Nous rappelons que le mod`ele utilis´e dans notre ´etude est de type lin´eaire instantan´e. Celui-ci est pr´esent´e de la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment (Chapitre 4), c.`a.d. apr`es vectorisation des dimensions spatiales, on peut exprimer la r´eflectance non-n´egative observ´ee dans la ``eme bande
spectrale, pour un pixel donn´e n, comme suit [9, 10] : x`(n) = M X m=1 r`mfm(n) ∀n ∈ {1 · · · N } , ` ∈ {1 · · · L} . (5.1)
o`u r`m repr´esente la ``eme composante spectrale (r´eflectance) du m`eme composant pur. fm(n)
repr´esente la f raction d’abondance du m`emecomposant pur dans le n`emepixel, et enfin le nombre de composants purs est repr´esent´e par M .
En consid´erant les N pixels d’une image de t´el´ed´etection compos´ee de L bandes spectrales, on obtient l’´ecriture matricielle suivante :
X = RF, (5.2)
o`u X repr´esente l’image de t´el´ed´etection observ´ee, qui est d´efinie comme suit :
X = [x(1) · · · x(N )] avec x(n) = [x1(n) · · · xL(n)]T. (5.3)
Les colonnes de R contiennent les spectres (non-n´egatifs) des endmembers, qui sont pr´esent´es comme suit :
R = [r1· · · rM] avec rm = [r1m· · · rLm]T . (5.4)
En ce qui concerne la matrice F , chaque colonne de cette derni`ere contient les fractions d’abon- dance de tous les composants purs dans le pixel consid´er´e. Celle-ci est pr´esent´ee comme suit : F = [f (1) · · · f (N )] avec f (n) = [f1(n) · · · fM(n)]T . (5.5)
On rappelle ´egalement les contraintes de non-n´egativit´e et d’additivit´e suivantes : fm(n) ≥ 0, ∀ m ∈ {1 · · · M } n ∈ {1 · · · N } , (5.6) M X m=1 fm(n) = 1, ∀n ∈ {1 · · · N } . (5.7)
Dans l’approche propos´ee, nous nous concentrons d’abord sur les pixels ne contenant que deux sources d’indices i et j (avec i 6= j), parmi les M sources prises en compte dans les donn´ees consid´er´ees. Et ainsi, d’apr`es (5.1), chaque pixel (appel´e ci-apr`es, “pixel bi-source”) est d´efini comme suit :
x`(n) = r`ifi(n) + r`jfj(n). (5.8)
Consid´erant (5.8), et en tenant compte de la contrainte (5.7), qui induit : fj(n) = 1 − fi(n),
on obtient :
x`(n) = fi(n)[r`i− r`j] + r`j. (5.9)
Si nous utilisons maintenant deux bandes spectrales d’indices ` et p (avec ` 6= p), nous obtenons pour chaque pixel n un couple de valeurs (x`(n) , xp(n)) d´efinissant un point dans le plan
points dans ce plan, et nous voulons donc analyser la forme de ce nuage de points. Compte tenu de (5.9), nous obtenons : x`(n) − r`j = fi(n)[r`i− r`j], (5.10) xp(n) − rpj = fi(n)[rpi− rpj], (5.11) ce qui donne : fi(n)[rpi−rpj][x`(n)−r`j] = fi(n)[r`i−r`j][xp(n)−rpj]. (5.12)
Supposons que seules les deux sources fi(n) et fj(n) sont non-nulles partout dans une zone
d’analyse (appel´ee ci-apr`es “zone bi-source”). Dans ce cas, l’´equation (5.12), peut ˆetre d´efinie par l’expression de la deuxi`eme coordonn´ee du point par rapport `a la premi`ere, comme suit :
xp(n) = ax`(n) + rpj− ar`j, (5.13)
avec :
a = rpi− rpj r`i− r`j
et r`i6= r`j.
Ainsi, tous les points correspondants (x`(n),xp(n)) appartiennent `a la droite d´efinie ci-dessus
par (5.13). Au contraire, si plus de deux sources ne sont pas nulles et varient de fa¸con arbitraire dans une zone d’analyse, les points correspondants ne sont pas sur une droite.
