Quelques commentaires sur l’inversion thermoélastique

Nous définissons l’inversion thermoélastique comme étant une simple superposition de la thermoélasticité standard et de l’élasticité entropique. On utilise le formalisme des ma-tériaux standards généralisés (GSM) pour introduire cet effet d’inversion thermoélastique [Halphen et Nguyen, 1975]. Dans leur thèse, Saurel [Saurel, 1999] puis Honorat [ Hono-rat, 2006] avaient choisi de quitter le cadre strict de l’élasticité pour introduire une variable d’état supplémentaire appelée déformation caoutchoutique. Les détails sur cette approche sont donnés ci-après.

De façon simple, le modèle caoutchoutique se fonde sur l’analogie du gaz parfait, formulée par Treloar en 1975 [Treloar, 1975] et concernant la forme de l’énergie interne ecd’un maté-riau élastique entropique. Par construction, cette énergie interne pour un milieu élastique est une fonction de l’entropie et de la déformation, mais expérimentalement, les valeurs ne dépendent que de la température absolue. On note ˜e(T ) cette dépendance :

Analyse globale du comportement thermomécanique de la matrice polyamide 6.6 et du composite

Or, la température absolue est définie par T = ec,s et la partie réversible du tenseur de contrainte par σσσr = eee_c,εεε. Rappelons que dans le cadre de la thermoélasticité, aucune dis-sipation intrinsèque ne peut se produire de sorte que la contrainte irréversible σσσirest nulle. Par conséquent, la contrainte réversible σσσr peut être identifiée à la contrainte σσσ. La dérivée temporelle de l’énergie interne spécifique donne :

˙ec = T ˙s + σ : ˙εσ : ˙εσ : ˙ε = ˜e^′T .^˙ (5.2) Le symbole xxx′

désigne la dérivée de xxx par rapport à la température absolue T .

En introduisant l’énergie libre spécifique de Helmholtz pour les matériaux caoutchoutiques

ψc = ec − T s, la dérivée temporelle de l’entropie spécifique s = − (ψc)_,T donne :

˙s = − (ψc)_,T,TT − (ψ^˙ c)_,εεε,T : ˙ε: ˙ε: ˙ε (5.3) Si on injecteEq.(5.3) dansEq.(5.2), il vient que :

 ˜ e^′ − Cεεε  | {z } (E1) ˙ T − (T s,εεε+ σσσ) | {z } (E2) : ˙ε : ˙ε: ˙ε= 0 (5.4)

SiEq.(5.4) est égale à zéro, quel que soit le processus thermoélastique envisagé (i.e. ∀ ( ˙T , ˙ε˙ε˙ε)), les expressions E1et E2doivent être identiquement nulles. L’équation E1indique que la cha-leur spécifique Cεεεest fonction uniquement de la température. La seconde équation montre que la contrainte d’un polymère, dont le comportement tend vers celui du caoutchouc, est proportionnelle à la température. Cette relation est de même forme que celle de la théorie statistique macromoléculaire introduite par Treloar en 1973 [Treloar, 1973] (cf. le dernier terme deEq.(2.46)).

Comme T (ψc)_,εεε,T = (ψ_c)_,εεε, on peut facilement démontrer que l’énergie libre spécifique ψc

peut prendre la forme générale suivante :

ψc(T, εεε) = TK1(εεε) + K2(T ) (5.5) où K1 et K2 sont des fonctions d’intégration. Le choix de cette énergie libre entropique sa-tisfait à la foisEq.(5.2) etEq.(5.4)-E2.

