Quelques propri´et´es des fonctions de partition

x x ax = x x ax = ax x .

En it´erant ligne par ligne, on obtient le r´esultat. 

2.2.2.2 Quelques propri´et´es des fonctions de partition

Rappelons qu’un polynˆome de Laurent d’une variable x est un polynˆome en x et 1/x. Le poids d’un sommet ´etant toujours sous la forme d’un polynˆome de Laurent en les variables xi, yj, x et y, toutes nos fonctions de partition sont des polynˆomes de Laurent en ces variables.

Plus pr´ecis´ement, pour chaque variable z, le poids d’un sommet est soit constant par rapport `a cette variable, soit la somme de deux termes dont un est en en z et l’autre en 1/z. Par cons´equent, pour chaque variable et chaque ASM contribuant `a la fonction de partition, le poids correspondant `a cet ASM est de la forme

X

0≤i≤k

aiz^−k+2i; (2.33)

les termes de plus haut et de plus bas degr´e sont de degr´es oppos´es, et tous sont de mˆeme parit´e. Pour peu que cette parit´e soit la mˆeme pour tous les ASM, cette propri´et´e s’´etend `a la fonction de partition. Lorsque tous les monˆomes d’un polynˆome de Laurent ont leur degr´e compris entre −k et k, nous parlerons de polynˆome de Laurent centr´e de largeur k. Une telle fonction est, comme un polynˆome

classique, enti`erement d´etermin´ee par ses valeurs en 2k + 2 points ; lorsque, comme c’est le cas ici, on a affaire `a des polynˆomes de Laurent de plusieurs variables, il est toujours possible de consid´erer qu’il s’agit de polynˆomes d’une des variables, `a coefficients dans le corps des fractions rationnelles des autres variables (et donc, d’exprimer les points o`u l’on ´evalue le polynˆome de Laurent en fonction des autres variables). Si de plus la fonction, en tant que fonction de la variable consid´er´ee, est paire (pour k pair) ou impaire (pour k impair), alors k + 1 ´evaluations suffisent, pour peu que les points d’´evaluations ne soient pas oppos´es les uns aux autres.

30 CHAPITRE 2. ´ENUM ´ERATIONS DE MATRICES `A SIGNES ALTERNANTS

Proposition 2.17. Les fonctions Z(N ; xN, yN), ZHT(2N ; x_{N −1}, yN, x, y), ZHT(2N + 1, xN, yN, x, y)

et ZQT(2m; x_2m−1, x, y) sont des polynˆomes de Laurent centr´es de toutes leurs variables, avec les demi-largeurs et parit´es suivantes :

– Z(N ; . . . ) a demi-largeur N− 1, et la parit´e de N − 1, en chacune de ses variables ;

– ZHT(2N ; . . . ) a demi-largeur N− 1 et est impair en chacune des variables xi et yj, et demi-largeur

N (sans parit´e) en x et en y ;

– ZHT(2N + 1; . . . ) a demi-largeur 2N et est pair en chacune des variables xi et yj, et demi-largeur

N + 1 (sans parit´e) en x et en y ;

– ZQT(2m; . . . ) a demi-largeur 2m− 3 et est pair en chacune des variables xi, et demi-largeur m− 1

(sans parit´e) en x et en y ;

– enfin, dans ZQT(4N + 2; . . . ), tous les monˆomes ont la mˆeme parit´e en x qu’en y, et inver-sement, dans ZQT(4N ; . . . ), les monˆomes pairs en x sont impairs en y et vice versa (i.e.,

ZQT(4N + 2; x_{2N −1}, x, x) est pair en x, et ZQT(4N ; x2N, x, x) est impair en x) ; et de mˆeme,

dans ZHT(2N ; . . . ) les monˆomes pairs en x sont impairs en y et vice vera.

D´emonstration. Le fait que les fonctions de partitions soient toutes des polynˆomes de Laurent est clair :

chaque sommet a un poids qui est un polynˆome de Laurent des variables, et chaque fonction de partition est une somme finie de produits finis de tels poids.

Pour obtenir les largeurs et parit´es, il suffit d’examiner, dans la contribution d’un ASM donn´e `a la fonction de partition, combien de sommets portent un poids qui est un polynˆome de Laurent impair, de demi-largeur 1, en une variable donn´ee :

– Pour Z(N ; . . . ), chaque variable apparaˆıt dans les param`etres des N sommets d’une ligne ou d’une colonne. Dans cette ligne ou colonne, un nombre impair de sommets seront occup´es par des coef-ficients non nuls de la matrice et ont donc un poids constant σ(a2), les autres contribuent 1 `a la demie-largeur.

