont de même nature. Mais,
∀t≥1,
cos(t) t2
≤ 1
t2. Or, l’intégrale
Z +∞
1
dt
t2 converge. Par comparaison par inégalité des intégrales de fonctions positives, l’intégrale
Z +∞
1
cos(t)
t2 dtconverge absolument, donc converge. Ainsi, l’intégrale Z +∞
1
sin(t)
t dtconverge.
Par somme, l’intégrale Z +∞
0
sin(t)
t dtconverge.