Qualit´e de l’a priori : application ` a la mod´elisation des statistiques jointes

Ψ(α)− log(α) = _m¹ m X i=1 ϕ₁^(t)_(i)−_m¹ m X i=1 ϕ₃^(t)_(i)+ m = ϕ^(t)₁ − ϕ^(t)3 + 1 (5.26)

d’o`u le r´esultat de l’´etape M de l’algorithme.

Contrairement au cas univari´e, on peut montrer que l’unicit´e de la sulution de l’Eq.5.26 n’est

pas toujours n´egative. Elle est en revanche pour α∈]0, 1] par exemeple.

5.5 Qualit´e de l’a priori : application `a la mod´elisation des

statis-tiques jointes

5.5.1 Objectifs de l’exp´erience

Afin d’´evaluer la qualit´e de l’a priori MBKF pr´esent´e ci-dessus, une comparaison des PDFs jointes estim´ees et observ´ees des coefficients de d´etails d’ondelettes et de curvelets des images naturelles, est illustr´ee sur les figures 5.4, 5.5 et 5.6. Deux mod`eles d’a priori multivari´es ont

´et´e mis en comparaison avec notre mod`ele MBKF `a savoir : l’a priori de Jeffrey [Portilla et al.,

2003] et l’AMGGD (cf. annexe C). L’objectif est de tester et ´evaluer l’ad´equation de l’a priori MBKF aux statistiques jointes observ´ees (d´ependances inter- et intra-´echelles entre coefficients).

5.5.2 Protocole exp´erimental

Tab. 5.2 – Protocole exp´erimental

Grandeur Choix

Fig.5.4 Fig.5.5 Fig.5.6

a priori multivari´e MBKF, AMGGD, Jeffrey

Estimateur des hyperparam`etres pour MBKF Algorithme EM

Transform´ees ondelettes curvelets ondelettes et curvelets

Voisinage

coefficient-voisins direct coefficient-voisins droite/gauche coefficient-parent (inter-´echelle)

UDWT 3 ´echelles et 3 orientations

FDCT 3 ´echelles et toutes orientations

M´etrique divergence KL

Images tests image test de Barbara 100 images

5.5.3 Discussion des r´esultats

Sur la Fig.5.4(a), la PDF jointe observ´ee des coefficients de d´etail de l’UDWT de l’image test de Barbara (en rouge) a ´et´e ajust´ee par trois mod`eles d’a priori : MBKF (en bleu), AMGGD

(en vert) et Jeffrey (en bleu clair), dans le cas bivari´e. Les trois colonnes correspondent res-pectivement aux d´ependances entre : les coefficients et leurs voisins directs gauche/droite, les

coefficients et leurs voisins diagonaux, les coefficients et leurs parents `a l’´echelle sup´erieure. Nous

constatons, suite `a l’observation des courbes, que la PDF MBKF est en g´en´eral plus proche de

la PDF observ´ee compar´ee aux PDFs du mod`ele AMGGD et Jeffrey. Ce comportement est aussi observ´e, dans la Fig.5.4(b), pour le cas trivari´e. Ceci est confirm´e par la divergence KL calcul´ee entre la PDF observ´ee et estim´ee.

Dans la Fig.5.5, nous illustrons cette mˆeme comparaison d’a priori sur les coefficients de d´etails de la FDCT de Barbara. Nous constatons que la PDF MBKF est plus proche de la PDF observ´ee pour le voisinage ”coefficient-parent”. En revanche, le MBKF fournit des r´esultats moins bons compar´e au mod`ele AMGGD pour capturer les d´ependances intra-´echelles, mais reste meilleur compar´es au mod`ele de Jeffrey. Ceci est confirm´e par la divergence KL calcul´ee entre la PDF observ´ee et estim´ee.

