Quasiconvexit´ e

2.3 Quasiconvexit´ e

Une notion interm´ediaire entre la convexit´e et la rang-1-convexit´e est la quasiconvexit´e introduite par Morrey.

D´efinition 2.3.1. Une fonction bor´elienne et localement born´eef :R^d×N →Rest dite quasicon-vexesi

f(ξ)≤ 1

|D|

Z

D

f(ξ+∇ϕ(y))dy pour tout ouvert born´eD⊂R^N, toutξ∈R^d×N et toutϕ∈ C_c¹(D;R^d).

Remarque 2.3.2. Quandf ne prend que des valeurs finies (ce qui sera le cas ici), la condition de quasiconvexit´e ne d´epend pas de l’ensembleD. En effet, siD⁰ ⊂R^N est un autre ouvert born´e, alors il existex₀∈R^N etr >0 tels quex₀+rD⁰ ⊂D. Siϕ∈ C_c¹(D⁰;R^d), on d´efinit

ψ:=

(rϕ ^x−x_r ⁰

six∈x₀+rD⁰,

0 sinon,

de sorte queψ∈ C_c¹(D;R^d). Si la condition de quasiconvexit´e est v´erifi´ee pourD, alors

|D|f(ξ)≤ Z

D

f(ξ+∇ψ(x))dx

=|D\(x0+rD⁰)|f(ξ) + Z

x0+rD⁰

f

ξ+∇ϕ

x−x0

r

dx

= (|D| −r^N|D⁰|)f(ξ) +r^N Z

D⁰

f(ξ+∇ϕ(y))dy, d’o`u

|D⁰|f(ξ)≤ Z

D⁰

f(ξ+∇ϕ(y))dy.

Remarque 2.3.3. Si f est continue et satisfait une condition de croissance du type

|f(ξ)| ≤C(1 +|ξ|^p) pour toutξ∈R^d×N,

avecC >0 et 1≤p <∞, alors un argument de densit´e montre que la condition de quasiconvexit´e est ´equivalente `a

f(ξ)≤ 1

|D|

Z

D

f(ξ+∇ϕ(y))dy

pour tout ouvert born´eD⊂R^N, toutξ∈R^d×N et toutϕ∈W₀^1,p(D;R^d).

Remarque 2.3.4. Sif :R^d×N →Rest convexe, alors l’in´egalit´e de Jensen montre que pour tout ϕ∈ C_c¹(D;R^d), on a

− Z

D

f(ξ+∇ϕ(y))dy≥f

− Z

D

(ξ+∇ϕ(y))dy

=f(ξ)

car ϕ = 0 dans un voisinage de ∂D. Ceci montre que toute fonction convexe est quasiconvexe.

Nous montrerons ult´erieurement que la quasiconvexit´e implique la rang-1-convexit´e.

L’int´eret majeur de la quasiconvexit´e est qu’elle fournit une condition n´ecessaire et suffisante de semi-continuit´e inf´erieure pour les fonctionnelles int´egrales. Le r´esultat suivant est dˆu `a Morrey, il a ´et´e ´etendu de nombreuses mani`eres notamment dans l’une de ses formes les plus g´en´erales par Acerbi et Fusco (voir [1]) pour des fonctionnelles int´egrales d´ependant dex, uet ∇u.

Commen¸cons par la condition n´ecessaire qui est plus simple.

Th´eor`eme 2.3.5. Soient Ω ⊂ R^N un ouvert born´e, 1 ≤ p ≤ ∞ et f : R^d×N → [0,+∞) une fonction bor´elienne etF :W^1,p(Ω;R^d)→Rla fonctionnelle d´efinie par

F(u) = Z

Ω

f(∇u)dx pour toutu∈W^1,p(Ω;R^d).

Si F est faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(Ω;R^d) alors f est semi-continue inf´erieurement et quasiconvexe.

D´emonstration. Si ξn →ξ, on d´efinit pour tout x∈R^N,un(x) = ξnxet u(x) =ξxde sorte que un→u(fortement) dansW^1,p(Ω;R^d) et donc

|Ω|f(ξ) = Z

Ω

f(∇u)dx≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

f(∇un)dx= lim inf

n→+∞|Ω|f(ξn), ce qui montre quef est semi-continue inf´erieurement.

