Chapitre 2 : Arithmétique à virgule fixe et à virgule flottante
2.5 Quantification uniforme :
L'ADC suppose que les valeurs d'entrée couvrent une plage pleine échelle, disons R. Les valeurs typiques de R sont comprises entre 1 et 15 volts. Étant donné que la valeur échantillonnée quantifiée xQ (nT) est représentée par des bits B, elle ne peut prendre qu'un seul des 2B niveaux de quantification possibles. Si l'espacement entre ces niveaux est le même sur toute la plage R, alors nous avons un quantificateur uniforme. L'espacement entre les niveaux de quantification est appelé largeur de quantification ou résolution du quantificateur.
Pour une quantification uniforme, la résolution est donnée par :
2B
Q= R (2.7)
Le nombre de bits requis pour atteindre une résolution requise de Q est donc
log2 R
B= Q (2.8)
La plupart des CAN peuvent accepter des entrées bipolaires, ce qui signifie que les valeurs échantillonnées se situent dans la plage symétrique :
( )
2 2
R R
− x nT (2.9)
Pour les entrées unipolaires, 0 ≤ x(nT) R
En pratique, le signal d'entrée x (t) doit être préconditionné pour se situer dans la plage pleine échelle du quantificateur. La figure 2.11 montre les niveaux de quantification d'un quantificateur 3 bits pour les entrées bipolaires.
Si la conversion est unipolaire, la grandeur de sortie est toujours de même signe et peut donc prendre les valeurs comprises entre 0 et 2n-1.
Si on dispose, par exemple, d’un CNA unipolaire 12 bits-10 volts. Si la conversion est bipolaire, la grandeur de sortie peut être négative ou positive, et peut donc prendre les valeurs comprises entre -2n-1 et 2n-1 -1.
Fig. 2.11 : Une fonction de transfert de quantificateur uniforme à 3 bits
Nous discutons maintenant une méthode de représentation du signal à temps discret échantillonné x (nT) comme un nombre binaire avec un nombre fini de bits. Il s'agit du processus de quantification et d'encodage. Si la longueur de mot d'un CAN est de B bits, il existe 2B valeurs (niveaux) différentes qui peuvent être utilisées pour représenter un échantillon. Si x (n) se situe entre deux niveaux de quantification, il sera soit arrondi, soit tronqué. L'arrondi remplace x (n) par la valeur du niveau de quantification le plus proche, tandis que la troncature remplace x (n) par la valeur du niveau inférieur. Étant donné que l'arrondi produit une représentation moins biaisée des valeurs analogiques, il est largement utilisé par les ADC. Par conséquent, la quantification est un processus qui représente un échantillon à valeur analogique x (nT) dont le niveau le plus proche correspond au signal numérique x (n).
Nous pouvons utiliser 2 bits pour définir quatre niveaux également espacés (00, 01, 10 et 11) pour classer le signal dans les quatre sous-plages comme illustré dans la figure 2.12.
Sur cette figure, le symbole «o» représente le signal à temps discret x (nT) et le symbole
«•» représente le signal numérique x (n). L'espacement entre deux niveaux de quantification consécutifs est appelé la largeur de quantification, le pas ou la résolution. Si l'espacement entre ces niveaux est le même, alors nous avons un quantificateur uniforme.
Pour la quantification uniforme, la résolution est donnée en divisant une plage pleine échelle avec le nombre de niveaux de quantification, 2B.
Dans la figure 2.12, la différence entre le nombre quantifié et la valeur d'origine est définie comme l'erreur de quantification, qui apparaît sous forme de bruit dans la sortie du convertisseur. Il est également appelé bruit de quantification, qui est supposé être des variables aléatoires qui sont uniformément réparties. Si un quantificateur B bits est utilisé, le rapport signal sur bruit de quantification (SQNR) est approximé par SQNR ≈ 6B dB.
Fig. 2.12 : Échantillons numériques utilisant un quantificateur 2 bits
L'erreur de quantification est la différence entre la valeur réelle échantillonnée et la valeur quantifiée. Mathématiquement, c'est
e (nT) = x (nT) - xQ (nT) (2.8) ou son équivalent,
e (n) = x (n) - xQ(n) (2.10)
Si x (n) se situe entre deux niveaux de quantification, il sera soit arrondi soit tronqué.
L'arrondi remplace x (n) par la valeur du niveau de quantification le plus proche. La troncature remplace x (n) par la valeur du niveau en dessous.
Pour l'arrondi, l'erreur est donnée par :
2 2
Q Q
− e (2.11)
Pour la troncature, l’erreur est
0 ≤ e <Q (2.12)
Il est évident que l'arrondi produit une représentation moins biaisée des valeurs analogiques.
L'erreur moyenne est donnée par :
2 2
1 0
Q
e Qede
Q −
=
= (2.13)Ce qui signifie qu'en moyenne la moitié des valeurs sont arrondies vers le haut et la moitié vers le bas.
La valeur quadratique moyenne de l'erreur nous donne une idée de la puissance moyenne du signal d'erreur. Elle est donnée par :
2
Le rapport signal - bruit de quantification est :
SQNR = 20 log10 [R/Q] = 20 log10 (2B) = 20B log102 = 6B db (2.16)
Ainsi, si nous augmentons le nombre de bits de l'ADC d'un bit, le rapport signal sur bruit de quantification s'améliore de 6 dB. L'équation ci-dessus nous donne la plage dynamique du quantificateur.
Exemple :
La plage dynamique de l'oreille humaine est d'environ 100 dB. Si un système audio numérique est nécessaire pour correspondre à cette plage dynamique, il faudra
100/6 = 16,67 bits
Un quantificateur 16 bits atteindra une plage dynamique de 96 dB.
Si la fréquence la plus élevée que l'oreille humaine peut entendre est de 20 kHz, une fréquence d'échantillonnage d'au moins 40 kHz est requise. Si le taux d'échantillonnage réel est de 44 kHz, le débit binaire de ce système sera
16x44 = 704 kbits / sec
Il s'agit du débit binaire typique d'un lecteur de disque compact.
Étant donné que l'erreur de quantification est un nombre aléatoire dans la plage donnée, elle est généralement modélisée comme un signal aléatoire (ou bruit) avec une distribution uniforme, comme le montre la figure 2.13.
Distribution de probabilité P(e)
-Q/2 0 Q/2 Erreur de quantification Fig. 2.13 : Distribution uniforme de l'erreur de quantification