Quelques exemples

Pour un hamiltonien H donn´e, on d´esignera par :

Gmax :={g ∈ O(d) : ∀z ∈ R2d, H[M (g)(z)] = H(z)}.

On peut consid´erer des hamiltoniens de Schr¨odinger : H(q, p) = 1

2 |p|

Dans ce cas-l`a, c’est le potentiel qui dicte les sym´etries. On reprend les exemples de groupes de sym´etrie de la section 1.1.3 en donnant des hamiltoniens dont c’est le Gmax :

• Exemple 1 : G = {±Id} ' Z/2Z

Pour d = 1, on a affaire `a des potentiels pairs tels qu’un potentiel `a double puits du type : V (q) = (q2− 1)2_{, o`u mˆeme `a 4 puits du type : V (q) = ((q}2_{− 1)}2₋1

2)2, des potentiels du type

oscillateur harmonique ou quartique : V (q) = q2 _{ou q}4_{, ou encore du type ”puits dans une ˆıle” :}

V (q) = (q2+ a)e−q2 (a > 0) . . .etc (voir figure 1.1).

0 1 2 3 4 –2 –1 1 2 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 –1.5 –1 –0.5 0.5 x1 1.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 –2 –1 0 1 2 x

Fig. _{1.1 – Potentiels harmonique, double puits et puits dans une ˆıle}

Les potentiels envisag´es ´etant positifs, Opw

h(H) est essentiellement autoadjoint sur S(R).

Dans ces exemples, V (q) −→

q→+∞+∞, donc bH est `a resolvante compacte (sauf pour le puits dans

une ˆıle).

• Exemple 2 : G '

σ

On peut par exemple consid´erer des potentiels pour d = 2 v´erifiant : V (x, y) = V (y, x).

• Exemple 3 : Groupe des isom´etries du triangle :

Un hamiltonien familier des physiciens en dimension d = 2 est le hamiltonien de H´enon-Heiles (voir [A], [L-W]). Ce hamiltonien sert notamment `a mod´eliser le mouvement d’une ´etoile dans une galaxie cylindrique. En choisissant un param`etre adequat, il pr´esente des sym´etries. Il est alors donn´e par :

H(p, q) := 1 2|p| 2_{+ V (q)} o`u V (x, y) := 1 2(x 2_{+ y}2_{)− xy}2₊1 3x 3_.

i.e. en coordonn´ees polaires, si ˜V (r, θ) := V (r cos θ, r sin θ), ˜ V (r, θ) = 1 2r 2₊ 1 3r 3_cos(3θ).

Notons Rα la rotation du plan d’angle α dans le sens trigonom´etrique, et Sα la sym´etrie d’axe

par Rαsi et seulement si , pour tout θ, ˜V (r, θ) = ˜V (r, θ+α) et V est stable par Sαsi et seulement

si pour tout θ, ˜V (r, θ) = ˜V (r, 2α_{− θ). On montre alors facilement que :} Gmax ={IdR2, R2π 3 , R4π3 , S0, S π 3, S2π3 } '

σ

Fig. _{1.2 – Sym´etries du triangle}

Cependant, on remarque sur la formule que ce potentiel n’est pas minor´e. Donc, on ne peut pas directement affirmer que son ´equivalent quantique est un op´erateur essentiellement autoadjoint3.

On peut cependant consid´erer un hamiltonien semblable, qui, lui, est semi-born´e inf´erieurement et poss`ede les mˆemes sym´etries en prenant plutˆot le potentiel :

V (x, y) = 1 2(x

2_{+ y}2₎2_{− xy}2₊1

3x

3_.

i.e. en coordonn´ees polaires, si ˜V (r, θ) := V (r cos θ, r sin θ), ˜ V (r, θ) = 1 2r 4₊ 1 3r 3_cos(3θ).

On a ˜V (r, θ) _≥ 1₂r4₋ 1₃r3, donc V est minor´e, et Opw_h(H) est essentiellement autoadjoint sur S(R2_{). De plus, H(q, p)≥} 1

2(|p|2+|q|2) + C, o`u C est une constante. Donc H est une application

propre et bH est `a r´esolvante compacte. Bien entendu, on a perdu le sens physique qu’avait le hamiltonien de H´enon-Heiles.

• Exemple 4 : Groupe des isom´etries du carr´e :

On consid`ere, toujours pour d = 2, un hamiltonien de Schr¨odinger de potentiel : V (x, y) := 1

2x

2_y2_.

