– Questions Orales - CONSEIL MUNICIPAL

A seguir estabeleceremos uma aplica¸cão do Teorema do Valor Médio relacionada com fun¸cões Lipschitz. Concluiremos depois dando outros exemplos de aplica¸cões desse resultado para a obten¸cão de desigualdades.

Teorema 22.8

Seja f : I → R diferenci´avel em todo ponto do intervalo I. Se existe C > 0 tal que |f0_(x)_{| ≤ C para todo x ∈ I, ent˜ao |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|, para}

todos x, y∈ I.

Prova: Dados x, y _{∈ I, pelo Teorema do Valor M´edio existe ¯x ∈ (x, y) tal} que f (x)_{− f(y) = f}0_(¯_x)(x_{− y). Logo,}

|f(x) − f(y)| ≤ |f0(¯x)_{||x − y| ≤ C|x − y|,}

O Teorema do Valor M´edio

M ´ODULO 2 - AULA 22

j´a que, por hip´otese,_|f0_(¯_x)_{| ≤ C.}

Exemplos 22.2

1. Como já foi dito anteriormente, as fun¸cões trigonométricas sen x e cos x satisfazem D sen x = cos x e D cos x = − sen x. Além disso vale a rela¸cão fundamental (sen x)2_{+ (cos x)}2 _{= 1, donde segue que}_{| sen x| ≤}

1 e | cos x| ≤ 1. Esses fatos ser˜ao provados rigorosamente em aulas futuras. Do Teorema 22.8 segue que | sen x − sen y| ≤ |x − y| para todos x, y ∈ R. Em particular, tomando x ≥ 0 e y = 0 obtemos

−x ≤ sen x ≤ x para todo x_{≥ 0.}

2. A fun¸c˜ao exponencial f (x) := ex _{tem derivada f}0_{(x) = e}x _{para todo}

x _{∈ R. Logo, f}0_{(x) > 1 para x > 0 e 0 < f}0_{(x) < 1 para x < 0. A}

partir dessas rela¸c˜oes, provaremos a desigualdade

ex _{≥ 1 + x} para x_{∈ R,} (22.4) com igualdade ocorrendo se, e somente se, x = 0.

Se x = 0, como e0 _{= 1, claramente vale a igualdade. Se x > 0,}

aplicamos o Teorema do Valor Médio à fun¸cão f no intervalo [0, x], o que nos dá

ex− 1 = ex¯_x _{para algum ¯}_x_{∈ (0, x).}

Segue da´ı que ex _{− 1 > x, ou seja, e}x _{> 1 + x se x > 0. Se x < 0,}

aplicando o Teorema do Valor Médio à fun¸cão f no intervalo [x, 0], de novo obtemos ex _{> 1 + x. Portanto, temos e}x _{> 1 + x para todo x}_{6= 0.}

3. (Desigualdade de Bernoulli) Para qualquer α _{∈ R, define-se a fun¸c˜ao} f (x) := xα _{para x > 0 por}

xα _{:= e}α log x_.

Usando o fato j´a mencionado, a ser provado em aula futura, de que D log x = 1/x para x > 0, juntamente com a Regra da Cadeia, obtemos

(xα)0 = (eα log x)0 = eα log x_· α x

= αeα log xe− log x = αe(α−1) log x = αxα−1,

AN ´ALISE REAL

O Teorema do Valor M´edio

o que estende a f´ormula que hav´ıamos estabelecido anteriormente para α racional. Usando isso provaremos a desigualdade de Bernoulli que estabelece que para todo α > 1 vale

(1 + x)α_{≥ 1 + αx} para todo x >_−1, (22.5) com igualdade valendo se, e somente se, x = 0. Observe que para α = 1 vale trivialmente a igualdade para todo x_{∈ R; por isso esse caso} ´e descartado.

Essa desigualdade foi estabelecida anteriormente para α ∈ N, usando Indu¸cão Matemática. Vamos estendê-la a todo α ∈ R tal que α > 1 usando o Teorema do Valor Médio.

Se g(x) := (1 + x)α_{, ent˜ao g}0_{(x) = α(1 + x)}α−1_{. Se x > 0, aplicamos o}

Teorema do Valor M´edio a g no intervalo [0, x], obtendo g(x)_{− g(0) =} g0_(¯_{x)x para algum ¯}_x_{∈ (0, x), ou seja,}

(1 + x)α_{− 1 = α(1 + ¯x)}α−1x.

