Quelques définitions et résultats de base

La plupart des définitions ainsi que les résultats que nous allons donner dans cette section sont obtenus

à partir des références [Khatri 1972,Kagan 1973,Theis 2004a,Theis 2007a,Gutch 2007,Gutch 2012].

1.3.1 Le cas ACIM de taille fixe ou k-ACIM

Définition 1([Theis 2004a]). Une matrice partitionnée Ade taille pk⇥pk est ditek-admissible si tous

ces sous-matricesAi,j de taillek⇥k sont inversibles ou nulles.

Théorème 1 ([Ghurye 1962,Theis 2004a]). Soient L1etL2, deux vecteurs aléatoires définies par

L₁ =

p

X

i=1

A_is_i (1.3)

L2 =

p

X

i=1

Bisi (1.4)

où les si2Rk sont des vecteurs aléatoires indépendants et lesAi2Rk⇥k etBi2Rk⇥k sont des matrices

inversibles. Si de plus L1 etL2sont indépendantes, tous lessi, sont des vecteurs gaussiens.

Corollaire 2 ([Theis 2004a]). Soient L₁ etL₂ deux vecteurs aléatoires indépendants définis comme dans

(1.3) et (1.4). Si de plus lesAi etBi sont des matrices inversibles ou nulles, alorssi, tel queAiBi6= 0

est gaussien.

Le corollaire2 permet de garantir la séparabilité du problèmek-ACIM si on suppose que la matrice de

mélange est k-admissible. Mais avant de donner ce résultat, nous allons commencer tout d’abord par

rappeler la définition d’une composante gaussienne d’un vecteur aléatoire.

Définition 2(Composante gaussienne, [Kagan 1973]). On dit qu’un vecteur aléatoire possède une

compo-sante gaussienne si on peut l’écrire comme somme de deux vecteurs indépendants dont l’un est gaussien.

Lemme 3([Kagan 1973], p.310). Soit x:n⇥1un vecteur aléatoire. Alors on a l’alternative suivante :

i soitxest sans composante gaussienne ;

ii soitxpeut s’écrire

x=x1+x2, (1.5)

oùx₁etx₂sont des vecteurs aléatoires indépendants, etx₂est un vecteur gaussien de matrice de covariance

maximale.

Cela veut dire que six=y1+y2est une autre décomposition dexavecy1ety2indépendants, ety2un

vecteur gaussien, alors

cov[y2] cov[x2] n’est pas définie positive. (1.6)

Théorème 4 (Séparabilité de k-ACIM [Theis 2004a]). Soit A une matrice inversible etk-admissible et

s= (s0

1, . . . ,s0

p)02 Rpk, tel que les vecteurs aléatoires s_i 2Rk soient indépendants et sans composantes

gaussiennes. SiAscontient aussik vecteurs aléatoires indépendants, alorsA=PDoùDest une matrice

diagonale par bloc etPest une matrice de permutation.

1.3. Quelques définitions et résultats de base 17

1.3.2 ACIM, le cas général

1.3.2.1 Irréductibilité d’un vecteur aléatoire

Définition 3([Theis 2007a,Gutch 2007,Gutch 2012]). Un vecteur aléatoirexde dimensionnest

réduc-tible si on peut l’écrire sous la forme :

x=A

✓

y1

y2

◆

, (1.7)

oùAest une matrice inversible,y₁ety₂deux vecteurs aléatoires indépendants de dimensions respectives

k6= 0etn k. Un vecteur aléatoire qui n’est pas réductible est dit irréductible.

Remarque 5. Siz2Rnest un vecteur gaussien(n >1), alorszest réductible. Les vecteurs gaussiens sont

complètement déterminés par leurs moments d’ordre un et deux, donc leur indépendance est équivalente

à la décorrélation. Par ailleurs, pour tous z gaussien de covariance finie, il existe une matrice inversible

A, tel queAzsoit décorrélée (voir [Gutch 2012]). Par conséquent, un vecteur gaussien peut toujours être

réduit à une composante unidimensionnelle.

De toute évidence l’irréductibilité et la réductibilité sont conservées par les applications

linéaires-inversibles. Six= (x⁰1, . . . ,x⁰p)⁰, où lesxi(i= 1, . . . , p)sont mutuellement indépendants, cette

décompo-sition est appelé une décompodécompo-sition indépendante dex. Si de plus tous lesx_isont irréductibles alors dans

ce cas la décomposition est appelé une décomposition irréductible.

Remarque 6. Il est facile de voir que, pour tout vecteur aléatoirex2Rn, il existe une certaine matrice

inversibleA2Rn⇥ntelle queAx= (x⁰1, . . . ,x⁰p)⁰est une décomposition irreductible dex. En effet, soitx

est lui-même irréductible, dans ce casA=I_n, ou il existe une matrice inversibleAtel queAx= (x0

1,x0

2)0

où x1 et x2 sont indépendants. Si ces deux derniers vecteurs sont irréductibles, la condition est vérifiée,

sinon on répète la même procédure pourx1etx2. Après un nombre fini(p6dim(x) =n)des répétitions

de cette procédure nous obtiendrons la décomposition souhaitée.