3_{Question : l’op´erateur −}1

On v´erifie facilement que pour tel H, Gmax est le groupe des isom´etries d’un carr´e, Gmax ={±IdR2, Rπ 2, R− π 2, S π 4, S π 2, S3π4 , S0}

Par ailleurs, Opw_h(H) est essentiellement autoadjoint et on peut montrer que bH est `a r´esolvante compacte (voir B. Helffer, cours de DEA, http ://www.math.u-psud.fr/<sub>∼helffer/). Cet hamilto-</sub> nien est r´eput´e tr`es chaotique, au sens o`u une petite perturbation sur la condition initiale peut entrainer de grands changements dans l’´evolution du syst`eme dynamique associ´e (voir l’article de M. L¨ubcke sur http ://www.teorfys.uu.se/courses/exjobb/gutz.pdf).

• Exemple 5 : Oscillateurs harmoniques `a fr´equences distinctes : G ' (Z/2Z)d Consid´erons le hamiltonien `a potentiel quadratique suivant :

Lemme 1.2.9 Soit S >> 0 une matrice r´eelle sym´etrique d´efinie positive de taille d× d dont les valeurs propres sont 2 `a 2 distinctes. Pour q et p appartenant `a Rd, on pose :

V (q) :=< Sq; q >Rd , H(q, p) :=|p|2+ V (q).

Soit O∈ O(d) telle que S =t_{O.D.O avec D diagonale.}

Alors pour H ainsi d´efini,

Gmax=tO.{diag(±1)}.O ' (Z/2Z)d

o`u diag(_{±1) d´esigne une matrice diagonale dont les termes sont 1 ou -1.}

Id´ee de la preuve :

g_{∈ O(d) est une sym´etrie pour H ⇐⇒ ∀x ∈ R}d, < (S_{− g}−1Sg)x, x >= 0

i.e. S_{− g}−1_{Sg est `a la fois sym´etrique et antisym´etrique, donc nulle, i.e. [S, g] = 0. En diagona-}

lisant S en base orthonorm´ee, on se ram`ene ais´ement au cas o`u S est diagonale. Puis, si les gij

sont les coefficients de la matrice de g dans la base canonique de Rd, et si S = diag(a1, . . . , ad),

alors on a :

[S, g] = 0 ⇐⇒ aigij = ajgij.

Donc, ai 6= aj ⇒ gij = 0. 

V ´etant continu et positif, Opw

h(H) est essentiellement autoadjoint sur L2(Rd). En outre,

V (q) −→

|q|→+∞+∞, donc bH est positif `a r´esolvante compacte.

effectivement les orbites p´eriodiques du syst`eme hamiltonien classique : ˙z(t) = J∇H(z(t)). (1.7) o`u J = 0 Id −Id 0 !

On verra, lorsqu’on abordera la formule de trace de Gutzwiller que les asymptotiques des for- mules de trace que nous allons ´etudier sont souvent li´ees aux orbites p´eriodiques de ce syst`eme. • Exemple 6 : Oscillateurs harmoniques plus g´en´eraux :

On obtient des sym´etries avec des groupes de Lie isomorphes `a des groupes orthogonaux en prenant des fr´equences ´egales :

-L’exemple le plus simple est celui de l’oscillateur harmonique de base en dimension d : H(q, p) =|p|2+|q|2

pour lequel lequel Gmax = O(d), `a r´esolvante compacte, dont on connait le spectre (sym´etrie sph´erique).

-Si on prend par exemple avec d = 3 ; H(q, p) =_|p|2_{+ V (q) o`u :}

V (x, y, z) = x2+ 2(y2+ z2)

on obtient Gmax = ±1 0

0 SO(2)

!

(voir preuve dans l’exemple 5), ce qui nous donne un cas de sym´etrie cylindrique.

Le cas d’un groupe fini

2.1

Asymptotiques faibles

Si un op´erateur autoadjoint A, semiborn´e inf´erieurement, est `a r´esolvante compacte, et si l’on note _{λj : j ≥ 0} la suite de ses valeurs propres r´ep´et´ees avec ordre de multiplicit´e

g´eom´etrique ( avec λj → +∞ ), alors la fonction de comptage associ´ee `a A est, comme on

l’a vu pr´ecedemment :

NA(λ) :=

X

j≥0

1l_{λj≤λ} (λ_{∈ R).}

NA(.) est en particulier une distribution sur R, et si f est dansC0∞(R), on a :

< dNA dλ , f >=− Z R NA(λ)f0(λ)dλ =− X j≥0 Z _+∞ λj f0(λ)dλ =X j≥0 f (λj) = T r(f (A)).

Cette derni`ere formule montre comment le comportement de NAest li´e `a la trace Tr(f (A)).

Dans ce chapitre on s’int´eresse `a l’op´erateur A = bHχ sur L2χ(Rd). Nous allons voir comment,

en consid´erant des fonctions ”f ” bien choisies, on peut d´ecrire le comportement asymptotique semi-classique des fonctions de comptage partielles Nχ(I) ´evoqu´ees dans le chapitre pr´ec´edent,

lorsque h tend vers z´ero, grˆace `a des formules de trace.