Montrons que f est quasiconvexe. Soientξ ∈R^d×N, Y = (0,1)^N et ϕ∈ C_c¹(Y;R^d). On ´etend ϕparY-p´eriodicit´e `a toutR^N et on pose u(x) =ξxet u_n(x) =ξx+¹_nϕ(nx) pour toutn∈Net pour toutx∈R^N. Clairementu_n→ufortement dansL^∞(Ω;R^d) et comme la suite (∇u_n)_n∈Nest born´ee dans L^∞(Ω;R^d×N), alorsu_n * ufaible* dansW^1,∞(Ω;R^d) et donc ´egalement faiblement dansW^1,p(Ω;R^d). Par cons´equent, on a

|Ω|f(ξ) = Z

Ω

f(∇u)dx≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

f(∇un)dx= lim inf

n→+∞

Z

Ω

f(ξ+∇ϕ(nx))dx.

Sif(ξ+∇ϕ)∈L¹(Y), le Th´eor`eme de Riemann-Lebesgue montre quef(∇un) =f(ξ+∇ϕ(n·))* R

Y f(ξ+∇ϕ(y))dy faiblement dansL¹(Y), d’o`u f(ξ)≤

Z

Y

f(ξ+∇ϕ(y))dy.

Si, en revanche,f(ξ+∇ϕ)6∈L¹(Y), alors on a toujours f(ξ)≤+∞=

Z

Y

f(ξ+∇ϕ(y))dy ce qui montre la quasiconvexit´e def.

Dans la preuve de la condition suffisante, nous utiliserons le r´esultat suivant qui ´etablit une forme de “diff´erentiabilit´e approch´ee” des fonctions de Sobolev.

Th´eor`eme 2.3.6. Soitu∈W^1,p(Ω) avec1≤p <∞. Alors pour presque toutx0∈Ω, on

ρ→0lim− Z

Bρ(x0)

|u(x)−u(x0)− ∇u(x0)·(x−x0)|^p

ρ^p dx= 0.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 25 de changement de variables et l’in´egalit´e de H¨older,

Z

Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer le r´esultat de condition suffisante de faible semi-continuit´e inf´erieure.

Th´eor`eme 2.3.7. Soient Ω ⊂ R^N un ouvert born´e et f : R^d×N → R une fonction continue et quasiconvexe satisfaisant la propri´et´e de croissance suivante : il existeλ >0,Λ>0 et1< p <∞ tels que

λ|ξ|^p≤f(ξ)≤Λ(1 +|ξ|^p) pour tout ξ∈R^d×N. Alors la fonctionnelle F :W^1,p(Ω;R^d)→Rd´efinie par

F(u) = Z

Ω

f(∇u)dx pour toutu∈W^1,p(Ω;R^d) est faiblement semi-continue inf´erieurement dansW^1,p(Ω;R^d).

D´emonstration. Soitun* ufaiblement dansW^1,p(Ω;R^d). Il s’agit de montrer que F(u)≤lim inf

n→+∞F(un).

Notons que le membre de droite est toujours fini d’apr`es l’hypoth`ese de croissance, et du fait qu’en vertu du Th´eor`eme de Banach-Steinhaus la suite (∇un)n∈N est born´ee dans L^p(Ω;R^d×N).

On consid`ere une sous-suite (u_nk)_k∈Ntelle que lim inf

n→+∞F(un) = lim

k→+∞F(un_k).

Etape 1. On suppose d’abord queu(x) = ξxpour toutx∈ Ω est une fonction affine. L’id´ee consiste `a modifier la condition limite de la suiteu_nk par celle de sa limiteu.

Soit (µ_k)_n∈Nla suite de mesures positives dans M(Ω) d´efinie par µ_k(E) =

Z

E

(1 +|ξ|^p+|∇u_nk|^p)dx pour tout Bor´elienE⊂Ω.

