Nesta secção analisamos as respostas dos alunos às questões 1 e 2. Neste conjunto de questões foi proposto aos alunos que relacionassem perímetros sem que lhes tivesse sido facultada qualquer medida relativa às figuras geométricas. São portanto questões de caráter geral.
Classificamos respostas como corretas mesmo quando o aluno não as justificou convenientemente; como parcialmente incorretas classificamos respostas que tivessem partido de pressupostos corretos mas que, por erros cometidos no desenvolvimento, tivessem conduzido a um resultado incorreto.
Tabela 5 — Frequência dos diferentes tipos de resposta nas alíneas 1a), 1b), 2a) e 2b).
Itens
Tipos de resposta
Não responde Correta Parcialmente correta Incorreta
1. Dado um quadrado, construiu-se um segundo quadrado duplicando o comprimento do
lado do primeiro.
a) Operímetro do novo quadrado é quantas
vezes o perímetro do primeiro? 16 0 4 2
b) A área do novo quadrado é quantas
vezes a área do primeiro? 8 2 8 4
2. Dado um círculo, construiu-se um segundo círculo triplicando o diâmetro do primeiro. a) O perímetro do novo círculo é quantas
vezes o perímetro do primeiro? 11 0 4 7
b) A área do novo círculo é quantas vezes a
área do primeiro? 5 0 6 11
Na alínea 1a), dos alunos que responderam corretamente, dez justificaram a sua resposta com base na duplicação de cada um dos lados do quadrado inicial (Figura 9), três recorreram a casos particulares (Figura 10), um recorreu à verificação algébrica do caso geral (Figura 11) e dois não justificaram convenientemente a sua resposta. Nesta alínea não foram observadas respostas intuitivas.
Figura 9. Resolução apresentada pelo aluno A12 à alínea 1a).
Na resposta do aluno A12, assim como na resposta dos restantes nove alunos com resposta idêntica, há o estabelecimento de uma relação linear entre os perímetros dos dois quadrados.
Figura 10. Resolução apresentada pelo aluno A3 à alínea 1a).
Neste caso, o aluno A3 optou por recorrer a um caso particular para justificar a sua resposta, concretamente tomando para lado quadrado o valor 2.
Figura 11. Resolução apresentada pelo aluno A21 à alínea 1a).
O aluno A21 justificou a sua resposta recorrendo à generalização algébrica do problema. Dos alunos que responderam de forma incorreta, um deles confundiu o conceito de perímetro com o de área (Figura 12).
Figura 12. Resolução apresentada pelo aluno A1 à alínea 1a).
O aluno A1, a partir de um caso particular, relacionou as áreas dos quadrados, revelando confusão entre o conceito de perímetro e o de área de um quadrado. Segundo Lopes (2013, p. 12), Kidman (1999) “refere que os alunos confundem frequentemente área com perímetro“.
Relativamente às respostas à alínea 1b), observou-se uma acentuada diminuição do número de respostas corretas face às observadas na alínea 1a). Donde, verificou-se que os alunos sentiram mais dificuldades em relacionar áreas do que perímetros de quadrados
Dos alunos que responderam corretamente a 1b), quatro recorreram a casos particulares (Figura 13), um recorreu à generalização algébrica do problema (Figura 14), um recorreu a métodos geométricos (Figura 15) e dois não justificaram de forma clara o seu raciocínio (Figura 16).
Figura 13. Resolução apresentada pelo aluno A10 à alínea 1b).
O aluno A10 deu uma resposta correta que complementou com o exemplo dos quadrados de lados com 1 e 2 unidades de comprimento.
Figura 14. Resolução apresentada pelo aluno A7 à alínea 1b).
Já o aluno A7 generalizou algebricamente as áreas dos quadrados do problema e daí concluiu, corretamente, sobre a relação existente entre as suas áreas.
Figura 15. Resolução apresentada pelo aluno A14 à alínea 1b).
A resolução apresentada pelo aluno A14 foi a única fundamentada por um esquema geométrico. O aluno desenhou um quadrado A e, com base nesse quadrado, desenhou um outro quadrado B, com o dobro do comprimento dos lados de A. A partir deste esquema concluiu que o quadrado B é quatro vezes maior que o quadrado A.
Figura 16. Resolução apresentada pelo aluno A11 à alínea 1b).
Por fim, apesar da resposta do aluno A11 estar correta, a justificação é redundante e o aluno não justificou de forma clara o seu raciocínio.
Dois alunos apresentaram respostas parcialmente corretas. Um deles concluiu, de forma incorreta, que a área do quadrado B seria o dobro da área do quadrado A. Este facto ocorreu devido a um erro de cálculo algébrico que o aluno cometeu no desenvolvimento da sua resposta.
A outra resposta que consideramos parcialmente correta resultou do aluno ter trocado os rótulos dos quadrados (Figura 17).