– Pour ZHT(m; . . . ) et les variables xi et yj, le raisonnement est le mˆeme : m sommets portent un param`etre qui d´epend de la variable, parmi lesquels un nombre impair a poids constant, les autres contribuant 1 `a la demie-largeur. Pour les variables x et y il y a⌈m/2⌉ sommets portant un poids d´epdendant de la variable, mais la parit´e du nombre de poids constants parmi eux n’est pas fix´ee. – Pour ZQT(2m; . . . ) et les variables x et y, le raisonnement est le mˆeme que pr´ec´edemment. Pour les xi, nous ne d´emontrons la proposition que pour la variable x1, les autres d´ecouleront de la propri´et´e de sym´etrie. La variable x1apparaˆıt dans les param`etres de 2m− 2 sommets (la ligne ´etiquet´ee x1

comporte 2m− 1 sommets, mais l’un d’entre eux est un auto-croisement de la ligne et a param`etre 1), parmi lesquels exactement 1 correspondra `a un 1 de la matrice et aura poids constant (dans un (q)QTASM, l’unique 1 de la premi`ere colonne ne peut ˆetre dans un coin de la matrice sans violer la condition d’invariance par quart de tour) ; il reste donc 2m− 3 sommets qui contribuent chacun 1 `a la demi-largeur et `a la parit´e.

– Pour la parit´e totale en x et y de ZQT(2m; . . . ), il suffit de noter que, dans les deux cas, la ligne xy comprend un nombre pair de sommets de degr´e 4, plus un sommet de degr´e 2 dans le cas o`u m est pair. Entre les deux extrˆemit´es de la ligne, l’orientation des arˆetes subit un nombre pair de changement de sens (la premi`ere arˆete est entrante, la derni`ere, sortante). Par cons´equent, le nombre de sommets de la ligne qui contribuent `a la parit´e en x ou en y (les non-changements de sens) est pair dans le cas de ZQT(4N + 2; . . . ), et impair dans le cas de ZQT(4N ; . . . ).

– Pour la parit´e des monˆomes de ZHT(2N ; . . . ), la ligne xy a ´egalement un nombre pair de sommets, pour un nombre impair de changements de sens, et donc il doit y avoir un nombre impair de sommets qui contribuent `a la parit´e soit en x, soit en y.

 Le Lemme2.13nous donne enfin des propri´et´es de sym´etrie en diverses variables de nos fonctions de partition :

Lemme 2.18. Les fonctions Z(N ; xN, yN) et ZHT(m; x_{N −1}, yN, x, y) sont sym´etriques en leurs variables xi en leurs variables yj, s´epar´ement, et les fonctions ZQT(2m; x_{N −1}, x, y) sont sym´etriques en leurs

2.2. ´ENUM ´ERATION DE CONFIGURATIONS DE GLACE CARR ´EE ET FORMULES DE YANG-BAXTER 31

D´emonstration. Pour Z(N ; . . . ) et ZHT(m; . . . ), la sym´etrie en deux variables cons´ecutives xiet xi+1(ou yj et yj+1) d´ecoule imm´ediatement de l’application du Lemme2.13aux lignes (ou colonnes) correspon-dantes. Pour ZQT(2m; . . . ), c’est `a peine plus compliqu´e : c’est le Lemme2.12qui permet au croisement suppl´ementaire de “traverser” la ligne de changement d’orientation entre l’application du Lemme 2.13

aux lignes et aux colonnes xi et xj. 

Pour ZQT(2m, . . . ) et ZHT(2N ; . . . ), il existe de plus une sym´etrie, au moins partielle, en x et y :

Lemme 2.19. ZQT(4N + 2; . . . ) est sym´etrique en ses variables x et y, et

ZQT(4N ; x_{2N −1}, x, y) = ^σ(a 2) + σ(xy) σ(a2yx) ^{ZQT(4N ; x2N −1, y, x) (2.34)} ZHT(2N ; x_{2N −1}, x, y) = ^σ(a 2) + σ(xy) σ(a2yx) ^{ZHT(2N ; x2N −1, y, x). (2.35)}

32 CHAPITRE 2. ´ENUM ´ERATIONS DE MATRICES `A SIGNES ALTERNANTS

ligne x `a travers la ligne de sommets de degr´e 2, au prix de changements de sens au bord :

ZQT(4N + 2; x2N, x, y) = b b b b b b x y = y x b b b b b b b ZQT(4N ; x_{2N −1}, x, y) = b b b b b b x y = y x b b b b b

Pour ZQT(4N + 2; . . . ), le Lemme2.13permet alors d’´echanger les lignes x et y, prouvant la sym´etrie. Pour ZQT(4N ; . . . ), c’est le Lemme2.15qui permet de conclure.

Enfin, pour ZHT(2N ; . . . ), le Lemme 2.15 donne directement (2.35) sans aucune modification du

graphe. 

Enfin, dans le cas particulier o`u a = eiπ/3, la fonction de partition Z(N ; . . . ) acquiert une sym´etrie suppl´ementaire :

Lemme 2.20. Pour a = eiπ/3, la fonction de partition Z(N ; xN), yN) est sym´etrique en ses 2N

2.2. ´ENUM ´ERATION DE CONFIGURATIONS DE GLACE CARR ´EE ET FORMULES DE YANG-BAXTER 33