Quelques problèmes de faisceaux gaussiens

La principale approximation utilisée dans les méthodes de LFG est l’approximation paraxiale. Nous avons vu dans les deux sous-sections précédentes que cette approximation a été utilisée d’une part à l’intérieur de la méthode du point selle pour calculer l’expression analytique d’un faisceau gaussien qui se propage en espace

2.2. FAISCEAUX GAUSSIENS ASTIGMATIQUES GÉNÉRALISÉS 45

libre, et d’autre part avec la méthode "phase matching" pour calculer les champs transformés (réfléchi, transmis) de ce faisceau gaussien par une interface régulière.

Bien que la méthode LFG de base (basée uniquement sur la formulation paraxiale) permette de modéliser les champs électromagnétiques dans différents scénarios de propagation, elle s’avère souffrir de plusieurs limi- tations dans des scénarios plus compliqués. La source de ces limitations est connue : l’élargissement spatial d’un faisceau gaussien, et les transformations des faisceaux gaussiens partiellement interceptés par les interfaces. a Élargissement spatial d’un faisceau gaussien

Lors de la propagation d’un faisceau gaussien, ce dernier s’élargit spatialement en fonction de la distance parcourue. L’erreur de l’expression paraxiale (2.51) du faisceau augmente avec la distance de propagation. La figure 2.4 représente une coupe 2D dans le plan (yOz) d’un faisceau gaussien lancé à partir de la fenêtre

(a) Amplitude du champ (b) Erreur relative

FIG. 2.4 – Coupe dans le plan (yOz) d’un faisceau gaussien rayonné à partir d’une fenêtre gaussienne source

de largeur L = 30λ.

gaussienne centrale Ψµ=(0,0,0,0) (l’axe du faisceau est suivant l’axe ˆz), et ses largeurs initiales dans le plan

(xOy) Lxo= Lyo= 30λ. La figure 2.4(a) montre l’amplitude normalisé du champ du faisceau incident calculé

par application directe de la formulation paraxiale (2.51). La figure 2.4(b) représente l’évolution de l’erreur relative du même champ en fonction de la distance de propagation. L’erreur relative est par définition égale à la norme de la différence (vectorielle complexe) entre le champ calculé par l’expression paraxiale et le champ "référence" divisée par la norme du champ "référence". Le champ "référence" est obtenu par intégration de spectre d’ondes planes. La région bleue de la figure 2.4(b) représente la zone de validité de la formulation paraxiale (erreur relative du champ calculé inférieure à 0, 05). La zone de validité de l’approximation paraxiale est une zone qui entoure l’axe du faisceau. Sur la figure d’erreur, on observe clairement que l’erreur relative augmente en fonction de la distance de propagation.

Un faisceau gaussien est sensible à sa largeur initiale. Plus la largeur initiale spatiale du faisceau incident est grande, plus le faisceau est collimaté et sa zone de validité devient plus large. Pour calculer le champ d’un

faisceau après une longue propagation, l’application de la formulation paraxiale toute seule n’est pas très effi- cace puisque l’erreur paraxiale augmente d’une façon importante. Cette erreur paraxiale peut être diminuée en appliquant un algorithme de re-décomposition : le faisceau devenu trop large est re-décomposé sur un nouveau frame, donnant ainsi naissance à une nouvelle famille de faisceaux paraxiaux "collimatés" qui se propage avec une erreur plus faible.

b Faisceau gaussien rencontrant une discontinuité physique

Un autre problème pour la modélisation de la propagation par la méthode LFG de base est la transformation d’un faisceau gaussien partiellement intercepté par un obstacle de dimensions limitées (discontinuité physique). Nous avons vu dans la section [2.2.2] que les transformations d’un faisceau gaussien par une interface arbitraire peuvent être obtenues par des expressions analytiques à condition que le faisceau incident soit totalement inter- cepté par l’interface. Cette condition ne peut pas être réalisée dans tous les scénarios de propagation. La figure

(a) Réflexion totale (b) Réflexion partielle

FIG. 2.5 – Propagation et réflexion d’un faisceau gaussien : Coupe 2D pour un faisceau lancé dans le plan

(xOy) d’une source placée à l’origine du plan (xOz). Les surfaces colorées correspondent aux régions où le champ est non négligeable.

2.5 présente deux scénarios pour un faisceau gaussien incident lancé par une source "gaussienne" située à l’ori- gine du plan (xOz). Dans le premier scénario représenté par la figure 2.5(a), le faisceau incident est totalement intercepté par la surface plane d’un obstacle latéral après une certaine distance de propagation (réflexion totale du faisceau incident). Dans ce cas, la surface latérale de l’obstacle est considérée comme un plan infini, et la totalité du champ non négligeable du faisceau incident sera réfléchie par cette surface. La méthode "de base" LFG répond dans ce cas à la situation et le champ totalement réfléchi peut être calculé en utilisant l’expres- sion analytique (2.65) d’un faisceau réfléchi par une interface plane. Par contre la figure 2.5(b) présente une situation où le faisceau gaussien incident rencontre une discontinuité physique représentée par un coin d’un obstacle plan limité, on se retrouve donc dans un cas où la totalité du faisceau n’est pas réfléchie dans un même plan. Dans ce cas la réflexion spéculaire le long de l’axe du faisceau utilisée dans l’algorithme "LFG de base"

2.3. CONCLUSION 47

est inexacte, et par suite la formulation paraxiale ne peut pas seule résoudre le problème. Dans des situations

FIG. 2.6 –Faisceau incident et nouveau lancement de faisceaux après re-décomposition dans le plan P1. Les faisceaux

les plus foncés représentent les faisceaux "utiles" (ayant un champ non négligeable proche de la cible T ).

de ce type, on propose aussi d’appliquer un algorithme de re-décomposition qui permet de calculer le champ partiellement réfléchi par un obstacle limité : le faisceau incident est re-décomposé juste sur le plan P1 qui

contient la surface latérale de l’obstacle, et la partie du champ réfléchi s’obtient par superposition de faisceaux lancés à partir des fenêtres du frame de re-décomposition en prenant compte uniquement les fenêtres étroites dont l’origine spatiale appartient géométriquement à la surface de l’obstacle (voir figure 2.6).