Lemme 5.3.1 [3] Soit A 2 L (H) un opérateur auto-adjoint. Alors,
hAx; xi = hjAj x; xi ; 8x 2 H+;
où H+ est le sous-espace fermé de H dé…ni par
H+ =fx 2 H ; hAx; xi > 0g :
Théorème 5.3.1 [8] Soient A; B 2 L (H) : Si A est positif et AB = BA; alors
PreuveOn a pAB = BpA: Alors
hABx; xi = DpABpAx; xE=DBpAx;pAxE = hBy; yi pAx
2
=hBy; yi hAx; xi ;
avec y = pAx = pAx pourpAx6= 0:
SipAx = 0; alors Ax = 0 et hABx; xi = hBy; yi hAx; xi pour n’importe quel choix de y.
Théorème 5.3.2 Soit A 2 L (H) un opérateur auto-adjoint. Alors
W (jAj) W (A) :
PreuveD’après le lemme précédent, et puisque jAj est positif, on obtient
W (jAj) = fhjAj x; xi ; x 2 H; kxk = 1g = hjAj x; xi ; x 2 H+;kxk = 1
= hAx; xi ; x 2 H+;kxk = 1 W (A) :
Théorème 5.3.3 Soit A 2 L (H) : Si A un opérateur auto-adjoint, alors
W A2 [W (A)]2:
PreuveD’après les théorèmes (5:3:1) et (5:3:2), on obtient
W A2 = W (A A) = W jAj2 [W (jAj)]2 [W (A)]2
Régions d’inclusion de l’image numérique
Théorème 5.3.4 Soit A 2 L (H) un opérateur auto-adjoint. Alors
8n 2 N; W (An) [W (A)]n:
PreuveIl est clair que si A est positif, alors W (An) [W (A)]n; 8n 2 N.
D’autre part, si A est auto-adjoint alors A2 est positif. Par conséquent, si n est un nombre
pair (n = 2k, k 2 N), alors d’après le théorème précédent et le théorème (5:3:1), on obtient
W (An) = W A2k W A2 k [W (A)]2k = [W (A)]n:
Et si n est un nombre impair (n = 2k + 1, k 2 N) ; alors, on obtient
W (An) = W AA2k W (A) W A2k W (A) [W (A)]2k = [W (A)]2k+1 = [W (A)]n:
Conclusion générale
L’étude de l’image numérique, ces propriétés géométriques, algébriques et analytiques et sa relation avec le spectre a engendré de nombreux travaux depuis une cinquantaine d’années.
Depuis l’introduction de cette notion par Otto Toeplitz en 1918 et les travaux de F. Hausdor¤, A. Wintner, M. H. Stone, F. Riesz et B. Sz. Nagy, P. Halmos, R. A. Horne et C. R. Johnson et R. Bouldin et J. H. Anderson, et récemment le grand nombre des travaux de Chi-Kwong Li et plusieurs autres auteurs, cette notion nécessite d’être étudié plus profondément.
Dans notre travail on a obtenu des nouveaux résultats et on a généralisé des résultats établis par di¤érents auteurs dans des articles depuis les années cinquante, nos contributions dans cette thèse sont
On généralise un résultat de Kippenhahn, on donne une condition nécessaire et su¢ sante pour que l’image numérique d’un opérateur soit un segment de droite. À partir de ces résultats, nous introduit une nouvelle classe d’opérateurs, c’est la classe des opérateurs dont l’image numérique est un segment de droite, cette classe contient les opérateurs auto-adjoints et contenu dans la classe des opérateurs normaux. Selon ces inclusions, on a donné le nom sous-auto-adjoint d’un opérateur de cette classe, et on la notée S (H). On donne aussi quelques propriétés de ces nouveaux opérateurs.
Dans une autre partie, on détermine une petite région contenant l’image numérique, puis on discute le cas où l’image numérique est un disque.
En…n, on donne une propriété d’inclusion de l’image numérique de la puissance d’un opérateur auto-adjoint.
Pourtant la réalisation de notre travail me semble est achevée, mais il reste encore quelques questions ouvertes et suggestions pour des prochains travaux, on cite à titre d’exemple :
1) Pour quel opérateur A 2 L (H), W (A) est un disque ?
2) Pour quel opérateur A 2 L (H), W (A) est symétrique au axe des réels, identique- ment, W (A ) = W (A) ?
3) Conjecture. Si l’image numérique est un segment de droite, alors elle est l’un des deux diagonales du rectangle R dé…ni dans la première partie du chapitre 5.
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