En outre, et plus pr´ecisement, les points appartiennent seulement `a un segment de cette droite, puisque 0 ≤ fi(n) ≤ 1. Les extr´emit´es de ce segment sont donc d´efinies par :
(i) fi(n) = 0 :
Dans ce cas , nous obtenons des ´equations (5.10) et (5.11), x`(n) = r`j et xp(n) = rpj. Ceci
est logique, parce que seule la source j est non-nulle, et c’est son spectre qui est observ´e dans un tel pixel.
(ii) fi(n) = 1 :
Dans ce cas, x`(n) = r`i, et xp(n) = rpi.
Si nous supposons maintenant qu’il existe dans l’image consid´er´ee, au moins une zone d’ana- lyse bi-source pour chaque paire de sources, parmi les M consid´er´ees dans l’image utilis´ee, alors on obtient une droite pour chaque paire possible de sources. Nous avons dans ce cas un total de
M (M −1)
2 segments de droites possibles. Ces segments ont des extr´emit´es communes correspon-
dant aux M sources, et chacun de ces points extrˆemes a les coordonn´ees suivantes : (r`m, rpm)
avec m ∈ {1 · · · M }.
La figure 5.1 illustre un nuage de points obtenu pour des pixels correspondant `a toutes les paires de sources s´electionn´ees `a partir d’un ensemble global de quatre sources artificielles induisant, comme mentionn´e ci-dessus, six droites possibles.
Le cas le plus difficile et celui qui nous int´eresse est le cas o`u les points associ´es `a chaque paire de sources ne couvrent pas la totalit´e de chacun des segments possibles, en particulier leurs extr´emit´es. Ces derni`eres correspondent `a des pixels purs, et sont illustr´ees par un petit cercle dans la figure 5.1.
Figure 5.1 – Nuage de points en 2D correspondant `a des pixels bi-sources.
zones mono-sources sont d´etect´ees en utilisant par exemple la m´ethode propos´ee dans [8] (voir le Chapitre 3 pour plus de d´etails concernant cette m´ethode), et par cons´equent les spectres correspondants sont estim´es par cette derni`ere.
Dans le cas o`u on n’a pas de pixels purs, supposons que nous avons r´eussi `a estimer deux droites correspondant `a deux paires de sources, avec des indices [i, j] pour la premi`ere paire et [j, k] pour la seconde (avec i 6= k). Nous avons donc estim´e pour chaque droite, (1) la pente, et (2) l’ordonn´ee `a l’origine. En supposant que ces droites ne sont pas identiques (toujours pour deux bandes spectrales), cela nous permet de d´eduire leur point d’intersection et ainsi d’obtenir les coordonn´ees (r`j, rpj), correspondant aux deux bandes spectrales du j`emeendmember.
L’analyse d´etaill´ee ci-dessus, ne consid´erant que deux bandes spectrales, est utile pour la compr´ehension de la version pr´eliminaire de notre approche. Cependant, l’utilisation de deux bandes seulement ne nous permet pas de r´esoudre compl`etement le probl`eme consid´er´e :
– D’une part, les points d’intersection obtenus pour toutes les paires de sources ne nous donnent qu’une partie du spectre correspondant `a deux bandes spectrales (parmi les L bandes consid´er´ees dans l’image).
– D’autre part, ce nuage de points (en 2D) contient ´egalement de fausses intersections, c.`a.d. des intersections entre des segments de droites associ´es `a des paires de sources compl`ete- ment disjointes [i, j] et [i0, j0], et qui ne correspondent `a aucun des spectres de endmembers r´eels. Ce cas de figure est repr´esent´e par le point (A) de la figure 5.1. D´eterminer de mani`ere aveugle toutes les intersections de ce type de segments conduirait donc `a des endmembers parasites. Ce probl`eme r´esulte du fait que deux droites (non parall`eles) se croisent toujours dans un espace (2D).
Pour r´esoudre notre probl`eme, nous ´etendons maintenant notre approche `a plus de 2 bandes spectrales. Ceci sera d´etaill´e dans ce qui suit.