Propri´et´es fonctionelles d’op´erateurs

Dans ce paragraphe, nous montrons que les in´egalit´es de Hardy obtenues et donn´ees dans les th´eor`emes 2.24 et 2.27 nous permettent d’´etendre les propri´et´es d’isomorphismes

Grˆace `a ces r´esultats, nous pouvons aussi ´etablir des r´esultats de d´ecomposition de Helmholtz dans ces espaces. Introduisons l’espace

Hp_α,β = {v ∈ Lp_α,β(R3), div v = 0}.

Proposition 2.36 Soient α et β deux r´eels satisfaisant β > max(0,1₂ − 1_p) et α + +β + 3_p − 1 6= 0. Les op´erateurs suivants sont des isomorphismes :

∇ : X_α,β1,p(R3)/IPj′ → Lp_α,β(R3)⊥Hp ′ −α,−β (2.79) div : Lp_−α,−β′ (R3)/Hp_−α,−β′ → X_−α,−β−1,p′ (R3)⊥IPj′, (2.80) avec j′ _{= min(j, 0) et j <} 1 2 − 3 p + 1 pmin(1, −βp + p/2).

Preuve : L’op´erateur gradient est clairement lin´eaire et continu. Il est aussi injectif car si u ∈ X_α,β1,p(R3_{) v´erifie ∇u = 0, alors, u est au plus une constante de X}1,p

α,β(R3),

c’est-`a-dire, u ∈ IPj′ (voir (2.30)). Il nous reste `a montrer la surjectivit´e. D’apr`es le

th´eor`eme 2.24, on a

kuk_X1,p

α,β(R3)/IPj′ ≤ Ck∇ukL p α,β(R3).

Ainsi, l’op´erateur gradient est un isomorphisme de X_α,β1,p(R3_)/IP

j′ sur son image R_g

qui est un sous-espace ferm´e de Lp_α,β(R3_{). Nous pouvons donc ´ecrire}

Rg = (ker(div ))⊥,

o`u l’op´erateur divergence est d´efini par

div : Lp_−α,−β′ (R3) → X_−α,−β−1,p′ (R3)⊥IPj′.

Nous en d´eduisons que

Rg = Lp_α,β(R3)⊥Hp

′

−α,−β.

Par cons´equent, l’op´erateur (2.79) est bien un isomorphisme et, par dualit´e et trans- position nous en d´eduisons aussi que l’op´erateur (2.80) est un isomorphisme. ¥

Nous allons maintenant montrer des r´esultats d’isomorphisme dans les espaces avec poids anisotropes pour l’op´erateur laplacien. Rappelons tout d’abord que (O, P) d´esigne la solution fondamentale des ´equations d’Oseen o`u P est d´efinie par

Pi(x) = ∂E(x) ∂xi = − ∂ ∂xi µ 1 4π|x| ¶ et E d´esigne la solution fondamentale du laplacien.

Proposition 2.37 Soient α et β deux r´eels tels que 0 < β < 1 − 1_p et 1 − 3_p < α + β < 2 − 3_p. Alors l’op´erateur laplacien

∆ : Y_α,β1,p(R3) → Y_α,β−1,p(R3) (2.81)

est un isomorphisme.

Preuve : L’op´erateur d´efini par (2.81) est clairement lin´eaire et continu. De plus, si u ∈ Y_α,β1,p(R3_{) v´erifie ∆u = 0, alors u est un polynˆome de IP}

kavec k < 1−3_p−(α+β) <

0. D’apr`es (2.31) et les hypoth`eses sur α et β, on a k < 0. On en d´eduit que u = 0 et l’op´erateur est donc injectif. Il reste `a montrer la surjection. Soit f ∈ Y_α,β−1,p(R3_).

Comme α + β < 2 − 3_p, on a −α − β + _p3′ − 1 > 0 et la remarque 2.29 nous permet

d’´ecrire

f = div F,

avec F ∈ Lp_α,β(R3_{). En utilisant les r´esultats sur la convolution par la solution}

fondamentale d´emontr´es dans [36], sous les hypoth`eses sur α et β, il vient, pour tout i = 1, 2, 3, Pi∗ Fi ∈ Y_α,β1,p(R3). Posons π = Pi∗ Fi, on a ∆π = ∂ 2 ∂x2 j (Pi∗ Fi) = ∂2 ∂x2 j µ ∂E ∂xi ∗ Fi ¶ = ∂ ∂xi ∂2 ∂x2 j (E ∗ Fi) = div F = f.