Comme cette suite de mesures est born´ee, quitte `a extraire une nouvelle sous-suite, on peut supposer queµk* µfaible* dansM(Ω). Pour toutr >0, on note Ωr={x∈Ω : dist(x, ∂Ω)> r}. Comme les ensembles∂Ωr sont deux `a deux disjoints, on en d´eduit que la famille{r >0 :µ(∂Ωr)>0}est au plus d´enombrable, et on peut trouver unr >0 tel queµ(∂Ωr) = 0.

Pour tout 0< δ < r, on consid`ere une fonction cut-offη∈ C_c^∞(Ω) telle que 0≤η≤1,η= 1 sur Ωr+δ, η= 0 sur Ω\Ω_r−δ et |∇η| ≤c/δ. On pose alors

vk =ηun_k+ (1−η)u∈W^1,p(Ω;R^d)

qui satisfaitv_k(x) =ξxpour toutx∈Ω\Ω_r−δ etv_k =u_nk sur Ω_r+δ. En utilisant la condition de croissance surf, on en d´eduit que

Z

Ω

f(∇u_nk)dx≥ Z

Ω_r+δ

f(∇v_k)dx≥ Z

Ω

f(∇v_k)dx− Z

Ω\Ωr−δ

f(ξ)−Λ Z

Ωr−δ\Ω_r+δ

(1 +|∇v_k|^p)dx.

Or ∇vk =η∇un_k+ (1−η)ξ+∇η⊗(un_k−u), ce qui implique que |∇vk|^p ≤c(|∇un_k|^p+|ξ|^p+

|u−un_k|^p/δ^p). Par cons´equent, Z

Ω

f(∇un_k)dx≥ Z

Ω

f(∇vk)dx− Z

Ω\Ωr−δ

f(ξ)

−C Z

Ωr−δ\Ωr+δ

1 +|∇un_k|^p+|ξ|^p+ 1

δ^p|un_k−u|^p

dx.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 27

En faisant tendreδ&0, on obtient que

δ&0limµ

Ω_r−δ\Ωr+δ

=µ(∂Ωr) = 0 d’apr`es le choix der. Par cons´equent,

lim inf

n→+∞

Z

Ω

f(∇u_n)dx≥ |Ω|f(ξ)− |Ω\Ω_r|f(ξ), et on obtient le r´esultat en faisant tendrer&0.

Etape 2.Soitu∈W^1,p(Ω;R^d) une fonction g´en´erale. On d´efinit la mesure λk(E) =

Z

E

f(∇un_k)dx pour tout Bor´elienE⊂Ω.

Comme cette mesure est born´ee, quitte `a extraire une sous-suite, on peut supposer que λ<sub>k</sub> * λ faible* dans M(Ω). On d´esigne par L<sup>N</sup> la mesure de Lebesgue dans R<sup>N</sup>. Le th´eor`eme de d´ecomposition de Lebesgue montre queλ=aL^N+λ^so`ua∈L<sup>1</sup>(Ω) etλ<sup>s</sup>est une mesure ´etrang`ere

`

a la mesure de Lebesgue. Nous allons montrer que pour presque toutx0∈Ω, a(x0)≥f(∇u(x0)). ce qui conclut la preuve du th´eor`eme.

Fixons un pointx0∈Ω un point de Lebesgue deuetaqui satisfait de plus

Par le th´eor`eme de diff´erentiation de Lebesgue et le Th´eor`eme2.3.6, presque tous les pointsx0∈Ω satisfont ces propri´et´es. Comme les ensembles {∂Bρ(x0)}ρ>0 sont deux `a deux disjoints, on en d´eduit que l’ensemble {ρ >0 :λ(∂Bρ(x0))>0}est au plus d´enombrable. Il existe donc une suite

On pose pour presque touty∈B=B1(0),

vk,j(y) := un_k(x0+ρjy)−u(x0)

ρ_j ∈W^1,p(B;R^d)

de sorte que∇v_k,j(y) =∇u_nk(x₀+ρ_jy). D’apr`es la formule de changement de variable, on a donc a(x₀) = lim

j→+∞ lim

k→+∞

1 ωN

Z

B

f(∇vk,j(y))dy

et Z

B

|vk,j(y)− ∇u(x0)y|^pdy= 1 ρ^N_j

Z

B_ρj(x₀)

|unk(x)−u(x₀)− ∇u(x0)(x−x₀)|^p

ρ^p_j dx

de sorte que

j→+∞lim lim

k→+∞

Z

B

|vk,j(y)− ∇u(x0)y|^pdy= 0.