Après avoir établit l’existence d’une telle décomposition, nous donnons la définition suivante.

Définition 4. Soitx2Rn un vecteur aléatoire etA2Rn⇥n une matrice inversible, telle queAx=s=

(s0₁, . . . ,s0_p)0, où

(i) n_i6n_j pour tout16i6j6p, oùn_i= dim(s_i),

(ii) les vecteurssi sont mutuellement indépendants,

(iii) il y a au plus unsk gaussien,

(iv) toutsk non-gaussien est irréductible,

alors, si on pose n= (n1, . . . , np)une partition ordonnée den, la paire(A,n) est appelée une analyse en

sous-espaces irréductibles dex(en anglais Irreducible Subspace Analysis) et les vecteurs aléatoiressi sont

appelés les composantes irréductibles de(A,n).

Définition 5. Dans la même logique, on dit qu’une matrice inversibleB est une ACIM de xsi Bxest

une décomposition irréductible de x.

1.3.2.2 Unicité de l’ACIM

Théorème 7. Soitxun vecteur aléatoire dont la matrice de covariance existe et sans composante

gaus-sienne, alors une ACIM de xexiste et est unique à une permutation et matrice inversible prés.

La démonstration du théorème 7 a été proposée dans [Gutch 2007, Gutch 2012] en se servant des

Lemme 8. Soit s= (s⁰₁, ...,s⁰_p)⁰ une décomposition carrée-intégrable desen composantes irréductibles et

mutuellement indépendantes où chaque s_i n’a aucune composante gaussienne ; si s = (x0

1,x0

2)0 est une

autre décomposition des en composantes indépendantes, alors il existe une permutation⇡ sur 1,· · ·, p

et un entier l, tel que

x1 = ⇣

s⁰_⇡(1),· · ·,s⁰_⇡(l)⌘₀

(1.8)

x2 = ⇣

s⁰_⇡(l+1),· · ·,s⁰_⇡(p)⌘₀

(1.9)

Lemme 9([Theis 2007a,Gutch 2007]). Supposons que

s= A1 A2

✓

x1

x2

◆

(1.10)

oùx1etx2 sont deux vecteurs indépendants et les matricesA1etA2 vérifient

rang(A1) +rang(A2) =rang A1 A2 = dim(s). (1.11)

Alors, le vecteur aléatoiresest réductible.

Lemme 10 ([Gutch 2007]). S’il existe unk02Ntel querang(A1k0) +rang(B2k0)>dim(sk0), alorssk0

a une composante gaussienne.

Le lemme8précédant signifie que lorsque nous avons une décomposition en composantes irréductibles

et mutuellement indépendantes d’un vecteur aléatoiresqui n’admet aucune composante gaussienne,

n’im-porte quelle autre décomposition desen composantes indépendantes (pas nécessairement irréductibles) se

divise le long des composantes irréductibles. Le lemme 9permet de garantir que lorsque nous avons par

exemple

x₁ =

p

X

k=1

A_1ks_k (1.12)

x2 =

p

X

k=1

B2ksk (1.13)

l’une de deux matrices A1,k0,B2,k0 est forcément égale a0; dans le cas contraire cela contredirait

l’irré-ductibilité de la décomposition. Nous allons maintenant expliquer l’idée principale de la preuve du théorème

7en se basant sur les trois lemmes précédants (pour la démonstration complète voir [Gutch 2012]). Il s’agit

d’un raisonnement par l’absurde, en effet, si nous supposons qu’il existe un entierk0tel que les deux

ma-tricesA1,k0 etB2,k0 sont non nulles, c-à-d querang(A1,k0)6= 0ainsi querang(B2k0)6= 0, l’hypothèseA

de rang plein, entraine que

rang(A_1,k0) +rang(B_2,k0) dim(s_k0) (1.14)

ce qui veut dire qu’il y a deux cas à traiter

(1) rang(A1,k0) +rang(B2,k0) = dim(sk0) =nk0

(2) rang(A_1,k0) +rang(B_2,k0)>dim(s_k0) =n_k0

Le cas (2) est complètement résolu par le lemme10, car nous supposons les s_i sans composantes

gaus-siennes. Maintenant, si nous supposons que (1) vérifiée, le lemme 9 nous conduit à une contradiction

avec l’hypothèse que toutes les si sont irréductibles. Par conséquence, forcément l’une de deux matrices

Dans le document Analyse en Composantes Indépendantes Multidimensionnelles via des cumulants d’ordres variés (Page 31-34)