Como ¯x > 0 e α_{−1 > 0, segue que (1+ ¯x)}α−1 _{> 1 e portanto (1+x)}α _>

1 + αx.

Se_{−1 < x < 0, uma aplica¸cão semelhante do Teorema do Valor Médio} à fun¸cão g no intervalo [x, 0] nos dá novamente (1 + x)α _{> 1 + αx (por}

quˆe?).

Como o caso x = 0 resulta em igualdade, conclu´ımos que vale (22.5) com igualdade ocorrendo se, e somente se, x = 0.

4. Se 0 < α < 1, a > 0 e b > 0, ent˜ao vale a desigualdade

aαb1−α _{≤ αa + (1 − α)b,} (22.6) onde a igualdade vale se, e somente se, a = b. Vamos provar essa afirma¸cão usando o Teorema 22.6. Essa desigualdade pode ser provada também usando-se a concavidade da fun¸cão logaritmo, que veremos mais tarde.

A desigualdade (22.6) e a afirma¸cão sobre a ocorrência da igualdade serão obtidas como consequência da afirma¸cão de que vale a desigualdade

xα _{≤ αx + (1 − α)} para todo x_{≥ 0 e 0 < α < 1,} (22.7)

O Teorema do Valor M´edio

M ´ODULO 2 - AULA 22

valendo a igualdade se, e somente se x = 1, tomando-se x = a/b, a > 0, b > 0 (como?).

Provaremos então a desigualdade (22.7) e a afirma¸cão correspondente a validade da igualdade. Consideremos a fun¸cão g(x) = αx_{− x}α_{, com}

x _{≥ 0, 0 < α < 1. Temos g}0_{(x) = α(1}_{− x}α−1_{), de modo que g}0_{(x) < 0}

para 0 < x < 1 e g0_{(x) > 0 para x > 1. Segue do Teorema 22.6}

(veja também a Observa¸cão 22.1) que se x _{≥ 0, então g(x) ≥ g(1) e} g(x) = g(1) se, e somente se, x = 1, o que é equivalente a desigualdade (22.7) e a afirma¸cão sobre a ocorrência da igualdade (por quê?). Exerc´ıcios 22.1

1. Seja I um intervalo e f : I _{→ R diferenci´avel em I. Mostre que se f}0

nunca se anula em I, ent˜ao ou f0_{(x) > 0 para todo x} _{∈ I ou f}0_{(x) < 0}

para todo x _{∈ I. [Dica: Use o Teorema de Darboux.]}

2. Seja I um intervalo, g : I → R e ¯x ∈ I um ponto interior de I. Mostre que se existem os limites laterais L₋ := lim

x→¯x−g(x) e L+ := limx→¯x+g(x)

e L₋ 6= L+, então g não é a derivada de nenhuma fun¸cão f : I → R.

[Dica: Use o Teorema de Darboux.]

3. Para cada uma das seguintes fun¸cões, encontre os pontos de extremo local, os intervalos nos quais a fun¸cão é crescente e aqueles nos quais a fun¸cão é decrescente.

(a) f (x) := x2_{− 3x + 5 para x ∈ R.} (b) f (x) := x3_{− 3x − 4 para x ∈ R.} (c) f (x) := x4_{+ 2x}2_{− 4 para x ∈ R.} (d) f (x) := x + 1/x para x_{6= 0.} (e) f (x) :=√x_{− 2}√x + 2 para x > 0. (f) f (x) := 2x + 1/x2 para x6= 0.

4. Sejam a1, a2, . . . , an n´umeros reais e seja f definida em R por

f (x) :=

i=1

(x− ai)2.

Encontre o ´unico ponto de m´ınimo local para f .