Nous avons donc trouv´e une fonction π ∈ Y_α,β1,p(R3_{) qui v´erifie ∆π = f , ce qui signifie}

que l’op´erateur est surjectif. ¥

Proposition 2.38 Soient α et β deux r´eels tels que −1_p < β < 0 et 1 −3_p < α + β < 2 −3_p. Alors l’op´erateur laplacien

∆ : Y_α,β1,p(R3) → Y_α,β−1,p(R3) (2.82)

est un isomorphisme.

Grˆace `a ces trois propositions, nous allons montrer que sous certaines conditions sur α et β, les espaces X_α,β1,p(R3_{) et Y}1,p

α,β(R3) co¨ıncident. Nous allons tout d’abord

montrer un r´esultat de densit´e. Introduisons l’espace V = {ϕ ∈ D(R3_{), div ϕ = 0}.}

Lemme 2.39 Soient α et β deux r´eels tels que 0 < β < 1 − 1 p ou −

1

p < β < 0. On

suppose de plus que 1 − 3

p < α + β < 2 − 3

p. Alors

l’espace V est dense dans Hp_α,β.

Preuve : Soit une fonction v appartenant `a Hp_α,β. Alors rot v ∈ Y−1,p_α,β (R3_{) et}

d’apr`es les propositions 2.37 et 2.38, il existe un unique vecteur ψ ∈ Y1,p_α,β(R3_{) telle}

que

∆ψ = rot v.

En prenant le rotationnel de cette derni`ere ´equation, on obtient −∆rot ψ = rot rot v = −∆v.

Ainsi rot ψ−v est un vecteur dont chaque composante est un polynˆome harmonique de Lp_α,β(R3_{). Mais les hypoth`eses sur α et β et (2.29) entraˆınent que rot ψ = v.}

Maintenant, la densit´e de D(R3_{) dans Y}1,p

α,β(R3) nous assure l’existence d’une suite

(ψ_k)k∈N∈ D(R3) qui tend vers ψ dans Y1,pα,β(R3). Cela implique que la suite rot ψk,

qui appartient `a V, tend vers rot ψ = v dans Lp_α,β(R3_{). ¥}

Proposition 2.40 Soient α et β deux r´eels tels que max(0, 1₂ − 1_p) < β < 1 − 1_p et 1 −3_p < α + β < 2 − 3_p. Alors nous avons l’inclusion

Y_α,β1,p(R3) ⊂ Lp_α−1 2,β−

1 2

(R3). En d’autres termes les espaces X_α,β1,p(R3_{) et Y}1,p

α,β(R3) co¨ıncident alg´ebriquement et

topologiquement.

Preuve : Soit π ∈ Y_α,β1,p(R3_{). Alors pour tout ϕ ∈ V, on a}

< ∇π, ϕ >_Lp

α,β(R3)×L p′

−α,−β(R3)

= 0.

D’apr`es les hypoth`eses sur α et β, V est dense dans Hp_−α,−β′ . Nous avons donc ∇π ∈ Lp_α,β(R3_)⊥Hp′

−α,−β et la proposition 2.36 nous assure l’existence d’une unique

fonction ψ ∈ X_α,β1,p(R3_{) ⊂ Y}1,p

α,β(R3) telle que ∇ψ = ∇π. On en d´eduit que ψ − π

est une constante de Y_α,β1,p(R3). Mais les hypoth`eses sur α et β montrent qu’il n’y a pas de constantes non nulles dans Y_α,β1,p(R3_{). Nous pouvons donc conclure que}

π = ψ ∈ Lp_α−1 2,β−

1 2

(R3_{). ¥}

Cette proposition nous permet d’am´eliorer le r´esultat d’isomorphisme du laplacien d´efini par (2.81). Par dualit´e et transposition, nous am´eliorons aussi (2.82).

Th´eor`eme 2.41 Soient α et β deux r´eels tels que 1 − 3

p < α + β < 2 − 3 p. (i) Si max(0,1 2 − 1 p) < β < 1 − 1 p, alors l’op´erateur ∆ : X_α,β1,p(R3) → Y_α,β−1,p(R3) (2.83) est un isomorphisme. (ii) Si −1 p < β < max(0, 1 p − 1 2), alors l’op´erateur ∆ : Y_α,β1,p(R3_{) → X}−1,p α,β (R3) (2.84) est un isomorphisme.

anisotropiques. Rappelons que le cas particulier β = 0 a ´et´e ´etudi´e par Girault [29]. Rappelons qu’un champs de vecteur ψ est appel´e potentiel vecteur d’un champs de vecteur u donn´e si il satisfait

rot ψ = u.