Pour toutj∈N, on peut donc trouver une suitek(j)%+∞quandj→+∞telle que, si l’on pose v_j :=v_k(j),j, alorsv_j → ∇u(x₀)y fortement dansL^p(B;R^d) et

a(x₀) = lim

j→+∞

1 ωN

Z

B

f(∇v_j(y))dy.

D’apr`es la propri´et´e de coercivit´e, on a que la suite (∇vj)<sub>j∈N</sub>est born´ee dansL<sup>p</sup>(B;R<sup>d×N</sup>) ce qui montre quevj *∇u(x0)yfaiblement dansW<sup>1,p</sup>(B;R<sup>d</sup>). D’apr`es l’´etape 1, on en d´eduit que

a(x0)≥f(∇u(x0)), comme annonc´e.

Remarque 2.3.8. Le r´esultat pr´ec´edent est loin d’ˆetre optimal. Il se g´en´eralise au cas o`uf satisfait

−C1(|ξ|^q+ 1)≤f(ξ)≤C2(1 +|ξ|^p) pour toutξ∈R^d×N, avec 1≤q < petC₁,C₂>0.

La quasiconvexit´e de f est donc une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonctionnelle int´egraleF :W^1,p(Ω;R^d)→Rd´efinie par

F(u) = Z

Ω

f(∇u(x))dx

soit faiblement semi-continue inf´erieurement dans W^1,p(Ω;R^d). Elle implique donc la rang-1-convexit´e def. Ces deux notions sont toutefois distinctes (du moins quandd≥3) comme l’atteste le contre-exemple de Sverak (voir Exemple2.2.7) o`u on peut montrer que la fonctionf construite, bien qu’´etant rang-1-convexe, n’est pas quasiconvexe.

Un exemple important de fonctions quasiconvexes quandN =d= 2 est le suivant. Nous avons d´ej`a vu que si Ω⊂R<sup>2</sup> est un ouvert born´e et u<sub>n</sub> * u faiblement dansW<sup>1,p</sup>(Ω;R<sup>2</sup>) avec p >2, alors det(∇un)*det(∇u) faiblement dansL<sup>p/2</sup>(Ω). Par cons´equent, sig:R<sup>2×2</sup>×R→Rest une fonction convexe, le Th´eor`eme1.2.3assure que

Z

Ω

g(∇u,det∇u)dx≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

g(∇u,det∇un)dx,

ce qui montre que, en vertu du Th´eor`eme2.3.5 que ξ ∈ R<sup>2×2</sup> 7→ g(ξ,detξ) est quasiconvexe. Il s’agit d’un cas tr`es particulier d’une classe de fonctions ditepolyconvexes.

Nous sommes `a pr´esent en mesure d’´enoncer un r´esultat d’existence de minimiseurs dans le cas vectoriel dont la d´emonstration est identique `a celle du Th´eor`eme1.2.5.

2.3. QUASICONVEXIT ´E 29 Th´eor`eme 2.3.9. Soient Ω ⊂R^N un ouvert born´e, f : R^d×N → R une fonction bor´elienne et g: Ω×R^d→Rune fonction de Carath´eodory. On suppose que :

— f est quasiconvexe ;

— il existeλ >0,Λ>0 et1< p <∞ tels que pour toutξ∈R^d×N, λ|ξ|^p≤f(ξ)≤Λ(1 +|ξ|^p);

— il existe 1 < p < ∞, a0, a1 ∈ L¹(Ω) et b ≥0 tels que pour presque tout x∈ Ω et tout z∈R^d,

a0(x)≤g(x, z)≤a1(x) +b|z|^p.