Figura 17. Resolução apresentada pelo aluno A2 à alínea 1b).
Nas respostas incorretas à alínea 1b) prevaleceu o erro de linearização, tendo seis alunos considerado uma relação linear entre as áreas dos quadrados. Destes, quatro recorreram à regra intuitiva mais A — mais B (Figura 18).
Figura 18. Resolução apresentada pelo aluno A15 à alínea 1b).
O aluno A15 concluiu, incorretamente, que dobrando o comprimento do lado de um quadrado obteríamos um quadrado com o dobro da área do primeiro, ou seja, o aluno estabeleceu uma relação linear entre as áreas dos quadrados.
Relativamente à alínea 2a), dos onze alunos que responderam corretamente, oito justificaram a sua resposta com base em argumentos baseados na existência de uma relação linear entre as áreas dos dois círculos (Figura 19), dois recorreram a casos particulares e um aluno não apresentou justificação.
Figura 19. Resolução apresentada pelo aluno A19 à alínea 2a).
O aluno A19 concluiu que o círculo obtido após triplicar o diâmetro de um círculo inicialmente dado teria três vezes o perímetro do círculo inicial, o que supõe a existência de uma relação linear entre os perímetros dos círculos.
Figura 20. Resolução apresentada pelo aluno A10 à alínea 2a).
Já o aluno A10 tomou o caso particular dos círculos com 1 e 3 unidades de raio, calculou os perímetros de ambos os círculos e, sem apresentar os cálculos da razão entre os perímetros obtidos, concluiu corretamente que o círculo obtido teria o triplo do perímetro do primeiro.
Quatro alunos responderam de forma incorreta à alínea 2a). Destacamos duas dessas respostas. Em ambos os casos os alunos tentaram uma justificação recorrendo à fórmula de cálculo do perímetro de um círculo, não tendo aplicando a fórmula correta (Figura 21).
Figura 21. Resolução apresentada pelo aluno A7 à alínea 2a).
O aluno A7 recorreu, incorretamente, à fórmula da área do círculo e, depois de ter cometido outros erros na aplicação da fórmula, acabou por não concluir acerca da relação entre os perímetros dos círculos.
Relativamente à alínea 2b), dos cinco alunos que apresentaram respostas corretas, três recorreram a casos particulares para justificarem as suas respostas (Figura 22) e dois utilizaram argumentos intuitivos (Figura 23).
Figura 22. Resolução apresentada pelo aluno A3 à alínea 2b).
O aluno A3 considerou um caso particular, calculou a área dos dois círculos, um com raio 1 unidade e outro com raio 3 unidades, e, por fim, determinou a razão entre as duas áreas.
O aluno A19 recorreu a uma justificação intuitiva, embora não seja claro o raciocínio por trás da conclusão que apresenta. Este é um exemplo que contraria o observado por Martins (2008, p. 82), quando, relativamente ao mesmo item, refere que “os alunos que basearam a sua resposta nas estratégias intuitivas não obtiveram qualquer resposta correta”.
Nas respostas incorretas à alínea 2b), tal como à alínea 1b), prevaleceu o erro de linearização, tendo quatro dos seis alunos considerado uma relação linear entre as áreas (Figura 24).
Figura 24. Resolução apresentada pelo aluno A15 à alínea 2b).
O erro cometido pelo aluno A15 é, segundo Martins e Fernandes (2011, p. 1302), “O equívoco mais conhecido proveniente de um modelo da linearidade é que se uma figura geométrica é ampliada k vezes, a sua área e/ou o seu volume tornam-se também k vezes maiores.”
Observou-se uma grande discrepância entre o número de não respostas nas tarefas 1 e 2, verificando um total de 18 não respostas na tarefa 2 (relativa à circunferência) e um total de 6 não respostas na tarefa 1 (relativa ao quadrado).
Observou-se que cinco dos dezasseis alunos que responderam corretamente à alínea 1a) não foram capazes de responder corretamente à alínea 2a), não tendo sido capazes de transpor a relação que tinham estabelecido entre os perímetros de dois quadrados para a relação entre os perímetros de dois círculos. Situação idêntica foi observada em relação às alíneas 1b) e 2b), em que cinco dos nove alunos que responderam corretamente à alínea 1b) não foram capazes de transpor a relação que estabeleceram entre as áreas de dois quadrados para o caso da relação entre as áreas de dois círculos.
Uma situação idêntica à observada nas respostas dos alunos a este conjunto de tarefas foi também observada por Martins e Fernandes (2011), em que “a grande maioria dos alunos, quer do 6.º ano quer do 9º ano, estabeleceu relações lineares entre os conceitos, as quais conduziram sempre a respostas corretas quando se tratava de relações entre perímetros e a respostas incorretas quando se tratava de relações entre áreas e entre volumes” (p. 1299).