Th´eor`eme 2.42 Soient α et β deux r´eels tels que 1 − 3_p < α + β < 2 − 3_p. Soit u∈ Lp_α,β(R3_{) satisfaisant} div u = 0. (i) Si max(0,1 2 − 1 p) < β < 1 − 1

p, alors il existe un unique potentiel vecteur ψ ∈

X1,p_α,β(R3_{) tel que} u= rot ψ, div ψ = 0, (2.85) et kψk_X1,p α,β(R3) ≤ CkukL p α,β(R3). (2.86)

(ii) Si −1_p < β < max(0,1_p − 1₂), alors il existe un unique potentiel vecteur ψ ∈ Y1,p_α,β(R3_{) satisfaisant (2.85) et tel que}

kψk_Y1,p

α,β(R3) ≤ CkukL p

α,β(R3). (2.87)

Preuve : La preuve de (i) et de (ii) sont analogues. Nous allons donc la faire

uniquement pour (i). Comme u ∈ Lp_α,β(R3_{), on a rot u ∈ Y}−1,p

α,β (R3) et d’apr`es le

th´eor`eme 2.41 (i), il existe un unique vecteur ψ ∈ X1,p_α,β(R3_{) solution de}

−∆ψ = rot u, (2.88)

et satisfaisant l’estimation (2.86). Maintenant, comme div u = 0, en prenant le rotationel de l’´equation pr´ec´edente, on obtient

−∆(rot ψ − u) = 0.

Cela qui implique que rot ψ − u est un vecteur dont chaque composante est un polynˆome harmonique de Lp_α,β(R3_{). Les hypoth`eses sur α et β nous permettent de}

conclure que u = rot ψ. En prenant, `a pr´esent la divergence de (2.88), nous obser- vons que ∆(div ψ) = 0. De la mˆeme mani`ere que pr´ec´edemment, nous en concluons

que div ψ = 0. ¥

Le prochain et dernier r´esultat de ce paragraphe concerne la d´ecomposition de Helmholtz.

Th´eor`eme 2.43 Soient α et β deux r´eels satisfaisant 1 − 3_p < α + β < 2 − 3_p. Soit f ∈ Lp_α,β(R3_).

(i) Si max(0,1₂ − 1_p) < β < 1 − 1_p, alors f a la d´ecomposition unique suivante

f = ∇ϕ + rot ψ, (2.89)

o`u ϕ ∈ X_α,β1,p(R3_{) et ψ ∈ X}1,p

α,β(R3). De plus, nous avons l’estimation

kϕk_X1,p α,β(R3)+ kψkX 1,p α,β(R3)≤ Ckf kL p α,β(R3). (2.90) (ii) Si −1 p < β < max(0, 1 p − 1

2), alors f a la d´ecomposition unique (2.89), o`u

ϕ ∈ Y_α,β1,p(R3_{) et ψ ∈ Y}1,p

α,β(R3). De plus, nous avons

kϕk_Y1,p α,β(R3)+ kψkY 1,p α,β(R3) ≤ Ckf kL p α,β(R3). (2.91)

Preuve : (i) Comme f ∈ Lp_α,β(R3_{), on a div f ∈ Y}−1,p

α,β (R3). Le th´eor`eme 2.41 (i)

assure l’existence d’une unique fonction ϕ ∈ X_α,β1,p(R3_{) telle que}

∆ϕ = div f , satisfaisant aussi kϕk_X1,p α,β(R3)≤ Ckdiv f kYα,β−1,p(R3) ≤ Ckf kL p α,β(R3). (2.92)

Par ailleurs, comme f − ∇ϕ ∈ Lp_α,β(R3_{) et div (f − ∇ϕ) = 0, le th´eor`eme 2.42 assure}

l’existence d’un unique vecteur potentiel ψ ∈ X1,p_α,β(R3_{) tel que}

satisfaisant aussi kψk_X1,p α,β(R3) ≤ Ckf − ∇ϕkL p α,β(R3) ≤ Ckf kL p α,β(R3). (2.93)

Les estimations (2.92) et (2.93) nous donnent (2.90). (ii) La preuve est analogue `a la pr´ec´edente. ¥