Siu0∈W^1,p(Ω;R^d), alors il existe une solution u∈u0+W₀^1,p(Ω;R^d)au probl`eme de Dirichlet inf

v∈u0+W₀^1,p(Ω;R^d)

Z

Ω

f(∇v)dx+ Z

Ω

g(x, v)dx

.

Chapitre 3

Γ-convergence de fonctionnelles int´ egrale

3.1 Th´ eorie g´ en´ erale de la Γ-convergence

On cherche `a d´efinir une notion de convergence variationnelle, appel´ee Γ-convergence, qui rende stable les probl`emes de minimisation, autrement dit qui assure la convergence des minimiseurs ainsi que de la valeur minimale.

Dans cette section, on consid`ere un espace m´etrique (X, d) et (Fj)_j∈Nune suite de fonctionnelles Fj:X →R∪{+∞}. On souhaite d´efinir une limiteF de la suite (Fj)_j∈Nqui satisfait les propri´et´es suivantes :

— siuj∈X est telle queF(uj) = minXFj et uj →u, alorsF(u) = minXF;

— minXFj=Fj(uj)→F(u) = minXF.

D´efinition 3.1.1. On dit que la suite (Fj)j∈N Γ-converge versF si pour toutu∈X : i) (borne inf´erieure)pour toute suite (u_j)_j∈N⊂X telle queu_j→u, on a

F(u)≤lim inf

j→+∞Fj(uj);

ii) (borne sup´erieure)il existe une suite (¯uj)j∈N⊂X telle que ¯uj →uet F(u) = lim

j→+∞Fj(¯uj).

Le r´esultat fondamental de la Γ-convergence est le suivant.

Th´eor`eme 3.1.2. Supposons que(Fj)_j∈N Γ-converge vers F. Si(uj)_j∈N est une suite d’´el´ements deX telle queuj→uet limjFj(uj) = limjinfXFj, alors uest un minimum deF et de plus,

F(u) = min

X F = lim

j→+∞inf

X Fj. D´emonstration. Commeuj→u, alors d’apr`es la borne inf´erieure, on a

F(u)≤lim inf

j→+∞F_j(u_j).

Par ailleurs, pour toutv ∈X, il existe une suite (¯vj)_j∈N telle que ¯vj →v et Fj(¯vj)→F(v). Par cons´equent,

j→+∞lim inf

X Fj≤ lim

j→+∞Fj(¯vj)≤F(v), 31

ce qui montre queF(u) ≤F(v) pour tout v ∈X et que F(u) = minXF ≤limjinfXFj ≤F(v) pour toutv∈X. En prenantv=u, on obtient le r´esultat annonc´e.

A partir de la d´efinition, on obtient imm´ediatement les propri´et´es suivantes.

Remarque 3.1.3. 1. SiFj Γ-converge versF, alorsF est semi-continue inf´erieurement dans X. En effet, soit u^k → u, d’apr`es la borne sup´erieure, pour tout k ∈ N, on peut trouver une suite ¯u^k_j → u^k telle que limjFj(¯u^k_j) = F(u^k). Par r´ecurrence, on construit une suite croissante (σ_k)_k∈N d’entiers telle que pour toutk∈Net pour toutj≥σ_k,

d(¯u^k_j, u^k)≤ 1

k, |Fj(¯u^k_j)−F(u^k)| ≤ 1 k.

D´efinissonsvj= ¯u^k_j siσk≤j < σk+1 de sorte quevj →uet F(u)≤lim inf

j→+∞Fj(vj)≤lim inf

k→+∞Fσ_k(vσ_k)≤lim inf

k→+∞F(u^k).

2. SiF_j Γ-converge versF, alors pour toute sous-suite (F_jk)_k∈N, on a F_jk Γ-converge versF. Pour montrer la borne inf´erieure, on consid`ere une suiteu_k→uet on d´efinit

˜ u_j =

(u_jk sij=j_k,

u sij6=jk pour toutk de sorte que ˜u_j →uet donc

F(u)≤lim inf

j→+∞Fj(˜uj)≤lim inf

k→+∞Fj_k(˜uj_k) = lim inf

k→+∞Fj_k(uk).