Ce comportement observ´e pour le cas des coefficients de d´etail d’ondelettes (sur 3 ´echelles et 3 orientations) et de curvelet (sur 3 ´echelles et toutes les orientations) est confirm´e, dans la Fig.5.6, par la divergence KL calcul´ee sur une base de 100 images [url : base d’images, ]. Nous constatons que le mod`ele MBKF d´epasse le mod`ele de Jeffrey que ce soit pour le cas des ondelletes ou des curvelets. Par ailleurs, il est en g´en´eral meilleur compar´e au mod`ele AMGGD dans le

cas des ondelletes. Cette tendance s’inverse pour la cas des curvelets o`u le mod`ele AMGGD

devient meilleur. Finalement, ce r´esultat plaide en faveur de nos mod`eles de PDF, le MBKF en particulier, comme un mod`ele d’a priori ad´equat pour les statistiques jointes observ´ees.

5.6 Conclusion

Nous avons ´etudi´e les propri´et´es des coefficients de curvelets et d’ondelettes non-d´ecim´ees, et

nous avons montr´e que les coefficients ayant des valeurs ´elev´ees tendent `a se grouper autour des

bords des objets dans l’image, ce qui est intuitif car les coefficients d´ependent de leurs parents

et voisins, aussi bien que leurs cousins `a diff´erentes ´echelles et orientations. Ces d´ependances

ont ´et´e v´erifi´ees quantitativement en mesurant l’information mutuelle, o`u nous avons constat´e

que le niveau le plus ´elev´e de la d´ependance des coefficients est `a l’´egard des voisins, suivi des

parents, qui finalement des cousins.

Ensuite, nous avons propos´e un mod`ele statistique multivari´e de PDF permettant de capturer ces d´ependances inter- et intra-´echelle. Ce mod`ele, que nous avons pleinement caract´eris´e, est bas´e sur une extension multivari´ee de l’a priori BKF. Ainsi, nous avons propos´e des estimateurs pour ses hyperparam`etres en absence de bruit.

L’objectif du chapitre suivant se focalisera sur la mise `a profit de ce mod`ele a priori multivari´e

MBKF pour le d´ebruitage bay´esien d’images dans le domaine des transform´ees multi-´echelles orient´ees (e.g. curvelets) et non-orient´ees (e.g. ondelettes non-d´ecim´ees).

5.6. Conclusion 117

(a) cas bivari´e

(b) cas trivari´e

Fig.5.4 – Exemple de comparaison sur une ´echelle log− log entre la PDF jointe observ´ee et les

PDFs estim´ees des coefficients de d´etail d’ondelettes pour l’image Barbara dans le cas : bivari´e (d = 2) et trivari´e (d = 3). La distribution jointe observ´ee (en rouge) a ´et´e ajust´ee par trois mod`eles d’a priori : MBKF (en bleu), AMGGD (en vert) et Jeffrey (en bleu clair) [Portilla et al., 2003]. Les trois colonnes correspondent aux d´ependances inter- et intra-´echelles entre coefficients.

Fig. 5.5 – Exemple de comparaison sur une ´echelle log− log entre la PDF jointe observ´ee et les PDFs estim´ees des coefficients de d´etail de curvelet pour l’image Barbara dans le cas bivari´e (d = 2). La distribution jointe observ´ee (en rouge) a ´et´e ajust´ee par trois mod`eles d’a priori : MBKF (en bleu), AMGGD (en vert) et Jeffrey (en bleu clair) [Portilla et al., 2003]. Les trois colonnes correspondent aux d´ependances inter- et intra-´echelles entre coefficients.

5.6. Conclusion 119

(a) coefficients d’ondelettes

(b) coefficients de curvelet

Fig.5.6 – ´Evaluation de la divergence de KL, calcul´ee entre la PDF observ´ee et les PDF estim´ees

par les a priori multivari´es : MBKF, AMGGD et Jeffrey [Portilla et al., 2003]. La divergence

KL a ´et´e moyenn´ee pour chaque orientation et `a chaque ´echelle sur une base de 100 images.

Trois orientations ont ´et´e consid´er´ees pour le UDWT. Pour la FDCT et pour mieux synth´etiser les r´esultats, nous avons aussi moyenn´e les valeurs KL sur toutes les orientations faisant partie d’un mˆeme quadrant : Est, Ouest, Nord, Sud.

Chapitre 6

D´ebruitage bay´esien avec a priori

multi-vari´e

Sommaire

6.1 Rappels sur l’estimation bay´esienne : cas multivari´e . . . 121