5. Sejam a > b > 0 e n_{∈ N satisfazendo n ≥ 2. Prove que a}1/n _{− b}1/n _<

(a_{− b)}1/n_{. [Dica: Mostre que f (x) := x}1/n_{− (1 − x)}1/n _{´e decrescente}

6. Use o Teorema do Valor Médio e os fatos já mencionados sobre a fun¸cão exponencial para provar a desigualdade

ea_{− e}b _{≤ e}a(a_{− b)} para todos a, b_{∈ R.}

7. Use o Teorema do Valor M´edio para provar que (x_{−1)/x < log x < x−1} para x > 1. [Dica: Use o fato de que D log x = 1/x para x > 0.] 8. Seja f : [a, b] _{→ R cont´ınua em [a, b] e diferenci´avel em (a, b). Mostre}

que se lim

x→af

0_{(x) = A, ent˜ao f}0_{(a) existe e ´e igual a A. [Dica: Use a}

defini¸c˜ao de f0_{(a) e o Teorema do Valor M´edio.]}

9. Seja I um intervalo e f : I → R diferenci´avel em I. Mostre que se f0 _´e

O Teorema de Taylor

M ´ODULO 2 - AULA 23

Aula 23 – O Teorema de Taylor

Metas da aula:

Estabelecer o Teorema de Taylor e apresentar suas aplica¸cões em aproxima¸cões de fun¸cões, na investiga¸cão de extremos locais e no estudo de fun¸cões convexas.

Objetivos:

Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:

• Conhecer o significado do Teorema de Taylor e suas aplica¸cões em aproxima¸cões de fun¸cões, na investiga¸cão de extremos locais e no estudo de fun¸cões convexas.

Introdu¸c˜ao

Se I é um intervalo de R e f : I _{→ R é uma fun¸cão diferenciável} em todos os pontos de I, então temos definida em I a fun¸cão f0 _{: I} _{→ R,}

derivada (primeira) de f . Se a fun¸c˜ao f0 _{for diferenci´avel em um ponto}

x_{∈ I, ent˜ao teremos definida a derivada de f}0 _{em ¯}_{x, (f}0₎0_(¯_{x), que denotamos}

simplesmente por f00_(¯_{x) e chamamos a derivada segunda de f em ¯}_{x. Se f}0

também for diferenciável em todos os pontos de I, então teremos definida a fun¸cão f00 _{: I} _{→ R, derivada segunda de f. Se f}00 _{é diferenciável num ponto}

x _{∈ I, ent˜ao existe (f}00₎0_(¯_{x) que denotamos por f}000_(¯_{x) ou f}(3)_(¯_{x), chamada}

derivada terceira def em ¯x, e se f00_{é diferenciável em todo ponto de I então}

teremos definida a fun¸c˜ao f000 _{: I} _{→ R, tamb´em denotada por f}(3) _{e chamada}

derivada terceira de f . Desse modo podemos definir a derivada n-´esima da fun¸c˜ao f em ¯x _{∈ I, f}(n)_(¯_{x), desde que tenhamos definida em todo ponto}

de I a derivada (n_{− 1)-´esima de f, f}(n−1)_{, e que esta seja diferenci´avel em}

x. Observe que admitimos que ¯x seja um ponto extremo do intervalo I. Observe tamb´em que para que possamos definir f(n)_(¯_{x) basta que tenhamos}

f(n−1) _{definida em (¯}_x_{− δ, ¯x + δ) ∩ I para algum δ > 0. A derivada n-´esima}

em ¯x, f(n)_(¯_{x), tamb´em ´e chamada derivada de ordem n de f em ¯}_x.

Se a fun¸cão f tem uma derivada n-ésima num ponto x0, não é dif´ıcil

obter um polinˆomio Pnde grau n tal que Pn(x0) = f (x0) e Pn(k)(x0) = f(k)(x0)

para k = 1, 2, . . . , n. De fato, o polinˆomio

Pn(x) := f (x0) + f0(x0)(x− x0) + f00_(x 0) 2! (x− x0) 2 _(23.1) +· · · + f (n)_(x 0) n! (x− x0) n _(23.2)

AN ´ALISE REAL

O Teorema de Taylor

tem a propriedade de que ele e suas derivadas at´e a ordem n no ponto x0

coincidem com a fun¸c˜ao f e suas derivadas at´e a ordem n quando avaliadas nesse mesmo ponto.

Esse polinômio Pn é chamado o polinômio de Taylor de grau n para f

em x0 e seu estudo remonta ao matem´atico inglˆes Brook Taylor (1683–1731),

embora a f´ormula para o resto Rn := f − Pn s´o tenha sido obtida muito

mais tarde por Joseph-Louis Lagrange (1736–1813). A f´ormula ou Teorema de Taylor (com resto de Lagrange) e suas aplica¸c˜oes constituem o tema desta aula que passamos a estudar em detalhes a seguir.

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