La fonction K1 peut être déterminée, par exemple via le modèle gaussien. Quant à la fonc-tion d’intégrafonc-tion K2, elle peut être déterminée en supposant que la chaleur spécifique Cεεε

reste constante au voisinage de l’équilibre thermique. Cela reste valable si l’on considère que les variations d’énergie libre restent directement liées aux variations de température. Notons que les mécanismes microstructuraux des chaînes du polymère tels que les mou-vements locaux (les réticulations, les enchevêtrements) ne rentrent pas dans le cadre de cette approche. Leur prise en compte réclame l’introduction de nouvelles variables d’état descriptives de l’évolution microstructurale et d’autres formes de potentiels. Par exemple, l’approche d’Edwards et Vilgis a été utilisée par Billon [Billon, 2012] pour prédire le compor-tement dynamique du polyamide 6.6 aux grandes déformations. Elle est actuellement adap-tée, au sein du groupe Durafip, aux petites déformations, pour mieux prédire le compor-tement cyclique de la matrice polyamide. Dans l’approche suivie ici, l’énergie libre, consi-dérée dansEq. (5.5) a été dérivée du modèle affine de Flory [Flory et Rehner, 1943], qui ne prend pas en compte une limitation en terme d’extensibilité des chaînes. Cependant, nous

Résultats Expérimentaux

avons estimé que ce modèle pourrait donner des résultats satisfaisants pour les gammes de déformations modérées.

La part de l’énergie libre du polyamide 6.6 dédiée aux couplages thermomécaniques a donc été définie comme étant une somme de l’énergie libre ψthe d’un matériau thermoélastique standard et celle d’un matériau caoutchouc ψc. Lorsqu’on considère une mesure logarith-mique de déformation type Hencky, on suppose que le tenseur de déformation totale peut être décomposé en une partie élastique εεεe et une partie caoutchoutique εεεc, comme c’est le cas pour n’importe quel modèle en série. Pour un modèle unidimensionnel d’une transfor-mation caoutchoutique incompressible, l’énergie spécifique globale peut alors s’écrire sous la forme suivante : ψ (θ, ε, εc) = | {z } ψthe 1 2E (ε − εc− αthθ)²− ψc z }| { 1 2 ρC Ta + Eα²_th  θ²+ Kc(θ + Ta) ^e 2εc 2 ^{+ e} −εc − ³₂ ! (5.6)

où E représente le module d’élasticité, αth est le coefficient de dilatation thermique et θ =

T − Ta sont les variations de la température courante T , où Ta représente la température

ambiante et Kc une constante caractéristique du matériau.

Si on reste en accord avec ce qui précède, les sources de chaleur peuvent donc être déduites deEq.(5.6). En utilisant le modèle 0D de diffusion de la chaleur simplifiée introduit dans le chapitre 4, la nouvelle équation de la chaleur devient :

ρ ˙θ + ^θ τ0D th ! = −EαthT ( ˙ε − ˙εc) + KcT^e^2εc− e−εc ˙εc (5.7)

Deux sources de couplage interviennent dans le membre de droite de l’équation de diffu-sion de chaleur. La première source caractérise les effets thermoélastiques standard tandis que la seconde porte sur les effets entropiques.

Si les variations de température restent très faibles par rapport à la température absolue (approximation isotherme), on peut montrer que les sources de couplages moyennées sur un cycle mécanique complet restent proches de zéro :

lim T (τ )→Ta h Z t+1 fs t sctmdτ i = 0 ∀τ ∈^ht, t + 1 fs i (5.8)

Pour un polyamide 6.6, on supposera que cette énergie moyenne induite par les couplages thermomécaniques reste faible devant la taille de la boucle d’hystérésis. Mais, une fois en-core, une valeur nulle ou négligeable sur un cycle ne veut pas dire que les amplitudes des sources associées le sont. Bien au contraire, l’étendue des sources de couplage thermoélas-tique peut être de l’ordre cent fois plus grande que l’intensité des dissipations mis en jeu en moyenne sur cycle de chargement. Ceci a déjà été observé sur les alliages métalliques [ Ber-thel et al., 2008] mais ne peut être généralisé, a priori, à tout type de matériaux. Par exemple, pour des alliages particuliers comme les alliages à mémoire de forme monocrystallin, sièges de transformation martensitique du 1er ordre, il a été montré que ces mécanismes de cou-plage pouvaient même être à l’origine de l’existence d’une boucle d’hystérésis mécanique surtout quand un mécanisme de couplage fort se localise le long de front mobile [Vigneron, 2009,Chrysochoos, 2012]. Ce qui amplifie terriblement les effets d’hystérésis à l’échelle de la "structure-éprouvette".

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