Pour la borne sup´erieure, commeFjΓ-converge versF, alors il existe une suite (¯uj)j∈N⊂X telle que ¯uj →uet

F(u) = lim

j→+∞Fj(¯uj) = lim

k→+∞Fj_k(¯uj_k).

3. SiF_j Γ-converge versF etG:X →Rest continue, alorsF_j+GΓ-converge versF+G.

Une Γ-limite n’existe pas toujours. Pour cette raison, il est utile de d’introduire les Γ-limites inf´erieures et sup´erieures qui, elles, sont toujours bien d´efinies.

D´efinition 3.1.4. Pour toutu∈X, on d´efinit les Γ-limites inf´erieures et sup´erieures par F⁰(u) := inf

lim inf

j→+∞Fj(uj) : uj →u

, F⁰⁰(u) := inf

lim sup

j→+∞

Fj(uj) : uj→u

.

respectivement.

On a alors le r´esultat suivant

Proposition 3.1.5. La suite(F_j)_j∈NΓ-converge si et seulement siF⁰=F⁰⁰, auquel cas, laΓ-limite est donn´ee par cette fonctionnelle commune.

D´emonstration. Supposons que (Fj)_j∈NΓ-converge vers une fonctionnelleF et montrons queF = F⁰=F⁰⁰. Remarquons qu’on a toujoursF⁰≤F⁰⁰. Par cons´equent, il suffit de montrer queF ≤F⁰ etF⁰⁰≤F. D’apr`es la borne inf´erieure, on a pour toutu∈X et pour toute suiteuj →u,

F(u)≤lim inf

j→+∞Fj(uj).

3.1. TH ´EORIE G ´EN ´ERALE DE LAΓ-CONVERGENCE 33 Par passage `a l’infimum sur toutes les suites (uj)j∈N qui convergent versuet par d´efinition de la Γ-limite inf´erieure, il vientF ≤F⁰. Par ailleurs, la borne sup´erieure montre l’existence d’une suite

¯

u_j→utelle que

F(u) = lim

j→+∞F_j(¯u_j) = lim sup

j→+∞

F_j(¯u_j)≥F⁰⁰(u), ce qui conclut la preuve de la condition n´ecessaire.

Montrons `a pr´esent la condition suffisante. On suppose alors que F⁰ =F⁰⁰ et on veut montrer que (F_j)_j∈N Γ-converge vers cette fonctionnelle commune not´ee F. Par d´efinition de la Γ-limite inf´erieure, on a pour toutu∈X et pour toute suiteu_j→u,

F(u) =F⁰(u)≤lim inf

j→+∞Fj(uj),

ce qui montre la borne inf´erieure. Pour ´etablir la borne sup´erieure, nous allons montrer que l’exis-tence d’une suite ¯u_j →utelle que

lim sup

j→+∞

Fj(¯uj)≤F⁰⁰(u) =F(u).

Il suffit de consid´erer que le cas o`uF⁰⁰(u)<+∞. Pour toutk∈N, on peut alors trouver une suite u^k_j →utelle que

lim sup

j→+∞

Fj(u^k_j)≤F⁰⁰(u) +1 k.

Par r´ecurrence, on construit une suite croissante (σ_k)_k∈Ntelle que pour tout k∈Net pour tout j≥σ_k,

d(u^k_j, u)≤ 1

k, F_j(u^k_j)≤F⁰⁰(u) + 2 k.

On pose alors ¯uj=u^k_j siσk≤j < σk+1 de sorte que ¯uj→uet lim sup_jFj(¯uj)≤F⁰⁰(u).

Dans les espaces m´etriques s´eparables, la Γ-convergence jouit d’une propri´et´e de compacit´e.

Proposition 3.1.6. Soit(X, d)un espace m´etrique s´eparable et(Fj)_j∈Nune suite de fonctionnelles Fj:X →R∪ {+∞}. Alors il existe une sous-suite (Fj_k)_k∈NetF :X→R∪ {+∞}telles que Fj_k

Γ-converge vers F.

D´emonstration. Comme X est s´eparable, il existe une base d´enombrable de voisinages not´ee {Ui}i∈N. Par un principe d’extraction diagonal, on peut extraire une sous-suite (Fj_k)k∈N telle que la limite

k→+∞lim inf

U_iFj_k

existe pour touti∈N. Pour toutu∈X, on d´efinit les Γ-limites inf´erieures et sup´erieures associ´ees

`

a cette sous-suite, F⁰(u) := inf

lim inf

k→+∞Fj_k(xk) :xk →x

, F⁰⁰(u) := inf

lim sup

k→+∞

Fj_k(xk) :xk→x

.

D’apr`es la Proposition 3.1.5, il suffit de montrer que F⁰ = F⁰⁰. Notons qu’on a toujours par d´efinitionF⁰≤F⁰⁰. Il s’agit de montrer l’autre in´egalit´e. Soientu∈X eti∈Ntels queu∈Ui. Si uk→u, on auk∈Ui pour kassez grand et, par cons´equent,

lim

k→+∞inf

U_i F_jk ≤lim inf

k→+∞F_jk(u_k),

soit

sup

{i∈N:u∈Ui}

lim sup

k→+∞

inf

U_i F_jk≤F⁰(u).

Comme{U_i}_i∈Nest une base de voisinages, on a que sup

{i∈N:u∈U_i}

lim sup

k→+∞

infU_i Fj_k≥sup

n∈N

lim sup

k→+∞

inf

d(u,v)<_n¹

Fj_k(v).

Pour toutn∈N, on peut donc trouverσ_n∈Ntel que pour toutk≥σ_n, on a inf

d(u,v)≤_n¹

Fj_k(v)≤F⁰(u) + 1 n.

Il existe alorsvⁿ_k ∈X tel qued(u, vⁿ_k)≤ ¹_n avec

Fj_k(vⁿ_k)≤F⁰(u) + 2 n.

On pose ¯vk=v_kⁿ siσn≤k < σn+1, de sorte que ¯vk →uet F⁰⁰(u)≤lim sup

k→+∞

Fj_k(¯vk)≤F⁰(u),

ce qui montre effectivement queF⁰=F⁰⁰.

La Γ-convergence poss`ede ´egalement la propri´et´e d’Urysohn.

Proposition 3.1.7. La suite (Fj)_j∈N Γ-converge vers F si et seulement si pour toute sous-suite, il existe une sous-suite quiΓ-converge vers F.

D´emonstration. Nous avons d´ej`a vu `a la Remarque3.1.3-2 que siF_j Γ-converge versF, alors pour toute sous-suite (F_jk)_k∈N, on aF_jk Γ-converge versF.

R´eciproquement, supposons queFjne Γ-converge pas versF. Cela signifie que soit il existe une suite ¯uj →utelle que lim infjFj(¯uj)< F(u), soit lim sup_jF(uj)> F(u) pour toute suiteuj→u.

Dans le premier cas, on extrait une sous-suite telle que limkFj_k(¯uj_k) = lim infjFj(¯uj) < F(u).

Par hypoth`ese, de cette sous-suite, on peut encore extraire une sous-suite telle queFj_kl Γ-converge versF et, en particulier,

F(u)≤lim inf

l→+∞F_jkl(¯u_jkl) = lim

l→+∞F_jkl(¯u_jkl) = lim

k→+∞F_jk(¯u_jk), ce qui est absude.

Dans le second cas, il existe un voisinage U de v tel que F(u)< lim sup_jinf_UF_j. On extrait alors une sous-suite telle que lim_kinf_UF_jk = lim sup_jinf_UF_j. Par hypoth`ese, de cette sous-suite, on peut encore extraire une sous-suite telle que F_jkl Γ-converge vers F. Il existe alors une suite

¯

u_l→u(et doncu_l∈U pourl assez grand) telle que F(u) = lim

l→+∞Fj_kl(ul)≥ lim

l→+∞inf

U Fj_kl = lim

k→+∞inf

U Fj_k,

ce qui est absude.

Dans le document Polycopié complet du cours (Page 23-35)